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著名机构讲义秋季教案20-初二数学-期末复习 - 教师版

1、教师姓名 学生姓名 年 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 期末复习 待提升的知 识点/题型 (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)知识梳理知识梳理(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点一知识点一 考点一、二次根式考点一、二次根式 1、二次根式 式子)0(aa叫做二次根式,二次根式必须满足:含有二次根号“” ;被开方数 a 必须 是非负数。 2、最简二次根式 若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方

2、的因数或 因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤: (1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式 的形式,然后利用分母有理化进行化简。 (2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因 式开出来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后, 如果被开方数相同, 这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 (1))0()( 2 aaa )0( aa (2) aa2 )0(aa (3))0, 0(babaab (4))0, 0(ba b a b a 5、二次根式混合运算

3、 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括 号里的(或先去括号) 。 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点二知识点二 考点二、一元二次方程考点二、一元二次方程 1、一元二次方程的概念 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax,它的特征是:等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式,等式右 边是零,其中 2 ax叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常 数项。 3、一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直

4、接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适 用于解形如bax 2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,ax 是 b 的平方根,当0b 时,bax,bax,当 b0 经过第 一 、第 三 象限 k0 y 随 x 的增大而 增大 在每一象限内,y 随 x 的增大而 减小 k0 y 随 x 的增大而 减小 在每一象限内,y 随 x 的增大而 增大 (尚孔教研院彭高钢(尚孔教研院彭高钢知识点四知识点四 考点(四)证明举例(按学校进度为准)考点(四)证明举例(按学校进度为准) 19.1 命题和证明命题和证明 1判断一件事情的句子叫做命题;其判断为正确的命题叫做真命题;其判断

5、为错误的命题叫做假 命题 2命题可以写成“如果那么”的形式,如果后是题设,那么后是结论. 19.2 证明举例证明举例 1平行的判定,全等三角形的判定等证明,辅助线的添加. 19.3 逆命题和逆定理逆命题和逆定理 1在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,二第一个命题的结论又是第二个 命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫 做它的逆命题 2如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一 个的逆定理. 19.4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线定理:线段垂直平分线上的任意一点到

6、这条线段两个端点的距离相等。 2、逆定理:和一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 19.5 角的平分线角的平分线 1、角的平分线定理:在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。 2、逆定理:在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 19.6 轨迹轨迹 1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 2、在一个叫的内部(包括顶点)且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆 19.7 直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 1定理 1:如果直角三角形的斜边和一条

7、直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等(简记为 H.L) 2其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用 19.8 直角三角形的性质直角三角形的性质 1定理 1:直角三角形的两个锐角互余; 2定理 2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3推论 1:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半 4 推论 2: 在直角三角形中, 如果一条之骄傲便等于斜边的一般, 那么这条直角边所对的角等于30 19.9 勾股定理勾股定理 1定理:在直角三角形中,斜边大于直角边 2勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和,等于斜边的平方 3勾股定理的逆定理:如果三角形的一条边的平方等

8、于其他两条边的平方和,那么这个三角形是 直角三角形 19.10 两点间距离公式两点间距离公式 如果直角坐标平面内有两点 11 ( ,)A x y 、 22 (,)B xy,那么A 、B两点的距离 22 2121 ()()ABxxyy (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)知识精析知识精析(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 一、二次根式一、二次根式 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 1-1 若 x,y 为实数,且 yx4114 x 2 1 求 x y y x 2 x y y x 2的值 分析:要使 y 有意义,必须满足什么条件?你能求出 x,y 的值吗? 解:要使 y

9、有意义,必须 1 40 410 x x ,即 . 4 1 4 1 x x x 4 1 当 x 4 1 时,y 2 1 原式 11 22222 22 例例 1-2 若最简二次根式 1 52 a a与ba34 是同类二次根式,则a= ,b= 解:依题意: 12 2543 a aab 解得: 1 1 a b 例例 1-3 化简: 2aabbaba abaabbabbab 答案: 211 22 222 1 aabbbab ababbaa aabba bab ababa aabbbab abab ab ab 二、一元二次方程二、一元二次方程 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 2-1 当

10、m为何值时,关于x的方程 22 32mxxxmx是一元二次方程? 答案:1m 例例 2-2 已知:两个二次方程00 22 dcxxbaxx,有一个公共根 1. 求证:二次方程0 22 2 db x ca x也有一个根是 1. 证明:. 0)()(2 01 01 dbca dc ba ,则 . 02 2 1 22 1 )(dcba dbca 所以得证. 例例 2-3 已知方程0120182016)2017( 2 xx的较大根是a,方程020182017 2 x的较 小根是b,求 2017 )(ba的值. 答案:0 例例 2-4 用配方法解下列方程: (1) 2 12150xx (2) 2 1 4

11、0 4 xxZxx 答案:651x ;22 5x 例例 2-5 已知关于x的方程 22 2(2)xkxkx。当k为何值时,此方程 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? (4)有一个根为 0? 答案答案:1215k(1) 5 4 k ; (2) 5 4 k ; (3) 5 4 k ; (4)2k . 例例2-6已知cba、是ABC的三边, 关于x的一元二次方0)( 4 3 )(2)( 2 caxcaxcb, 有两个相等的实数根. 求证: ABC 为等腰三角形. 答案提示:表示出判别式,并利用提公因式进行因式分解得出因式,然后易证. 例例 2-7 在实数范围

12、内分解因式: 22 243xxyy 210210 2()() 22 xy xy 例例 2-8 如图所示,某小区规划在一个长为 40 米,宽为 26 米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小 A B O x y 路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 平方 米,求小路的宽度? 解:可设小路宽为x米,依题意,得 6144)26)(240(xx, 解得44, 2 21 xx(不合题意,舍去). 答:小路的宽度为 2 米. 三、正比例函数和反比例函数三、正比例函数和反比例函数 (一)典例分析,学一学(一)典例分析,学一学 例例 3-1 已知 1 2

13、2 kk xkxf是正比例函数,求k的值。写出这个正比例函数,并求出当变量x 分别取3,0,5时的函数值。 参考答案:k=1, f(x)=3x,f(-3)=-9,f(0)=0,f(5)=35 例例 3-2 已知: 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 1 2 yx的图像与反比例函数 k y x 的图像交于 点4,Am,过点 A 作ox的垂线交x轴于点 B. (1) 求反比例函数的解析式;(2) 如果点 C 在 1 2 yx 的图像上,且CAB 的面积为OAB 面积的 2 倍,求点 C 的坐标 24解: (1)将点(4,)Am的坐标代入 1 2 yx得(4,2)A(1 分) 将点(4,2)A的坐

14、标代入 k y x 得 8 y x (1 分) (2)由题意 1 4 2 OAB SOBAB , (1 分) 1 28 2 CAB Sh ,8h (1 分) 12 x C 或4 x C , (2 分) 点 C 在正比例函数 1 2 yx的图像上, 1(12,6) C或 1( 4, 2) C (2 分) 例例 3-3 某人沿一条直路行走,此人离出发地的距离 S(千米) 与行走时间 t(分钟)的函数关系如图所示,请根据图像 提供的信息回答下列问题: (1)此人在这次行走过程中,停留所用的时间为 分钟; (2)由图中线段 OA 可知,此人在这段时间内行走的 速度是每小时 千米; (3)此人在 120

15、 分钟内共走了 千米. 四、几何证明四、几何证明 (一)典例分析、学一学(一)典例分析、学一学 例例 4-1 如图所示,ABC 与CDE 都是等边三角形,AD 与 BE 交于点 M, (1)求证:AD=BE; (2)联结 MC,求证:BMC=DMC 答案: (1)ABC 是等边三角形 BC=AC,ACB=60 同理 CE=CD,ECD=60 ACB+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD, 在BCE 与ACD 中, BC=AC,BCE=ACD,CE=CD, BCEACD AD=BE (2)过点 C 作 CFBE 垂足为 F,CGAD 垂足为 G, CFB=CGA=90 由(1)得BCEACD

16、,CBF=CAG, 在BCF 与ACG 中, CFB=CGA,CBF=CAG, BC=AC, BCEACD CF=CG, S(千米) t(分钟) 0 4 3 A C B D 40 60 90 120 第第 21 题图题图 M E A B C D 又CFBE,CGAD, BMC=DMC 例例 4-2 如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点, EFAD交CA的延长线于点F,交EF于点G,若BGCF, 求证:AD为ABC的角平分线 证明:延长FE到点H,使HEFE,连结BH 在CEF和BEH中 CEBE CEFBEH FEHE CEFBEH EFCEHB ,CFBHBG EHBBGE ,

17、而BGEAGF AFGAGF 又EFAD AFGCAD ,AGFBAD CADBAD AD为ABC的角平分线 例例 4-3 如图,在 RtABC 中,ACB900,ACBC,D 为 BC 的中点,CEAD,垂足为 E,BF AC 交 CE 的延长线于点 F,求证:AB 垂直平分 DF。21 提示:证ACDCBF 例例 4-4 已知ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系, 证明: 1 2 AMBC 证:如图,以Rt ABC的直角边,AB AC所在直线为坐标轴,建立适 当的直角坐标系, 设,B C两点的坐标分别为( , ),(0, )b oc, M是BC的中点,点M的坐标为

18、00 (,) 22 bc ,即( , ) 2 2 b c 由两点间的距离公式得 2222 1 (0)(0), 222 bc AMbc 所以, 1 2 AMBC H A F G B ED C F G ED C B A 第 4 题图 E F D C B A (尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢)课堂测评课堂测评(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 已知:如图,在ABC 中,C90,AC=BC=4,点 M 是边 AC 上一动点(与点 A、C 不重合) , 点 N 在边 CB 的延长线上,且 AM=BN,联结 MN 交边 AB 于点 P (1)猜测 MP 与 NP 的数量关系; (2)若设 AM

19、=x,BP=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出它的定义域; (3)当BPN 是等腰三角形时,求 AM 的长 N P C A B M N PD C A B M 答案: (1)证明:过点 M 作 MDBC 交 AB 于点 D MDBC,MDP=NBP AC=BC,C=90 A=ABC=45 MDBC,ADM=ABC=45 ADM=A,AM=DM AM=BN,BN=DM 在MDP 和NBP 中,MDP=NBP,MPD=NPB,BN=DM MDPNBP MP=NP (2)在 RtABC 中,C90 ,AC=BC=4,4 2AB MDBC,AMD=C=90 在 RtADM 中,AM=DM=x,

20、2ADx MDPNBP,DP=BP=y AD+DP+PB=AB,24 2xyy 所求的函数解析式为: 2 2 2 2 yx 定义域为:04x (3)MDPNBP,BN=MD=x ABC+PBN=180 ,ABC=45 ,PBN=135 当NBP 是等腰三角形时,只有 BP=BN,即 x=y 2 2 2 2 xx ,解得4 24x 当NBP 是等腰三角形时,AM 的长为4 24 回顾总结回顾总结(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 课后巩固课后巩固(尚孔教研院彭高钢)(尚孔教研院彭高钢) 一、一、填空题(本大题共填空题(本大题共 12 题,每题题,每题 3 分,共分,共 36 分)分) 17

21、6的倒数是_; 2已知最简二次根式3a与33 a是同类二次根式,那么 a_; 3已知21 a,化简:212 2 aaa_; 4化简 nm nm 1 _; 5函数 x k y 2 32 的图像在其各自所在的每个象限内,y 的值随 x 的增大而增大,那么 k 的取值 范围是_; 6已知方程0432 2 xx的两根为 21 xx,那么 2 2 2 1 xx_; 7一种型号的数码相机,原来每台售价 5000 元,经过两次降价后,现在每台售价为 3200 元,假 设两次降价的百分率均为 x,那么可列方程_; 8已知正比例函数图像经过点 ba, 3,1,,那么 ab_; 9如图,在三角形纸片ABC中,90

22、C,30A,3AC ,折叠该纸片,使点A与 点B重合,折痕与ABAC、分别相交于点D和点E,那么折痕DE的长为_; (第 9 题) (第 11 题) 10在直角坐标平面内, 已知点 M (2,1) 、N (3,0) 、 R(1,0) ,那么MNR 是_ 三角形; 11在 RtABC 中,AB,CM 是斜边 AB 上的中线,将ACM 沿着直线 CM 折叠,点 A 落 在点 D 处,如果 CD 恰好与 AB 垂直,那么A=_ 12已知在ABC中,AB=32,AC=2,BC 边上的高为3,那么 BC 的长是 二、二、选择题(本大题共选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 4 分,共分,共 16 分)

23、分) 13下列命题中,逆命题是真命题的是( ) A如果 ab,那么 22 ba ; B在一元二次方程00 2 acbxax中,如果方程有两个相等的实数根,那么0; C长方形既是轴对称图形又是中心对称图形; E A B C D D在反比例函数 x y 3 中,如果0x,那么 y 的值随 x 的增大而减小。 14已知 a、b、c 分别是ABC 的三边,根据下列条件能判定ABC 为直角三角形的是( ) A.11,13, 8cba B.12,10, 6cba C.9,41,40cba D.25, 9,24cba 15如图,在甲、乙两位同学进行 200 米跑步比赛中,路程 S(米)关于时间(t 秒)的函

24、数关系 的图像分别为折线 OAB 和线段 OC,下列判断正确的是( ) A甲先到达终点 B乙的速度随着时间的增大而增大 C出发后 30 秒,乙追上甲 D在比赛全程中,甲始终比乙跑得快 16如图,在四边形 ABCD 中,DC90 ,E 为 CD 的 中点,AEB90 ,AB5,BE4,下列说法中不正确不正确 的是( ) A四边形的面积一定是 12 BADBC 一定等于 5 CBE 一定平分ABC D已知 CD 的长,才能求出四边形 ABCD 的面积 三、三、解答题(本大题共解答题(本大题共 4 题,第题,第 17 题题 10 分,第分,第 18、19 题题 12 分,分,第第20 题题 14 分

25、,共分,共 48 分)分) 17已知关于 x 的一元二次方程 2 20xmx (1)若 x=1 是方程的一个根,求 m 的值和方程的另一个根; (2)对于任意实数 m,判断方程的根的情况,并说明理由 18如图,点 A 的坐标为(3,0) ,点 C 的坐标为(0,4) ,OABC 为矩形,反比例函数 x k y 的图像 过 AB 的中点 D,且和 BC 相交于点 E,F 为第一象限的点,AF=12,CF=13. (1)求反比例函数 x k y 和直线 OE 的函数解析式; (2)求四边形 OAFC 的面积 19已知ABC 中,AC =BC, C=120 ,点 D 为 AB 边的中点,EDF=60

26、 ,DE、DF 分别交 AC、 BC 于 E、F 点 (1)如图 1,若 EFAB求证:DE=DF (2)如图 2,若 EF 与 AB 不平行,则问题(1)的结论是否成立?说明理由 20已知ABC 中,AB=10,BC=6,AC=8,D 是 AB 边中点,将一块直角三角板的直角顶 点放在 D 点旋转,直角的两边分别与边 AC,BC 交于 E、F。 取运动过程中的某一瞬间,如图,画出ADE 关于 D 点的中心对称图形,E 的对称点为 E,试 判断 BC 于 BE的位置关系,并说明理由。 设 AE=x,BF=y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出定义域。 E D C A B F 课后试卷答案:

27、176;23;31;4nm;5 3 2 k ;6 25 4 ;7 2 5000 13200x;8 3;91;10等腰直角;1130 ;124 或 2; 13B;14C;15C;16D; 17解: (1)把 x=1 代入方程,得 1+m-2=0,m=12 分 02 2 xx1 分 2 1 x,1 2 x 方程另一个根是2x2 分 (2)由题意得:8 2 m1 分 0 2 m, 08 2 m 即0 2 分 此方程有两个不相等的实数根2 分 18解: (1)依题意,得点 B 的坐标为(3,4) ,点 D 的坐标为(3,2)1 分 将(3,2)代入 k y x ,得 k=6. 反比例函数的解析式为 6

28、 y x . 2 分 设点 E 的坐标为(m,4) ,将其代入 6 y x ,得 m= 3 2 , 点 E 的坐标为( 3 2 ,4). 1 分 设直线 OE 的解析式为 1 yk x,将( 3 2 ,4)代入得 1 8 3 k 直线 OE 的解析式为 8 3 yx. 2 分 (2)联结 AC,由勾股定理得 2222 345ACOAOC.1 分 又 222222 51213ACAFCF, 2 分 由勾股定理的逆定理得CAF=90. 1 分 63036 OACCAFOAFC SSS 四边形 . 2 分 19解: (1)AC=BC,ACB=120 A=B=30 ,1 分 EFAB FEC=A=EF

29、C=B=301 分 EC=CF 1 分 又AC=BC AE=BF 1 分 D 是 AB 中点 DB=AD ADEBDF 1 分 DE=DF 1 分 (2)仍成立 1 分 过 D 作 DMAC 交 AC 于 M,作 DNBC 交 BC 于 N AD=BD,A=B,AMD=BND, AMDBND 1 分 DM=DN 1 分 A=B=30 ,ADM=BDN=60 , MDN=180 -ADM-BDN=60 1 分 EDM=MDN-EDN=60 -EDN, FDN=EDF-EDN=60 -EDN, EDM=FDN, 1 分 又DME=DNF=90 、DM=DN, DEMDFN(ASA) , DE=DF 1 分 20图正确, 2 分 BC BE, 1 分 理 由 : ADE与 BDE 中 心 对 称 , ADE BDE1分 AED = DEB, AC/BE 1 分 AB=10,BC=6,AC=8 ACB=90 EBBC1 分 联结 EF,EF,BE=AE=x 1 分 ADEBDE DE=DE ,又EDF=90 EF=EF 1 分 在 RtECF 与 RtFBE中, 由勾股定理可得,EC + CF = EF = EF = BE + BF 1 分 即 (8-x) + (6-y) = x + y 1 分 化简得: 254 3 x y ( 725 44 x) 2 分+2 分