1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 命题、证明、举例（一）命题、证明、举例（一） 待提升的知 识点/题型 1.命题和证明相关的定义概念； 2.规范的证明方法和步骤、基本常用的证明技巧和思路。 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：证明的相关概念知识点一：证明的相关概念 1.证明证明 演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规
2、则，推导出某 结论为正确的过程，在我们沪教版教材中，演绎证明又简称为“证明（proof） ”. （此外还有“实践证明” 、 “实验证明” 、 “举例证明”等，其中演绎证明最严格、最可靠） 2.证明的基本要求证明的基本要求 演绎证明的每一步推理都必须有依据依据，通常把每一步的依据写在其得到的结论后面的括号内； 整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开。一连串连贯、有序的因果 关系组成了完整的证明。 3.推理依据推理依据 在证明中，推理的依据可以是公理、定理、概念、定义；也可以是“已知条件” 、 “已证事项” （即已知、已证） 。 4.辅助线辅助线 由于证明的需要，可以在原来
3、的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线辅助线（通常画虚线） 。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：命题的相关概念知识点二：命题的相关概念 1.“定义”的定义“定义”的定义 能界定某个对象含义的句子叫做定义。 2.命题命题 判断一件事情的句子叫做命题。判断为正确的命题为真命题；判断为错误的命题叫做假命题。 （证明真命题需要一系列分析过程，证明假命题只需要一个反例即可） 3.公理公理 人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理。（它们是判断其他命题真假的原始依据） 4.定理定理 从公理或其他真命题出发， 用推理方法证明为正确的， 并进一步作为判断其他命题真假的依据， 这样的真命题叫做
4、定理。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点三：证明举例知识点三：证明举例 1.符号符号 在证明的表述中，符号“” 、 “”分别读作“因为” 、 “所以” ，并与其同义。 2.证明分析方法证明分析方法 （1）由因导果，即从“已知”看“可知”推向“未知” ； （2）执果索因，即从“未知”看“需知”靠拢“已知” ； （3） “两头凑” ，即既从“未知”看“需知” ，又从“已知”看“可知” ，使“需知”与“已知相 衔接” 。 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、命题和证明的相关概念一、命题和证明的相关概念 （一）典例分析、学一学
5、（一）典例分析、学一学 例例 1-1 指出下列命题的真命题和假命题指出下列命题的真命题和假命题 1.和为 180的两个角互为补角； 2. x 1 是单项式； 3.凡直角都相等； 4.函数kxy 是正比例函数. 例例 1-2 把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并指出它的题设和结论，判定真假把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并指出它的题设和结论，判定真假. 1.两条直线平行，同旁内角互补； 2.同角的余角相等； 3.一个锐角与一个钝角的和等于一个平角. 例例 1-3 古希腊著名数学家欧几里得几何原本五大公理与五大公设阅读赏析。古希腊著名数学家欧几里得几何原本五大公理与五大公设阅读赏析。 （
6、二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 1.把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并指出它的题设和结论把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并指出它的题设和结论. （1）长度相等的两条线段是相等的线段 （2）平行四边形的对边相等； 五条公理五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分. 五条公设五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段（有限直线）可以无限地延长； 3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直 线同
7、侧的两个内角之和小于 180 度，则这两条直线 经无限延长后在这一侧一定相交. （3）等角的补角相等； 2.将命题：“两直线平行，内错角相等”改写成：“如果,那么”，改写 后的命题是： 。 3.把命题“底边小于腰长的等腰三角形，顶角大于 60”改写成“如果 那么”的形式为 是 。 4.命题“相等的角是对顶角”的条件是 ，结论是 ，这 个命题是真命题还是假命题：_. 5.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是_命题（填“真”或“假”） 6.证明“四边形的内角和为 360 度”（简要口头说明即可） 7.证明“互补的两个角至少有一个钝角”是假命题（口头叙述举反例） 答案：如果两直线平行，那么内错角
8、相等；如果等腰三角形的底边小于腰长，那么它的顶角大于 60 ；两个角相等，这两个角是对顶角，假命题；假；连接对角线，分成两个三角形；两个直角. 二、二、证明举例证明举例 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 如图，在ABC 中，AB = AC，将ABC 绕点 B 旋转成DBE，使 D、C、E 在一条直线上， AB 与 DE 平行吗？说明理由. 答案：ABDE，理由如下： E D A B C ABCDBE（旋转的性质） ， ACB =E，BC=BE（全等三角形对应边、对应角相等） ， E=BCE（等边对等角） ， AB = AC（已知） ABC=ACB（等边对等角） ， A
9、BC=BCE（等量代换） ，ABDE（内错角相等两直 线平行） 例例 2-2 已知：如图，AB=AC，AD=AE，BAE=CAD，BD 与 CE 相于点 F 求证： （1）B=C； （2）FB=FC 答案：证明： （1）BAE=CAD（已知） ， BAE+EAD=CAD+DAE（等式性质） ，即BAD=CAE 在ABO 和ACO 中，AB=AC（已知） ，BAD=CAE(已证)，AD=AE(已证) ABDACE（S.A.S） ABD=ACE（全等三角形对应角相等） (2) 联结 BC AB=AC（已知） ABC=ACB(等边对等角) ABD=ACE (已证) ABCABD=ACBACE（等式性
10、质） ，即FBC= FCB FB=FC (等角对等边) 例例 2-3 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCDC求证：AC 垂直平分 BD 答案： 在 ABC 和 ADC 中， ABAD（已知） ，BCDC（已知） ，ACAC（公共边） ， ABCADC（SSS） ， BAC=DAC（全等三角形对应角相等） F C D A E B B D A C AC 垂直平分 BD（等腰三角形三线合一） 例 2-4 如图，C 是线段 AB 上一动点，分别以 AC、BC 为边作等边ACD等 边BCE，连接 AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N 两点 （1）求证：AE=BD； （2）判断直线 MN
11、与 AB 的位置关系； （1）证明： ACD 和BCE 均为等边三角形（已知） ， DC=AC，EC=BC，且DCB=ACE=120， （等边三角形性质） 在DCB 和ACE 中， DCAC（已证） ，DCBACE（已证） ，ECBC（已证） DCBACE（SAS） ， AE=BD（全等三角形对应边相等） ； （2）MNAB 理由如下：由（1）可知DCBACE， NBC=MEC（全等三角形对应角相等） ， 又MCE=180 -60 -60 =60 ， NCB=MCE=60 （等量代换）.， 在NCB 和MCE 中， NBCMEC（已证） ，BCEC（已证） ，NCBMCE（已证） ， NCBM
12、CE（ASA） ， CN=CM（全等三角形对应边相等） ， 又MCE=60 （已证） ， CMN 是等边三角形（有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形） ， NMC=60 （等边三角形性质） ， NMC=ACD=60 （等量代换） MNAB（内错角相等两直线平行） ； （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 1.如图，在ABC 中，ABAC，C2A，A ；若 BD 是ABC 的平分线，则图中有 个等腰三角形。36，3 2. 已知线段 AC 与 BD 相交于点 O，联结 AB、DC，E 为 OB 的中点，F 为 OC 的中点，联结 EF（如 图所示） （1）添加条件A=D，OEF=OF
13、E，求证：AB=DC （2）分别将“A=D”记为，“OEF=OFE”记为，“AB=DC”记为，添加条件、，以 D A BC 为结论构成命题 1，添加条件、，以为结论构成命题 2命题 1 是 命题， 命题 2 是 命题 （选择“真”或“假”填入空格） 答案：证明： （1）E 为 OB 的中点，F 为 OC 的中点（已知） ， OB=2OE，OC=2OF（中点的定义） OEF=OFE（已知） ， OE=OF（等角对等边） OB=OC（等量代换） 在 AOB 与 DOC 中， A=D（已知） ，AOB=DOC（对顶角相等） ，OB=OC（已证） ， AOBDOC（AAS） AB=DC（全等三角形对应
14、边相等） （2）对于命题 1，可证 AOBDOC 得到 OB=OC，再得 OE=OF，从而能得到OEF=OFE， 故其是真命题； 对于命题 2，由所给的条件不能证明 AOBDOC，因此其是假命题 2. 已知：如图，点 D、E 在 BC 上，BD=EC，1=2，求 证：AB=AC. 答案：证明：1=2（已知） ， AE=AD（等角对等边） BDA=CEA（等角的补角相等） 在 ABD 和 ACE 中， BD=CE（已知） ，BDA=CEA（已证） ，AD=AE（已证） ABDACE（SAS） AB=AC（全等三角形对应边相等） 3. 如图，BD 是 ABC 的一条角平分线，AEBD，交 CB 的
15、延长线于点 E，F 为 AE 的中点求 证：BDBF E FO CB AD 21 DEBC A 答案：AEBD（已知） E=DBC，EAB=DBA（两直线平行同位角、内错角相等） DBC =DBA（角平分定义） E=EAB（等量代换） AB=BE（等角对等边） F 为 AE 的中点（已知） BFAE（等腰三角形三线合一） AFB=90 （垂直的定义） AEBD（已知） FBD+AFB=180 （两直线平行同旁内角互补） FBD =90 （等量代换） BDBF（垂直的定义） （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、填空题 1 把下列命
16、题改写成“如果， 那么”的形式， 并判断其真假： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）同角的余角相等。 （3）平角都相等。来源:学科网 ZXXK （4）等腰三角形顶角的平分线是底边上的高。 2.举反例证明下列命题是假命题： D F E A BC （1）两个互余的角不相等。 （2）素数都是奇数。 （3）同位角相等。 （4）如果 x2=y2，那么 x=y。 3如图，把定理“三角形的三个内角和等于 180”， 改写成已知： ， 求证： 。 4如图，“求证：等腰三角形两腰上的高相等” 改写成已知： ， 求证： 。 5全等三角形的对应 相等，对应 相等。 6等腰三角形的 角相等。等腰三角形的 互相重合
17、 。 7如图，已知 ABFDCE，则C= ，BF . 8如图，点 E、F 在 AD 上，AE=DF，ABCD，要使 ABFDCE， 还需要添加条件 （A.S.A） ，或者 (A.A.S). 二、证明题 1如图，已知 AB=AC,AD=AE, 1=2.求证：B=C. 2如图，D、E 在ABC的边 BC 上，AB=AC， （1）BD=CE，求证： AD=AE （2）AD=AE，求证：BD=CE CB A F E D C BA 第7、8题图 2 1 E D C B A ED CB A ED C B A 3求证：等腰三角形两腰上的中线相等. 来源:学科网 ZXXK 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）
18、（尚孔教研院彭高钢） 一、命题概念图示一、命题概念图示 二、几何证明的分析思路二、几何证明的分析思路 总思路：总思路：从已知出发，即：根据所给条件、利用相关定理直接可得的结论；从结论出发，即： 根据所要证明的结论，去寻找条件。 1、证线段相等、证线段相等的思路的思路 全等，然后利用全等三角形性质得到线段相等； 角相等，然后利用等角对等边（前提：在同一个三角形中） 寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论； 观察图形，看是否可以直接利用线段的垂直平分线定理或角平分线定理来得出结论。 2、证角相等、证角相等的思路的思路 全等，然后利用全等三角形性质得到角相等； 线段相等，然后利用等边对等角（前提：在
19、同一个三角形中） 假命题 真命题 公理 定理 命题 寻找中间变量，然后利用等量代换得出结论； 观察图形，看是否可以直接利用角平分线逆定理(下一节学习)来得出结论。 3、证、证线线垂直垂直的思路的思路 两条直线所夹的角为 90 ； 先证等腰三角形，然后利用“三线合一”来得出结论（前提：在同一个三角形中） 4、证三角形全等证三角形全等的思路的思路 首先熟知判定定理，然后从已知找条件，看要判定全等还却什么条件，然后再去寻找和推导. 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）尚孔教研院彭高钢） 19.2（1）证明举例）证明举例 一、选择题一、选择题 1. 如图，DEAB， 3 1 CAECAB，CDE=75
20、，B=65，则 AEB是（ ） A. 70 B. 65 C. 60 D. 55 2. 如图，直线ba、被直线c所截，现给出下列四个条件：1=5；1=7； 2+3=1804=7，其中能判定ab的条件的序号是（ ）. A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 3. 完成推理填空：如图，直线CDAB、被EF所截，若ABCD，求证：1=2. 请你认真完成下面填空. 证明：因为ABCD， （已知） 第第 1 题图题图 第第 2 题图题图 第第 3 题图题图 所以 1=_（两直线平行，_） 又因为 2=3， （ _） 所以 1=2.（_） 4. 如图，直线ABCD、相交于点E，DFAB.若 AEC=1
21、00，则 D_. 5. 如图， 1 l 2 l，1=120，2=100，则 3=_. 6. 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点CD、分别落在 CD、的位置.若 EFB65，则 AED的度数为_. 三、解答题三、解答题 7. 如图，1=2，CD，求证：AF. 8. 如图，BBGD，DGFF，求证：BF180. 第第 4 题图题图 第第 5 题图题图 第第 6 题图题图 9. 如图，BAE180AED，MN,试着说明：12. 10. 如图，在ABC中，BCAD于D，E为AB上一点，BCEF 于F，DGBA 交CA于G，求证：12. 11. 如图所示，问 、1、23、4要满足什么条件可以证明AB
22、CD? 19.2（2）证明举例）证明举例 一、选择题 1、如图，1=2，BC=EF，欲证明ABCDEF，则需补充一个条件是（ ） （A）AB=DE （B）ACE=DFB （C）BF=EC （D）ABC=DEF 2、等腰三角形的一个外角等于 100，则与它不相邻的两个内角的读数分别是（ ） （A）40、40 （B）80、20 （C）50、50 （D）50、50或 80、20 二、填空题 3、如图，ABC 全等 DEB，AB=DE，E=ABC，则C 的对应角为 ，BD 的对应边 为 。 4、如图，AD=AE，1=2，BD=CE，则有ABD ，三角形ABE 。 5、如图，ABCD，直线 EF 分别交
23、 AB、CD 于点 E、F，EG 平分BEF 交 CD 于点 G，如果 EFG=50，那么EGF= 。 6、如图，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分别为 D、E、F，BD=CD，那么图中全等三角形 有 对。 三、解答题 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 7、如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，DE 交 AC 于点 E，DE=FE，FCAB，找出全等三角新并 证明. 8、如图，B、C、E 三点在一直线上，AC 平行 DE，AC=CE，ACD=B，求证：AB=CD 9、如图，A=D，B=E，BF=CE，求证 AC=DF. 10、如图，在四边形 ABCD 中
24、，ADBC，BC=DC，CF 平分BCD，DE 平行 AB，BF 的延长线 交 DC 于点 E。求证： （1）BFCDFC； （2）AD=DE 课后作业参考答案课后作业参考答案 19.2（1）证明举例）证明举例 第 10 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 7 题图 1、B 2、A 3、3 同位角相等 对顶角相等 等量代换 4、80 5、40 6、50 7、因为1=2，2=AHC，所以1=AHC，从而 BD/CE（同位角相等，两直线平行） 。于 是ABG=C，而C=D，则D=ABG，又因为在FDG 中，F+D+DGF=180，在 ABG 中，A+1+ABG=180，1=FGD,所以A=F 8
25、、因为B=BGD（已知） ，所以 AB/CD（内错角相等，两直线平行） ，因为DGF=F（已知） 所以 CD/EF（内错角相等，两直线平行） ，所以 AB/EF（平行于同一条直线的两直线平行， ）所以 B+F=180（两直线平行，同旁内角互补） 9、因为BAE+AED=180（已知） ，所以 AB/CD（同旁内角互补，两直线平行） ，所以BAE= AEC（两直线平行，内错角相等） ，又因为M=N（已知） ，所以 AN/EM（内错角相等，两直 线平行） ，所以NAE=AEM（两直线平行，内错角相等） ，所以BAE-NAE=AEC-AEM， 即1=2 10、因为 ADBC，FEBC，所以EFB=A
26、DB=90，从而 EF/AD，所以2=3，又因为 DG/BA，所以3=1，因此1=2 11、设直线 EF 交 AB 于 G，交 CD 于 H，则2=1+BGE，3=4+CHF，从而BGE= 2-1 ，CHF=3-4，故只要1+3=2+4 就可证明 AB/CD 19.2（2）证明举例）证明举例 1、D 2、D 3、DBF CA 4、ACE SAS ACD 5、65 6、3 7、因为 FC/AB，所以ADE=EFC（两直线平行，内错角相等） ，因为ADE=EFC，DE=FE （已知） ，DEA=FEC（对顶角相等） ，所以DEAFEC，所以 AD=CF（全等三角形的对应 边相等） 8、因为 AC/
27、DE，所以ACB=DEC，ACD=D，因为ACD=B，所以B=D，又因为 AC=CE，所以ABCCDE，因此 AB=CD 9、因为 BF=CE，所以 BC=EF，又因为A=D，B=E，所以ABCDEF，所以 AC=DF 10、 （1）因为 CF 平分BCD，所以BCF=DCF，因为 CF 是公共边， BC=DC， 所以BFCDFC （2）连结 BD，因为BFCDFC ，所以 BF=DF，从而FBD=FDB，因为 DF/AB，所以 FDB=ABD，所以ABD=EBD，因为 AD/BC，所以ADB=DBC，因为 DC=BC，所以 DBC=BDC，所以ADB=EDB，因为 BD 为公共边，所以ABDEBD，因此 AD=ED