1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 一元二次方程拓展提高 待提升的知 识点/题型 1、熟练选择并应用一元二次方程的解法； 2、熟记一元二次方程多种考查方式和解题思路； （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、知识结构：一、知识结构： 一元二次方程 韦达定理 根的判别 解与解法 二、考点精析二、考点精析 考点一、概念考点一、概念 (1)(1)定义：定义： 只含有一个未知数 ， 并且 未知数的最高次
2、数是 2 ， 这样的 整式方程 就是一元二次方程。 (2)(2)一般表达式：一般表达式：)0(0 2 acbxax 难点难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2” ： 该项系数不为“0” ； 未知数指数为“2” ； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：典型例题： 例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A 1213 2 xx B 02 11 2 xx C 0 2 cbxax D 12 22 xxx 变式：当 k 时，关于 x 的方程32 22 xxkx是一元二次方程。 例 2、方程0132mxxm m 是关于 x 的一元二次方程，
3、则 m 的值为 。 针对练习：针对练习： 1、方程78 2 x的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程02 1 m xm是关于 x 的一元一次方程， 求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。 3、若方程11 2 xmxm是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是 。 4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=3 考点二、方程的解考点二、方程的解 概念：概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：典型例题： 例例 1、已知32
4、2 yy的值为 2，则124 2 yy的值为 。 例例 2、关于 x 的一元二次方程042 22 axxa的一个根为 0，则 a 的值为 。 例例 3、已知关于 x 的一元二次方程00 2 acbxax的系数满足bca，则此方程必有一 根为 。 例例 4、已知ba,是方程04 2 mxx的两个根，cb,是方程058 2 myy的两个根， 则 m 的值为 。 针对练习：针对练习： 1、已知方程010 2 kxx的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 。 2、已知关于 x 的方程02 2 kxx的一个解与方程3 1 1 x x 的解相同。 求 k 的值； 方程的另一个解。 3、已知 m 是方程01
5、2 xx的一个根，则代数式mm2 。 4、已知a是013 2 xx的根，则 aa62 2 。 5、方程0 2 acxcbxba的一个根为（ ） A 1 B 1 C cb D a 6、若 yx 则yx324, 0352 。 考点三、解法考点三、解法 方法：方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：关键点：降次 类型一、直接开方法：类型一、直接开方法：mxmmx,0 2 对于max 2 ， 22 nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题：典型例题： 例 1、解方程： ; 0821 2 x 2 16252x=0; ; 0913 2 x 例 2、若2 2 21619xx，则 x 的值为
6、 。 针对练习：针对练习：下列方程无解的是（ ） A.123 22 xx B.02 2 x C.xx132 D.09 2 x 类型二、因式分解法类型二、因式分解法:0 21 xxxx 21, xxxx或 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ， 方程形式：如2 2 nbxmax，cxaxbxax ，02 22 aaxx 典型例题：典型例题： 例例 1、3532xxx的根为（ ） A 2 5 x B 3x C 3, 2 5 21 xx D 5 2 x 例例 2、若04434 2 yxyx，则 4x+y 的值为 。 变式变式 1： 2222 2 22 , 06b则ababa 。
7、变式变式 2：若032yxyx，则 x+y 的值为 。 变式变式 3：若14 2 yxyx，28 2 xxyy，则 x+y 的值为 。 例例 3、方程06 2 xx的解为（ ） A.23 21 ，xx B.23 21 ，xx C.33 21 ，xx D.22 21 ，xx 例例 4、解方程： 0432132 2 xx 例例 5、已知0232 22 yxyx,则 yx yx 的值为 。 变式：已知0232 22 yxyx,且0, 0yx,则 yx yx 的值为 。 针对练习：针对练习： 1、下列说法中： 方程0 2 qpxx的二根为 1 x， 2 x，则)( 21 2 xxxxqpxx )4)(
8、2(86 2 xxxx. ) 3)(2(65 22 aababa )()( 22 yxyxyxyx 方程07) 13( 2 x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、以71与71为根的一元二次方程是（） A062 2 xx B062 2 xx C062 2 yy D062 2 yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足023yxyx，则 x+y 的值为（ ） A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2
9、D、1 或 2 5、方程：2 1 2 2 x x的解是 。 6、已知066 22 yxyx，且0x，0y，求 yx yx 3 62 的值。 7、方程01200019981999 2 xx的较大根为 r，方程0120082007 2 xx的较 小根为 s，则 s-r 的值为 。 类型三、配方法类型三、配方法00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：典型例题： 例例1、 试用配方法说明32 2 xx的值恒大于 0。 例例2、 已知 x、y 为实数，求代数式742 22 yxyx的最小值
10、。 例例3、 已知，x、yyxyx01364 22 为实数，求 y x的值。 例例4、 分解因式：3124 2 xx 针对练习：针对练习： 1、试用配方法说明4710 2 xx的值恒小于 0。 2、已知04 11 2 2 x x x x，则 x x 1 . 3、若91232 2 xxt，则 t 的最大值为 ，最小值为 。 4、如果4122411bacba,那么cba32 的值为 。 类型四、公式法类型四、公式法 条件：条件：04, 0 2 acba且 公式：公式： a acbb x 2 4 2 ,04, 0 2 acba且 典型例题：典型例题： 例 1、选择适当方法解下列方程： . 613 2
11、 x . 863xx 014 2 xx 0143 2 xx 5211313xxxx 例 2、在实数范围内分解因式： （1）322 2 xx； （2）184 2 xx. 22 542yxyx 说明：对于二次三项式cbxax 2 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax 2 =0，求出两根，再写成 cbxax 2 =)( 21 xxxxa. 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、类型五、 “降次思想”的应用“降次思想”的应用 求代数式的值； 解二元二次方程组。 典型例题： 例例1、 已知023 2 xx，求代数式
12、 1 11 2 3 x xx 的值。 例例 2、如果01 2 xx，那么代数式72 23 xx的值。 例例 3、已知a是一元二次方程013 2 xx的一根，求 1 152 2 23 a aaa 的值。 例例 4、用两种不同的方法解方程组 )2(. 065 ) 1 (, 62 22 yxyx yx 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题. 考点四、根的判别式acb4 2 根的判别式的作用：根的判别式的作用： 定根的个数； 求待定系数的值； 应用于其它。 典型例题：典型例题： 例例 1
13、、若关于x的方程012 2 xkx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。 例例 2、关于 x 的方程021 2 mmxxm有实数根，则 m 的取值范围是( ) A.10且mm B.0m C.1m D.1m 例例 3、已知关于 x 的方程022 2 kxkx (1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。 例例 4、已知二次三项式2)6(9 2 mxmx是一个完全平方式，试求m的值. 例例 5、m为何值时，方程组 . 3 , 62 22 ymx yx 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？ 针对练习：
14、 1、当 k 时，关于 x 的二次三项式9 2 kxx是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式kxx243 2 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程02 2 mxmx有两个不相等的实数根，则 m 的值是 . 4、k为何值时，方程组 . 0124 , 2 2 yxy kxy （1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解. 5、当k取何值时，方程042344 22 kmmxmxx的根与m均为有理数？ 考点五、方程类问题中的“分类讨论”考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：典型例题： 例例 1、关于 x 的方程0321 2 mxxm
15、有两个实数根，则 m 为 , 只有一个根，则 m 为 。 例例2、 不解方程，判断关于 x 的方程32 22 kkxx根的情况。 例例 3、如果关于 x 的方程02 2 kxx及方程02 2 kxx均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题考点六、应用解答题 “握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？ 2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人？ 3、北京申奥成
16、功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场， 根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少 3 1 ，第三年比第二年减少 2 1 ，该产品 第一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利 3 1 ，要实 现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到 0.1，61. 313 ） 4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个 月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克 55 元时，计算
17、月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？ 5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少？ 6、A、B 两地间的路程为 36 千米.甲从 A 地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B 地，乙再走 1 小时
18、36 分到达 A 地，求两人的速度. 考点七、根与系数的关系考点七、根与系数的关系 前提：对于0 2 cbxax而言，当满足0a、0时，才能用韦达定理。 主要内容： a c xx a b xx 2121 , 应用：整体代入求值。 典型例题： 例例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程0782 2 xx的两根，则这个直角三角形的 斜边是（ ） A.3 B.3 C.6 D.6 例例 2、已知关于 x 的方程0112 22 xkxk有两个不相等的实数根 21,x x， （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明 理由
19、。 例例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项， 而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？ 其正确解应该是多少？ 例例 4、已知ba ，012 2 aa，012 2 bb，求ba 变式：若012 2 aa，012 2 bb，则 a b b a 的值为 。 例例 5、已知,是方程01 2 xx的两个根，那么3 4 . 针对练习：针对练习： 1、解方程组 )2(5 ) 1 (, 3 22 yx yx 2已知47 2 aa，47 2 bb)(ba ，求 b a a b 的值。 3、已知 21,x x是方程09 2 xx的两实数根，求6637 2 2 2 3 1 xxx的值。 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.用适当方法解下列方程 （1）0632 2 xxx （2） 5 1 12 2 1 2 y （3）0996412 2 xx （4）057 2 xx 2.求方程0222855 22 xyxyyx的实数解. 3.求代数式 43 43 2 2 xx xx 的最大值与最小值. 4.已知cba、都是实数，证明：cbacba22 2 .