1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 直角三角形性质及全等判定 待提升的知 识点/题型 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一知识点一 1、直角三角形全等的判定 （1）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简 称“H.L”定理） （2）判定两个直角三角形全等的方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL （尚孔教研院彭
2、高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点二 2、直角三角形的性质： （1）定理 1：直角三角形的两个锐角互余； （2）定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2： 在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于30 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 例 1：如图，已知 BC AB，AD=DC，BD 平
3、分BAC，求证：A+C=180 证法一：如图 1，在边 BC 上取点 E，使得 BE=BA，联结 DE BD 平分ABC 1=2 在ABD 和EBD 中，AB=EB，1=2，BD=BD ABDEBD（SAS） A=BED DA=DE 又AD=DC DE=DC C=CED BED+DEC=180 C+A=180 2 1 图1 E D B C A 2 1 图2 F E D B C A 证法二：如图 2，过点 D 作 BA 的垂线，与 BA 延长线交于点 E，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 F DE、DF 为点 D 到ABC 的两边的距离 BD 平分ABC DE=DF 在 RtDEA 和 RtD
4、FC 中，AD=CD，DE=DF RtDEARtDFC DAE=C DAE+DAB=180 C+DAB=180 D BC A 二、二、直角三角形的性质直角三角形的性质 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 如图，在锐角ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，AD、CE 相交于 F，BF 的 中点为 P，AC 的中点为 Q，联结 PQ、DE 问题 1：求证：直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线； 问题 2：如果ABC 是钝角三角形，BAC90 ，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形 改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明。 答案： （1）证明：联结 PD
5、、PE、QD、QE CEAB，P 是 BF 的中点，PE= 1 2 BF 同理：PD= 1 2 BF， PD=PE 点 P 在线段 DE 的垂直平分线上 同理可证，QD、QE 分别是 RtADC 和 Rt AEC 斜边上的中线， QD= 1 2 AC=QE， 点 Q 也在线段 DE 的垂直平分线上 直线 PQ 垂直平分线段 DE （2）当ABC 为钝角三角形时， （1）中的结论仍成立 原题改写为：如图，在钝角ABC 中，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，DA 与 CE 的延长线交 于点 F，BF 的中点为 P，AC 的中点为 Q，联结 PQ、DE 求证：直线 PQ 垂直且平分线段 DE
6、 证明：联结 PD，PE，QD，QE，则 PD、PE 分别是 RtBDF 和 RtBEF 的中线， PD= 1 2 BF，PE= 1 2 BF， PD=PE， 点 P 在线段 DE 的垂直平分线上 同理可证：QD=QE， 点 Q 在线段 DE 的垂直平分线上 直线 PQ 垂直平分线段 DE 例例 2-2 如图，在等边ABC 中，AB=4，点 P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点） ，过 P 作 PE BC 于 E；过 E 作 EFAC 于 F；过 F 作 FQAB 于 Q 问题 1：设 BP=x，AQ=y，用含 x 的式子填空， EC= ， AF= ， 写出求 y 关于 x 的函数解析式，
7、并写出它的定义域； 问题 2：当 AQ=1.2 时，求 BP 的长度； 问题 3：当 BP 的长度等于多少时，点 P 与点 Q 重合？ 答案：问题 1： EC=4- 1 2 x，AF=2+ 1 4 x， y 与 x 之间的函数关系式为 y=1+ 1 8 x； （0x4） 问题 2：当 AQ=1.2 时，即 y=1.2 时，1.2=1+ 1 8 x，解得 x=1.6， 当 AQ=1.2 时，求 BP 的长度为 1.6； 问题 3：点 P 与点 Q 重合，x+y=4，x+1+ 1 8 x=4，解得 x= 8 3 ， 当 BP 的长度等于 8 3 时，点 P 与点 Q 重合 例例 2-3 如图， 在
8、ABC 中，90ACB，ACBC， P 是ABC 内的一点， 且1PB ，2PC ， 3PA，求BPC的度数 答案：135 提示：旋转三角形 APC 例例 2-4 如图在RtABC 中，90C，DADB，E、F 分别在 AC 和 BC 上，且 EDDF 求证： 222 EFAEBF 提示：倍长 FD，将三条线段转化到一直角三角形中. （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC=BC，D 是斜边 AB 上的一点, AECD 于 E，BFCD 交 CD 的延长线于 F.求证：ACECBF. F
9、E B A C D F E D B A C 证明:AECD AEC=90 , ACE+CAE=90 (直角三角形两个锐角互余) ACE+BCF=90 CAE=BCF (等角的余角相等) AECD ，BFCD， AEC=BFC =90 . 在ACE 与CBF 中，CAE=BCF，AEC=BFC，AC=BC ACECBF(AAS) 2.如图， 已知在ABC 中， AD 是高，CE 是中线， DC=BE 求 证：B2BCE 证明:联结 DE. ADBC,AE=BE, DE=BE,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.) B=BDE.(等边对等角) CD=BE,CD=DE,(等量代换) DEC=DC
10、E.(等边对等角) EDB=DEC+BCE,(三角形一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和.) EDB=2BCE.(等式性质) B=EDB, B=2BCE. (等量代换) 3.如图，四边形 ABCD 中，DAB=DCB=90o，点 M、N 分别是 BD、AC 的中点。猜测 MN、AC 的位置关系，说明理由。 证明：联结 AM、MC 在DCB 和BAD 中， DAB=DCB=90 ， M 是边 BD 的中点， AM=MC= 1 2 BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ； N 是 AC 的中点， MNAC 4.已知：如图，在ABC中，C90 ，B30 ，AC6，点D、E、F分别在边BC、
11、AC、AB上 （点E、F与ABC顶点不重合） ，AD平分CAB，EFAD，垂足为H （1）求证：AEAF； （2）设CEx，BFy，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； 答案： （1）证明：AD平分CAB，EFAD，AH=AH AEHAFH AE=AF D E B C A H F D A CB E (2)在ABC中，C=90 ，B=30 ，AC=6 AB=12 又CE=x，BF=y AE=AC-CE=6-x, AF=AB-BF=12-y AE=AF 6-x=12-y y=x+6(0x6) 5. 如图：在ABC 中，ACB90 ，ACBC，D 在 BC 延长线上，E 是 AC 上一点，且 E
12、CDC， M、N 分别是 AD、BE 中点，判断MCN 形状并证明。 答案：MCN 为等腰直角三角形；理由如下： 在ACD 与BCE 中，ACCB，ACD=BCE=90 ，CDCE， ACDBCE（SAS）AD=BE，DAC=EBC M、N 分别是 AD、BE 中点 CN=BN= 1 2 BE，CM=AM= 1 2 AD CN=CM，MAC=ACM，NBC=NCB DAC=EBC ACM=NCB NCM=MCA+ACN=NCB +ACN=90 MCN 为等腰直角三角形 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1直角三角形全等的判定定理： （简称： ） 2.直角三角形的性质定理
13、： ： 推论： ： EN M D C B A 答案：1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，HL 2. 直角三角形的两个锐角互余。 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 推论： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ，那么这个角所对的边等于斜边的一半。 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30 。 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.已知：如图，点 D 是 BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F，DE= DF 求证：ADBC 证明：点 D 是 BC 的中点，BD=CD DEAB，DFAC， BD
14、E 和CDF 都是直角三角形 在 RtBDE 和 RtCDF 中，BD=CD，DE=DF RtBDERtCDF（H.L） B=C（全等三角形的对应角相等） AB=AC （等角对等边） AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ADBC （等腰三角形的三线合一） 2如图所示，BD、CE 是三角形 ABC 的两条高，M、N 分别是 BC、DE 的中点，猜测 MN 与 DE 的位置关系，说明理由。 证明：如图所示，联结 EM，DM， BD，CE 为ABC 的两条高，BDAC，CEAB， E F D BC A BEC=BDC=90 ， 在 RtBEC 中，M 为斜边 BC 的中点，EM= 1 2 BC， 同理在 RtBDC 中，M 为斜边 BC 的中点，可得 DM= 1 2 BC， EM=DM，又 N 为 ED 的中点，MN 垂直平分 ED