1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 期末复习 待提升的知 识点/题型 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一知识点一 考点一、二次根式考点一、二次根式 1、二次根式 式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“” ；被开方数 a 必须 是非负数。 2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方
2、的因数或 因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： （1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式 的形式，然后利用分母有理化进行化简。 （2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因 式开出来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 （1）)0()( 2 aaa )0( aa （2） aa2 )0(aa （3）)0, 0(babaab （4）)0, 0(ba b a b a 5、二次根式混合运算
3、 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括 号里的（或先去括号） 。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点二 考点二、一元二次方程考点二、一元二次方程 1、一元二次方程的概念 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax，它的特征是：等式左边十一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右 边是零，其中 2 ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常 数项。 3、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直
4、接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适 用于解形如bax 2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax 是 b 的平方根，当0b 时，bax，bax，当 b0 经过第 一 、第 三 象限 k0 y 随 x 的增大而 增大 在每一象限内，y 随 x 的增大而 减小 k0 y 随 x 的增大而 减小 在每一象限内，y 随 x 的增大而 增大 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点四知识点四 考点（四）证明举例（按学校进度为准）考点（四）证明举例（按学校进度为准） 19.1 命题和证明命题和证明 1判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断
5、为错误的命题叫做假 命题 2命题可以写成“如果那么”的形式，如果后是题设，那么后是结论. 19.2 证明举例证明举例 1平行的判定，全等三角形的判定等证明，辅助线的添加. 19.3 逆命题和逆定理逆命题和逆定理 1在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个 命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫 做它的逆命题 2如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一 个的逆定理. 19.4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到
6、这条线段两个端点的距离相等。 2、逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 19.5 角的平分线角的平分线 1、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。 2、逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 19.6 轨迹轨迹 1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆 19.7 直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 1定理 1：如果直角三角形的斜边和一条
7、直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为 H.L） 2其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用 19.8 直角三角形的性质直角三角形的性质 1定理 1：直角三角形的两个锐角互余； 2定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 4 推论 2： 在直角三角形中， 如果一条之骄傲便等于斜边的一般， 那么这条直角边所对的角等于30 19.9 勾股定理勾股定理 1定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 2勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 3勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等
8、于其他两条边的平方和，那么这个三角形是 直角三角形 19.10 两点间距离公式两点间距离公式 如果直角坐标平面内有两点 11 ( ,)A x y 、 22 (,)B xy，那么A 、B两点的距离 22 2121 ()()ABxxyy （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、二次根式一、二次根式 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 若 x，y 为实数，且 yx4114 x 2 1 求 x y y x 2 x y y x 2的值 分析：要使 y 有意义，必须满足什么条件？你能求出 x，y 的值吗？ 解：要使 y
9、有意义，必须 1 40 410 x x ，即 . 4 1 4 1 x x x 4 1 当 x 4 1 时，y 2 1 原式 11 22222 22 例例 1-2 若最简二次根式 1 52 a a与ba34 是同类二次根式，则a= ，b= 解：依题意： 12 2543 a aab 解得： 1 1 a b 例例 1-3 化简： 2aabbaba abaabbabbab 答案： 211 22 222 1 aabbbab ababbaa aabba bab ababa aabbbab abab ab ab 二、一元二次方程二、一元二次方程 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 当
10、m为何值时，关于x的方程 22 32mxxxmx是一元二次方程？ 答案：1m 例例 2-2 已知：两个二次方程00 22 dcxxbaxx，有一个公共根 1. 求证：二次方程0 22 2 db x ca x也有一个根是 1. 证明：. 0)()(2 01 01 dbca dc ba ，则 . 02 2 1 22 1 ）（dcba dbca 所以得证. 例例 2-3 已知方程0120182016)2017( 2 xx的较大根是a，方程020182017 2 x的较 小根是b，求 2017 )(ba的值. 答案：0 例例 2-4 用配方法解下列方程： （1） 2 12150xx （2） 2 1 4
11、0 4 xxZxx 答案：651x ；22 5x 例例 2-5 已知关于x的方程 22 2(2)xkxkx。当k为何值时，此方程 （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ （4）有一个根为 0？ 答案答案：1215k（1） 5 4 k ； （2） 5 4 k ； （3） 5 4 k ； （4）2k . 例例2-6已知cba、是ABC的三边， 关于x的一元二次方0)( 4 3 )(2)( 2 caxcaxcb， 有两个相等的实数根. 求证： ABC 为等腰三角形. 答案提示：表示出判别式，并利用提公因式进行因式分解得出因式，然后易证. 例例 2-7 在实数范围
12、内分解因式： 22 243xxyy 210210 2()() 22 xy xy 例例 2-8 如图所示,某小区规划在一个长为 40 米,宽为 26 米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小 A B O x y 路,使其中两条与AB平行,另一条与AB垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 平方 米,求小路的宽度? 解:可设小路宽为x米,依题意,得 6144)26)(240(xx, 解得44, 2 21 xx(不合题意,舍去). 答:小路的宽度为 2 米. 三、正比例函数和反比例函数三、正比例函数和反比例函数 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 例例 3-1 已知 1 2
13、2 kk xkxf是正比例函数，求k的值。写出这个正比例函数，并求出当变量x 分别取3，0，5时的函数值。 参考答案：k=1, f(x)=3x，f(-3)=-9，f(0)=0，f(5)=35 例例 3-2 已知： 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 1 2 yx的图像与反比例函数 k y x 的图像交于 点4,Am,过点 A 作ox的垂线交x轴于点 B. （1） 求反比例函数的解析式；（2） 如果点 C 在 1 2 yx 的图像上,且CAB 的面积为OAB 面积的 2 倍，求点 C 的坐标 24解： （1）将点(4,)Am的坐标代入 1 2 yx得(4,2)A（1 分） 将点(4,2)A的坐
14、标代入 k y x 得 8 y x （1 分） （2）由题意 1 4 2 OAB SOBAB , （1 分） 1 28 2 CAB Sh ，8h （1 分） 12 x C 或4 x C ， （2 分） 点 C 在正比例函数 1 2 yx的图像上， 1(12,6) C或 1( 4, 2) C （2 分） 例例 3-3 某人沿一条直路行走，此人离出发地的距离 S（千米） 与行走时间 t（分钟）的函数关系如图所示，请根据图像 提供的信息回答下列问题： （1）此人在这次行走过程中，停留所用的时间为 分钟； （2）由图中线段 OA 可知，此人在这段时间内行走的 速度是每小时 千米； （3）此人在 120
15、 分钟内共走了 千米. 四、几何证明四、几何证明 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 4-1 如图所示，ABC 与CDE 都是等边三角形，AD 与 BE 交于点 M， （1）求证：AD=BE； （2）联结 MC，求证：BMC=DMC 答案： （1）ABC 是等边三角形 BC=AC，ACB=60 同理 CE=CD，ECD=60 ACB+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD， 在BCE 与ACD 中， BC=AC，BCE=ACD，CE=CD， BCEACD AD=BE （2）过点 C 作 CFBE 垂足为 F，CGAD 垂足为 G， CFB=CGA=90 由（1）得BCEACD
16、，CBF=CAG， 在BCF 与ACG 中， CFB=CGA，CBF=CAG， BC=AC， BCEACD CF=CG， S（千米） t（分钟） 0 4 3 A C B D 40 60 90 120 第第 21 题图题图 M E A B C D 又CFBE，CGAD， BMC=DMC 例例 4-2 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点， EFAD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF， 求证：AD为ABC的角平分线 证明：延长FE到点H，使HEFE，连结BH 在CEF和BEH中 CEBE CEFBEH FEHE CEFBEH EFCEHB ，CFBHBG EHBBGE ，
17、而BGEAGF AFGAGF 又EFAD AFGCAD ，AGFBAD CADBAD AD为ABC的角平分线 例例 4-3 如图，在 RtABC 中，ACB900，ACBC，D 为 BC 的中点，CEAD，垂足为 E，BF AC 交 CE 的延长线于点 F，求证:AB 垂直平分 DF。21 提示：证ACDCBF 例例 4-4 已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系， 证明： 1 2 AMBC 证：如图，以Rt ABC的直角边,AB AC所在直线为坐标轴，建立适 当的直角坐标系， 设,B C两点的坐标分别为( , ),(0, )b oc， M是BC的中点，点M的坐标为
18、00 (,) 22 bc ，即( , ) 2 2 b c 由两点间的距离公式得 2222 1 (0)(0), 222 bc AMbc 所以， 1 2 AMBC H A F G B ED C F G ED C B A 第 4 题图 E F D C B A （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 已知：如图，在ABC 中，C90，AC=BC=4，点 M 是边 AC 上一动点（与点 A、C 不重合） ， 点 N 在边 CB 的延长线上，且 AM=BN，联结 MN 交边 AB 于点 P （1）猜测 MP 与 NP 的数量关系； （2）若设 AM
19、=x，BP=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当BPN 是等腰三角形时，求 AM 的长 N P C A B M N PD C A B M 答案： （1）证明：过点 M 作 MDBC 交 AB 于点 D MDBC，MDP=NBP AC=BC，C=90 A=ABC=45 MDBC，ADM=ABC=45 ADM=A，AM=DM AM=BN，BN=DM 在MDP 和NBP 中，MDP=NBP，MPD=NPB，BN=DM MDPNBP MP=NP （2）在 RtABC 中，C90 ，AC=BC=4，4 2AB MDBC，AMD=C=90 在 RtADM 中，AM=DM=x，
20、2ADx MDPNBP，DP=BP=y AD+DP+PB=AB，24 2xyy 所求的函数解析式为： 2 2 2 2 yx 定义域为：04x （3）MDPNBP，BN=MD=x ABC+PBN=180 ，ABC=45 ，PBN=135 当NBP 是等腰三角形时，只有 BP=BN，即 x=y 2 2 2 2 xx ，解得4 24x 当NBP 是等腰三角形时，AM 的长为4 24 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、一、填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 17
21、6的倒数是_； 2已知最简二次根式3a与33 a是同类二次根式，那么 a_； 3已知21 a，化简：212 2 aaa_； 4化简 nm nm 1 _； 5函数 x k y 2 32 的图像在其各自所在的每个象限内，y 的值随 x 的增大而增大，那么 k 的取值 范围是_； 6已知方程0432 2 xx的两根为 21 xx，那么 2 2 2 1 xx_； 7一种型号的数码相机，原来每台售价 5000 元，经过两次降价后，现在每台售价为 3200 元，假 设两次降价的百分率均为 x，那么可列方程_； 8已知正比例函数图像经过点 ba, 3,1,，那么 ab_； 9如图，在三角形纸片ABC中，90
22、C，30A，3AC ，折叠该纸片，使点A与 点B重合，折痕与ABAC、分别相交于点D和点E，那么折痕DE的长为_； （第 9 题） （第 11 题） 10在直角坐标平面内， 已知点 M （2，1） 、N （3，0） 、 R（1，0） ，那么MNR 是_ 三角形； 11在 RtABC 中，AB，CM 是斜边 AB 上的中线，将ACM 沿着直线 CM 折叠，点 A 落 在点 D 处，如果 CD 恰好与 AB 垂直，那么A=_ 12已知在ABC中，AB=32，AC=2，BC 边上的高为3，那么 BC 的长是 二、二、选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）
23、分） 13下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A如果 ab，那么 22 ba ； B在一元二次方程00 2 acbxax中，如果方程有两个相等的实数根，那么0； C长方形既是轴对称图形又是中心对称图形； E A B C D D在反比例函数 x y 3 中，如果0x，那么 y 的值随 x 的增大而减小。 14已知 a、b、c 分别是ABC 的三边，根据下列条件能判定ABC 为直角三角形的是（ ） A.11,13, 8cba B.12,10, 6cba C.9,41,40cba D.25, 9,24cba 15如图，在甲、乙两位同学进行 200 米跑步比赛中，路程 S（米）关于时间（t 秒）的函
24、数关系 的图像分别为折线 OAB 和线段 OC，下列判断正确的是（ ） A甲先到达终点 B乙的速度随着时间的增大而增大 C出发后 30 秒，乙追上甲 D在比赛全程中，甲始终比乙跑得快 16如图，在四边形 ABCD 中，DC90 ，E 为 CD 的 中点，AEB90 ，AB5，BE4，下列说法中不正确不正确 的是（ ） A四边形的面积一定是 12 BADBC 一定等于 5 CBE 一定平分ABC D已知 CD 的长，才能求出四边形 ABCD 的面积 三、三、解答题（本大题共解答题（本大题共 4 题，第题，第 17 题题 10 分，第分，第 18、19 题题 12 分，分，第第20 题题 14 分
25、，共分，共 48 分）分） 17已知关于 x 的一元二次方程 2 20xmx （1）若 x=1 是方程的一个根，求 m 的值和方程的另一个根； （2）对于任意实数 m，判断方程的根的情况，并说明理由 18如图，点 A 的坐标为（3,0） ，点 C 的坐标为（0,4） ，OABC 为矩形，反比例函数 x k y 的图像 过 AB 的中点 D，且和 BC 相交于点 E，F 为第一象限的点，AF=12，CF=13. （1）求反比例函数 x k y 和直线 OE 的函数解析式； （2）求四边形 OAFC 的面积 19已知ABC 中，AC =BC, C=120 ,点 D 为 AB 边的中点，EDF=60
26、 ，DE、DF 分别交 AC、 BC 于 E、F 点 （1）如图 1，若 EFAB求证：DE=DF （2）如图 2，若 EF 与 AB 不平行，则问题（1）的结论是否成立？说明理由 20已知ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，D 是 AB 边中点，将一块直角三角板的直角顶 点放在 D 点旋转，直角的两边分别与边 AC，BC 交于 E、F。 取运动过程中的某一瞬间，如图，画出ADE 关于 D 点的中心对称图形，E 的对称点为 E，试 判断 BC 于 BE的位置关系，并说明理由。 设 AE=x，BF=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出定义域。 E D C A B F 课后试卷答案：
27、176；23；31；4nm；5 3 2 k ；6 25 4 ；7 2 5000 13200x；8 3；91；10等腰直角；1130 ；124 或 2； 13B；14C；15C；16D； 17解： （1）把 x=1 代入方程，得 1+m-2=0，m=12 分 02 2 xx1 分 2 1 x，1 2 x 方程另一个根是2x2 分 （2）由题意得：8 2 m1 分 0 2 m， 08 2 m 即0 2 分 此方程有两个不相等的实数根2 分 18解： （1）依题意，得点 B 的坐标为（3,4） ，点 D 的坐标为（3,2）1 分 将（3,2）代入 k y x ，得 k=6. 反比例函数的解析式为 6
28、 y x . 2 分 设点 E 的坐标为（m，4） ，将其代入 6 y x ，得 m= 3 2 , 点 E 的坐标为（ 3 2 ，4）. 1 分 设直线 OE 的解析式为 1 yk x，将（ 3 2 ，4）代入得 1 8 3 k 直线 OE 的解析式为 8 3 yx. 2 分 （2）联结 AC，由勾股定理得 2222 345ACOAOC.1 分 又 222222 51213ACAFCF， 2 分 由勾股定理的逆定理得CAF=90. 1 分 63036 OACCAFOAFC SSS 四边形 . 2 分 19解： （1）AC=BC，ACB=120 A=B=30 ，1 分 EFAB FEC=A=EF
29、C=B=301 分 EC=CF 1 分 又AC=BC AE=BF 1 分 D 是 AB 中点 DB=AD ADEBDF 1 分 DE=DF 1 分 （2）仍成立 1 分 过 D 作 DMAC 交 AC 于 M，作 DNBC 交 BC 于 N AD=BD，A=B，AMD=BND， AMDBND 1 分 DM=DN 1 分 A=B=30 ，ADM=BDN=60 ， MDN=180 -ADM-BDN=60 1 分 EDM=MDN-EDN=60 -EDN， FDN=EDF-EDN=60 -EDN， EDM=FDN， 1 分 又DME=DNF=90 、DM=DN， DEMDFN（ASA） ， DE=DF 1 分 20图正确， 2 分 BC BE， 1 分 理 由 ： ADE与 BDE 中 心 对 称 ， ADE BDE1分 AED = DEB， AC/BE 1 分 AB=10，BC=6，AC=8 ACB=90 EBBC1 分 联结 EF，EF，BE=AE=x 1 分 ADEBDE DE=DE ，又EDF=90 EF=EF 1 分 在 RtECF 与 RtFBE中， 由勾股定理可得，EC + CF = EF = EF = BE + BF 1 分 即 (8-x) + (6-y) = x + y 1 分 化简得： 254 3 x y （ 725 44 x） 2 分+2 分