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著名机构讲义秋季教案14-初二数学-函数表示法 - 教师版

1、 教师姓名 学生姓名 年 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 函数表示法函数表示法 待提升的知 识点/题型 温故而知新温故而知新 一、一、函数的相关概念函数的相关概念 1常量与变量 在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,取值始终保持不变的量叫做常量 如在圆的面积公式 2 SR中,是常数,是常量,而S随R的变化而变化,所以S、R是变量 2自变量、因变量与函数 在某一变化过程中,有两个量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应, 其中x是自变量,y是因变量,此时

2、也称y是x的函数 函数不是数, 它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系, 函数本质就是变量间的对应关系 注意: 对于每一个给定的x值,y有一个唯一确定的值与之对应,否则y就不是x的函数 例如 2 yx就不是函数,因为当4x 时,2y ,即y有两个值与x对应 对于每一个给定的y值,x可以有一个值与之对应,也可以有多个值与之对应 例如在函数 2 (3)yx中,2x 时,1y ;4x 时,1y 二、函数自变量的取值范围二、函数自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体 求自变量的取值范围通常从 两方面考虑,一是要使函数的解析式有意义;二是符合客观实际 在初中阶段,自

3、变量的取值范围考虑下面几个方面: 整式:自变量的取值范围是任意实数 分式分式:自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数 根式根式:当根指数为偶数时,被开方数为非负数 零次幂或负整数次幂:使底数不为零的实数 注意:在一个函数关系式中,同时有各种代数式,函数自变量的取值范围是各种代数式中自变 量取值范围的公共部分 在实际问题中,自变量的取值范围应该符合实际意义,通常往往取非负数,整数之类 (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)知识梳理知识梳理(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点一:知识点一:函数的表示方法函数的表示方法 1函数的三种表示方法: (1

4、)列表法列表法:通过列表表示函数的方法 (2)解析法解析法:用数学式子表示函数的方法叫做解析法譬如:30St, 2 SR (3)图象法图象法:用图象直观、形象地表示一个函数的方法 2对函数的关系式(即解析式)的理解: (1)函数关系式是等式例如4yx就是一个函数关系式 (2)函数关系式中指明了那个是自变量,哪个是函数 通常等式右边代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数例如:24yx 中x是自变量,y是x的函数 (3)函数关系式在书写时有顺序性 例如:31yx 是表示y是x的函数,若写成 1 3 y x 就表示x是y的函数求y与x的函 数关系时,必须是只用变量x的代数式表示y,得到的

5、等式右边只含x的代数式 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点二:知识点二:函数的图象函数的图象 1函数图象的概念: 对于一个函数,如果把自变量x和函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标,在平面直角 坐标系内描出相应的点,这些点所组成的图形,就是函数的图象 2函数图象的画法 (1)列表; (2)描点; (3)连线 3函数解析式与函数图象的关系: (1) 由函数图象的定义可知, 图象上任意一点,P x y中的x,y都是解析式方程的一个解 反 之,以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上 (2)判断一个点是否在函数图象上的方法是:将这个点的坐标值代入函数的 j 解析式,如果 满足

6、函数解析式,这个店就在函数的图象上,否则就不在这个函数的图象上 (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)知识精析知识精析(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 一、一、函数的表示方法函数的表示方法 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 1-1 地球表面的一定高度内,每升高 1 千米,温度下降C6.已知地面温度为C10,设高度为 h 千米时的温度是 t,则 t 与 h 之间的关系是 例例 1-2 如图,一边靠墙,其他三边用 12 米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花圃. (1)如果设花圃靠墙的一边的长为 x(米).花圃的面积为 y(平方米),求 x,y 满足的关系式; (2)当长

7、 x 从 4 米变到 6 米时,面积 y 变化如何? (3)当长 x 从 6 米变到 8 米时,面积 y 变化如何? 例例 1-3 某河流受暴雨影响,水位不断上涨,下面是某天此河流的水位记录: (1)上表反映的是哪两个量之间的关系?自变量和因变量各是什么? (2)根据表格画了表示两个变量的折线统计图. (3)哪段时间水位上升得最快? 例例 1-4 一辆汽车正常行驶时每小时耗 8 升,油箱现有 52 升汽油. (1)如果汽车行驶时间为 t(时) ,那么油箱中所存油量 Q(升)与 t(时)的关系式是什么? (2)油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时? (3)当t 的值分别为 1,2,3 时,Q 相应

8、的值是多少? 例例 1-5 在高处让一物体由静止开始落下,它下落的路程 s 与时间 t 之间的关系如下表: 时间(时) 0 4 8 12 16 20 24 水位(米) 2 2.5 3 4 5 6 8 时间 t(秒) 1 2 3 4 5 落下路程 s(米) 4.91 4.94 4.99 4.916 4.925 A D B C (1)请根据表格中的数据写出时间 t 与物体落下的路程 s 之间的关系; (2)算出当 t=4.5 秒时,物体落下的路程. 二、二、知识点二:知识点二:函数的图象函数的图象 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 2-1“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看

9、着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它 醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到了终点.用 1 s、 2 s分别 表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下列图像中与故事情节相吻合的是( ) 答案:A 例例 2-2 你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的 水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水但 是还没解渴, 瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度, 乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中, 水面又上升, 乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面 能大

10、致表示上面故事情节的图象是( ) 【答案】B Ox y Ox y Ox yy xO A B C D 例例 2-3 如图,乌鸦口渴到处找水喝,它看到了一个装有水的瓶子,但水位较低,且瓶口又小,乌鸦 喝不着水,沉思一会后,聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中,水位上升后,乌鸦喝到了水,在 这个乌鸦喝水的故事中,设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为x,瓶中水位的高度为y,下列 图象中最符合故事情景的是( ) A x O y y Ox B y Ox C y O xD 【解析】由于乌鸦看到水瓶,沉思一会儿的过程中,水位不发生变化,可排除项;再由瓶中放入 小石子, 水位上升可知排除项; 最后由乌鸦喝到水的水

11、位一定大于瓶中开始的水位排除 项,选 例例 2-4 边长为1和2的两个正方形,其一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿 过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形内除去小正方形部分的面积为s(阴影部分) ,则s与t的 大致图象为( ) t s O t s OO s tt s O A B C D 【解析】当小正方形完全进入大正方形中时,所剩面积为 3,是大正方形面积的 3 4 ,所以选择 A, C 的描述比例不符合 【答案】A 例例 2-5 如图,一只蚂蚁从O点出发,沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周,设蚂蚁的运动时间为t, 蚂蚁到O点的距离 为S,则S关于t的函数图象大致为( ) 【答

12、案】 例例 2-6 如图,某港湾某日受台风“默沙”的影响,其风力变化记录如图,根据图像完成下列各题; (1)风力持续增强了_小时; (2)风力最高达到_级; (3)风力从_点开始明显减弱。 答案:24,12,20 例例 2-7 一个有进、出水管的容器,单位时间内进、出水量都是一定的,设从某时刻开始 4 分钟内只 进水不出水,之后的 4 分钟内只出水不进水,得到的时间 x (分钟)与水量 y (升)之间关系如图, 求: (1)每分钟进多少升水; (2)每分钟出多少升水; (3)0x4 时,y 关于 x 的解析式。 答案: (1)5(2)1(3)y=5x B A O A B C D S t S t

13、 S t S t O O O O (二)限时巩固、练一练(二)限时巩固、练一练 如图,各情况分别可以和哪幅画来近似刻画? (1)一个球被向上抛起,直到落到地面的过程(球的高度与时间的关系) ; (2)常温下,往一杯凉水中倒开水(水温与时间的关系) ; (3)将澡盆中的水放掉(水的高度与时间的关系) 。 三、三、分段分段函数函数与方案选择与方案选择 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 3-1 某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费.每月用电不超过 100 度时, 按每度 0.57 元计费;每月用电超过 100 度时, 其中的 100 度仍按原标准收费, 超过部分

14、按每度 0.50 元计费. (1)设月用电 x 度时,应交电费 y 元,当 x100 和 x100 时,分别写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)小王家第一季度交纳电费情况如下表,求小王家第一季度共用电多少度. 月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76 元 63 元 45 元 6 角 184 元 6 角 答案: (1)当 x100 时,y=0.57x;当 x100 时,y=7+0.5x; (2)一月份:7+0.5x=76,解得:x=138 二月份:7+0.5x=63,解得:x=112 三月份:0.57x=45.6,解得:x=80 小王家第一季度共用电 330 度 例例 3-2 某

15、商店想购进一批西装和领带,西装每件 200 元,领带每条 40 元,但厂方提供两种优惠办法: 买一件西装送一条领带; 西装和领带全按全价 90%付款, 如果欲购 20 件西装, x 条领带(20x), 设两种优惠办法的付款数分别为 1 y、 2 y; (1)写出 1 y、 2 y关于 x 的函数关系式; (2)讨论领带数 x,说明哪种办法更优惠。 答案: (1)按优惠方案购买,应付款: 1 y=200 20+(x-20) 40=40x+3200, 按优惠方案购买,应付款: 2 y=(200 20+40x) 90%=36x+3600, (2)设 y=(40x+3200)-(36x+3600)=4

16、x-400(元) , 当 y0 时,即 20100x且 x 为整数时选方案比方案更省钱, 当 y=0 时,即 x=100 时选两个方案一样省钱, 当 y0 时,即 x100 且 x 为整数时选方案比方案更省钱, (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)课堂测评课堂测评(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 1.小明从家中出发,到离家 1.2 千米的早餐店吃早餐,用了一刻钟吃完早餐后,按原路返回到离家 1 千米的学校上课,在下列图象中,能反映这一过程的大致图像是( ) A B C D 2.根据生物学研究结果,青春期男女生身高增长速度呈现如下规律,由图可以判断下列说法错误错误的 是( ) A、男

17、生在 13 岁时身高增长速度最快 B、女生在 10 岁以后身高增长速度放慢 C、11 岁时男女生身高增长速度基本相同 D、女生身高增长的速度总比男生慢 3.一水池有甲、乙、丙三个水管,其中甲、丙两管为进水管,乙管为出水管单位时间内,甲管水 流量最大,丙管水流量最小先开甲、乙两管,一段时间后,关闭乙管开丙管,又经过一段时间, 关闭甲管开乙管,则能正确反映水池蓄水量 y(立方米)随时间 t(小时)变化的图象是( ) A、 B、 C、 D、 4.“十一黄金周”的某一天,小王全家上午 8 时自驾小汽车从家里出发,到“番茄农庄” 游玩.小汽车 离家的距离 S(千米)与小汽车离家后时间 t (时)的关系可

18、以用图中的曲线表示.根据图像提供的有关 信息,解答下列问题: (1)“番茄农庄”离家_千米; (2)小王全家在“番茄农庄”游玩了_小时; (3)去时小汽车的平均速度是_千米/时; (4)回家时小汽车的平均速度是_千米/时。 5.小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校图中的折线表示小亮的行程 s(km)与所花时间 t(min)之间的函数关系下列说法错误的是( ) A.他离家 8km 共用了 30min B.他等公交车时间为 6min C.他步行的速度是 100m/min D.公交车的速度是 350m/min 6.小英早上从家里骑车上学,途中想到社会实践调查资料忘带了,立刻原路返回,返家途中遇到

19、给 她送资料的妈妈,接过资料后,小英加速向学校赶去能反映她离家距离 s 与骑车时间 t 的函数关 系图像大致是( ) A B C D 7某商场国庆促销优惠规定:如一次购物不超过 200 元,无折扣;如一次购物超过 200 元但 不超过 500 元,按标价九折优惠;如一次购物超过 500 元,其中 500 元按第条优惠;超过 500 元的部分给予八五折优惠. (1)求某人购物付款 y 元关于所购物品原价 x 元之间的关系式及定义域. (2)某人两次购物,分别付款 170 元和 441 元,如果两次并一次购物,买同样的商品,比分两次 购买可节约多少元? 答案:B;D;D;50,5,50,100;D

20、;D; 7.(1)当 x200 时,y=x;当 200500 时,y=0.85x+25; (2)170200 0.9=180 付款 170 元,没有得到优惠 441500 0.9=450, 付款 441 元,是按标价给予 9 折优惠后的付款额 实际标价为:490 元 不考虑优惠的实际价格为:660500, 合并后实付款: 660 0.85+25=586, 可节约 170+441-586=25(元) 回顾总结回顾总结(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 一、函数表示法:列表法,图像法,解析式法一、函数表示法:列表法,图像法,解析式法 二、说说函数定义域的求法;二、说说函数定义域的求法; 三、

21、实际问题的函数表达有哪些题型?三、实际问题的函数表达有哪些题型? 优点 缺点 列表 对于表中自变量的每一个值,可 以不通过计算,直接把因式变量 的值找到,查询时很方便.于是一 些数学用表应运而生 只能列出部分自变量与因变量的对应值,难 以反映变量间变化的全貌,而且从表中看不 出来变量间的对应规律 关系式 简明扼要、规范准确 有些变量之间的关系很难或不能用关系式表 示,求对应值也需要逐个计算,比较麻烦 图象 形象直观.可见形象地反映出事 物变化的全过程、变化的趋势和 某些性质(因变量的增减变化) 点的对称、最大或最小值等 图象是近似的、局部的、观察或由图象确定 的因变量的值往往不够准确 课后巩固

22、课后巩固(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 1.如图,各图象所反映的是两个变量之间的关系,表示匀速运动的是( ) A (3) (4) B.(2) (3) C. (1) (2) D.(2) (4) 2.打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水) ,洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四 个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函 数关系,其函数图象大致为( ) Ox y Ox y Ox yy xO A B C D 【答案】D 2. 我国有很多城市水资源缺乏,为了加强居民的节水意 识,某城市制定了每月用水 4 吨以内(包括 4 吨)和用水 4 吨

23、以上两种收费标准(收费标准: 指每吨水的价格) ,用户每月应交水费 y(元)是用水量 x(吨)的函数,其函数图像如图所示。 (1)用水 4 吨以内的收费标准是_元/吨; (2)若小明家该月交水费 12.8 元,则他家用了_吨水。 答案:1.2;9 2. 某市新出台的职工医疗保险改革方案规定:已退休的职工看门诊,先由个人账户支付门诊费用, 个人账户上的钱用完,由个人自付上一年度本市职工年平均工资的 2%,超过部分,个人再自己负 担超过部分费用的 15%,已知 2006 年某市职工年平均工资为 24000 元,个人账户上的钱由上一年 y(元) x (吨) 4 6 4 8 度本市职工年平均工资的 4%组成. (1)设 2007 年该市退休职工看病自付费用为 y 元,门诊费用 x 元,求 y 关于 x 的解析式及其定义 域. (2) 王老伯是该市退休职工, 2007 年王老伯第一次看病就将个人账户上的钱都用完了.王老伯第二 次去医院共支付了现金 930 元, 王老伯想知道这次看病的总费用是多少钱, 你能告诉王老伯他这两 次看病的总费用吗? 答案: (1)当 x960 时,y=0;当 9601440 时,y=0.15x+264(2) 4440 元