1、立体几何立体几何 立体几何的知识是高中数学的主干内容之一， 它主要研究简单空间几何体的位置和数量 关系本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体 的结构，三是空间向量与立体几何在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间 的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体 的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证 明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题 7 71 1 点、直线、平面之间的位置点、直线、平面之间的位置关系关系 【知识【知识要点】要点】 1空间直线和平面
2、的位置关系： (1)空间两条直线： 有公共点：相交，记作：abA，其中特殊位置关系：两直线垂直相交 无公共点：平行或异面 平行，记作：ab 异面中特殊位置关系：异面垂直 (2)空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交 直线在平面内，记作：a 直线与平面相交，记作：aA，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交 无公共点：直线与平面平行，记作：a (3)空间两个平面： 有公共点：相交，记作：l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交 无公共点：平行，记作： 2空间作为推理依据的公理和定理： (1)四个公理与等角定理： 公理 1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都
3、在此平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理： 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补 (2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
4、 性质定理： 如果一条直线与一个平面平行， 那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线相互平行 垂直于同一个平 面的两条直线平行 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 (3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图： 【复习要求】【复习要求】 1了解四个公理与等角定理； 2理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理； 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A
5、B，AA1的中点 求证：()E、C、D1、F四点共面；()CE、DA、D1F三线共点 【分析】【分析】对于()中证明“E、C、D1、F四点共面” ，可由这四点连接成两条直线，证明 它们平行或相交即可；对于()中证明“CE、DA、D1F三线共点” ，可证其中两条相交直线的 交点位于第三条直线上 证明：证明：()连接D1C、A1B、EF E，F分另是AB，AA1的中点， EFA1B，, 2 1 1B AEF 又A1D1BC，A1D1BC， A1D1CB是平行四边形 A1BD1C，EFD1C， E、C、D1、F四点共面 ()由()得EFCD1，, 2 1 1 CDEF 直线CE与直线D1F必相交，记
6、CE D1FP， PD1F 平面A1ADD1，PCE平面ABCD， 点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点 平面A1ADD1平面ABCDAD， PAD， CE、DA、D1F三线共点 【评述】【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据： (1)证明多点共面常用公理 2 及其推论； (2)证明多点共线常用公理 3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上； (3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内 2、证明a，b，c三线交于一点的主要依据： (1)证明a与b相交，c与b相交，再证明两交点重合； (2)先证明a与b相交于点P，再证明Pc 例例
7、 2 2 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求 证：MN平面PAD 【分析】【分析】要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中 出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明 证明：证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE 底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点， MACD，. 2 1 CDMA E是PD的中点， NECD，. 2 1 CDNE MANE，且MANE， AENM是平行四边形， MNAE 又AE平面PAD，MN 平面PAD， MN平面PAD 方法二取CD中点F，连接MF，NF MFA
8、D，NFPD， 平面MNF平面PAD， MN平面PAD 【评述】【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线平行： ac，bc， a，a a，b b a，b ab ab ab ab (2)证明线面平行： a ab b，a a a a a (3)证明面面平行： a，b a，a ， a，b，abA 例例 3 3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1 【分析】【分析】要证明“线线垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直 于经过BC1的平面即可 证明：证明：连接AC1 ABCA1B1C1是直三棱柱， AA1平面ABC， AB
9、AA1 又ABAC， AB平面A1ACC1， A1CAB 又AA1AC， 侧面A1ACC1是正方形， A1CAC1 由，得A1C平面ABC1， A1CBC1 【评述】【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本 题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化 例例 4 4 在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC 平面PBC 【分析】【分析】要证明“面面垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可 以通过“线线垂直”进行转化 证明：证明： 平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB
10、，且ABBC， BC平面PAB， APBC 又APPB， AP平面PBC， 又AP平面PAC， 平面PAC平面PBC 【评述】【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法： (1)证明线线垂直： ac，bc， a b ab ab (1)证明线面垂直： am，an ab，b ，a ，l m，n，mnA a，al a a a a (1)证明面面垂直： a，a 例例 5 5 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形， 且垂直于底面ABC，A1AB 60，E，F分别是AB1，BC的中点 ()求证：直线EF平面A1ACC1； ()在线段AB上确定一点G，使平面EFG平面ABC，并
11、给出证明 证明：证明：()连接A1C，A1E 侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点， E也是A1B的中点， 又F是BC的中点，EFA1C A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1， 直线EF平面A1ACC1 (2)解：当 3 1 GA BG 时，平面EFG平面ABC，证明如下： 连接EG，FG 侧面A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB是等边三角形 E是A1B的中点， 3 1 GA BG ，EGAB 平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB， EG平面ABC 又EG平面EFG，平面EFG平面ABC 练习练习 7 71 1 一、选择题：一、选择题： 1已知m，
12、n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) (A)若m，n，则mn (B)若m，n，则mn (C)若，则 (D)若m，m，则 2已知直线m，n和平面，且mn，m，则( ) (A)n (B)n，或n (C)n (D)n，或n 3设a，b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是( ) (A)a，b， (B)a，b， (C)a，b， (D)a，b， 4设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) (A)在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 (B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直 (C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行 (D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直 二
13、、填空题：二、填空题： 5在三棱锥PABC中，6 PBPA，平面PAB平面ABC，PAPB，ABBC，BAC 30，则PC_ 6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(只要求写 出一种条件即可) 7设，是两个不同的平面，m，n是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断： mn n m 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题_ 8已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m ，m，给出下列四种位置：ABm；ACm；AB；AC， 上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是_ 三、解答题：三、解答题： 9如图，三
14、棱锥PABC的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中 点 ()求MN的长； ()求证：PABC 10如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分别是AB、BD的中点求证： ()直线EF平面ACD； ()平面EFC平面BCD 11 如图， 平面ABEF平面ABCD， 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， BADFAB90， BCAD，AFBEAFBEADBC 2 1 ,/, 2 1 ，G，H分别为FA，FD的中点 ()证明：四边形BCHG是平行四边形； ()C，D，F，E四点是否共面?为什么? ()设ABBE，证明：平面ADE平面CDE 7 72 2 空间
15、几何体的结构空间几何体的结构 【知识要点】【知识要点】 1简单空间几何体的基本概念： (1) (2)特殊的四棱柱： (3)其他空间几何体的基本概念： 几何体 基本概念 正棱锥 底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台 圆柱 以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体 圆锥 以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面 围成的几何体 圆台 以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成 的曲面围成的几何体 球面 半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面 球 球面所
16、围成的几何体 2简单空间几何体的基本性质： 几何体 性质 补充说明 棱柱 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全 等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角 面)是平行四边形 (1)直棱柱的侧棱长与高相等，侧 面及对角面都是矩形 (2)长方体一条对角线的平方等于 一个顶点上三条棱长的平方和 正棱锥 (1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三 角形 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的 射影组成一个直角三角形；棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一 个直角三角形 球 (1)球心和球的截面圆心的连线垂直于 截面 (2)球心到截面的距离d，球的半径R， 截面圆
17、的半径r满足 22 dRr (1)过球心的截面叫球的大圆，不 过球心的截面叫球的小圆 (2)在球面上，两点之间的最短距 离，就是经过这两点的大圆在这两 点间的一段劣弧的长度(两点的球 面距离) 3简单几何体的三视图与直观图： (1)平行投影： 概念：如图，已知图形F，直线l与平面相交，过F上任意一点M作直线MM1平行 于l，交平面于点M1，则点M1叫做点M在平面内关于直线l的平行投影如果图形F上 的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F1， 则F1叫图形F在内关于直线l的 平行投影平面叫投射面，直线l叫投射线 平行投影的性质： 性质 1直线或线段的平行投影仍是直线或线段； 性质 2平行直
18、线的平行投影是平行或重合的直线； 性质 3平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； 性质 4与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； 性质 5在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 (2)直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图 (3)三视图： 正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影 三视图： 选取三个两两垂直的平面作为投射面 若投射面水平放置， 叫做水平投射面， 投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这 个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面
19、，投 射到这个平面内的图形叫做左视图 将空间图形向这三个平面做正投影， 然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面 内，这样构成的图形叫空间图形的三视图 画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” 4简单几何体的表面积与体积： (1)柱体、锥体、台体和球的表面积： S直棱柱侧面积ch，其中c为底面多边形的周长，h为直棱柱的高 chS 2 1 正棱锥形面积 ，其中c为底面多边形的周长，h为正棱锥的斜高 hccS)( 2 1 正棱台侧面积 ，其中c ，c分别是棱台的上、下底面周长，h为正棱台 的斜高 S圆柱侧面积2Rh，其中R是圆柱的底面半径，h是圆柱的高 S圆锥侧面积Rl，其中
20、R是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长 S球4R 2，其中 R是球的半径 (2)柱体、锥体、台体和球的体积： V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 ShV 3 1 锥体 ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 )( 3 1 SSSShV台体，其中S ，S分别是台体的上、下底面的面积，h为台体 的高 3 3 4 RV 球 ，其中R是球的半径 【复习要求】【复习要求】 1了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； 2会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图； 3理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 如图，正三棱锥PABC
21、的底面边长为a，侧棱长为b ()证明：PABC； ()求三棱锥PABC的表面积； ()求三棱锥PABC的体积 【分析】【分析】对于()只要证明BC(PA)垂直于经过PA(BC)的平面即可；对于()则要根据 正三棱锥的基本性质进行求解 证明：证明：()取BC中点D，连接AD，PD PABC是正三棱锥， ABC是正三角形，三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三角形 D是BC的中点，BCAD，且BCPD， BC平面PAD，PABC ()解：在 RtPBD中，,4 2 1 2222 abBDPBPD .4 42 1 22 ab a PDBCS PBC 三个侧面PAB，PBC，PAC是全等的等腰三
22、角形， 三棱锥PABC的侧面积是.4 4 3 22 ab a ABC是边长为a的正三角形，三棱锥PABC的底面积是, 4 3 2 a 三棱锥PABC的表面积为)312( 4 3 4 4 3 4 3 2222 2 aba a ab aa ()解：过点P作PO平面ABC于点O，则点O是正ABC的中心， , 6 3 2 3 3 1 3 1aa ADOD 在 RtPOD中，,3 3 3 2222 abODPDPO 三棱锥PABC的体积为.3 12 3 3 3 4 3 3 1 22 2 22 2 ab a ab a 【评述】【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的 Rt
23、POD，其中含有棱锥的高PO；如 RtPBD，其中含有侧面三角形的高PD，即正棱锥的斜高； 如果连接OC，则在 RtPOC中含有侧棱熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有 关问题很有帮助 2、正n(n3，4，6)边形中的相关数据： 正三角形 正方形 正六边形 边长 a a a 对角线长 a2 长：2a；短：a3 边心距 a 6 3 2 a a 2 3 面积 2 4 3 a a 2 2 2 33 a 外接圆半径 a 3 3 a 2 2 a 例例 2 2 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点 ()求证：平面BEC1平面ACC1A1；()求证：AB1平面BEC1 【分析】【分析】
24、本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图， 这种情况下对空间想象能力提出了 更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考 证明：证明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC， BEAA1 ABC是正三角形，E是AC的中点， BEAC， BE平面ACC1A1， 又BE平面BEC1， 平面BEC1平面ACC1A1 ()证明：连接B1C，设BC1B1CD BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， DEAB1 又DE平面BEC1，AB1平面BEC1， AB1平面BEC1 例例 3 3 在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已 知BD2AD8，
25、542 DCAB ()设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； ()求四棱锥PABCD的体积 【分析】【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的 动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动”的直线BD是否 垂直平面PAD 证明：证明：()在ABD中， 由于AD4，BD8，54AB， 所以AD 2BD2AB2 故ADBD 又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD， 所以BD平面PAD， 又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD ()解：过P作POAD交AD于O， 由于平面PAD平面ABCD，所以P
26、O平面ABCD 因此PO为四棱锥PABCD的高， 又PAD是边长为 4 的等边三角形因此. 324 2 3 PO 在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC， 所以四边形ABCD是梯形，在 RtADB中，斜边AB边上的高为 5 58 54 84 ，即为梯形 ABCD的高， 所以四边形ABCD的面积为.24 5 58 2 5452 S故 . 3163224 3 1 ABCDP V 例例 4 4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的主 视图和左视图在下面画出(单位：cm) ()画出该多面体的俯视图； ()按照给出的尺寸，求该多面体的体积； ()在所给直观图中连结BC
27、 ，证明：BC平面EFG 【分析】【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” ，根据此原 则及相关数据可以画出三视图 证明：证明：()该几何体三视图如下图： ()所求多面体体积).cm( 3 284 2)22 2 1 ( 3 1 644 2 正三棱锥长方体 VVV ()证明：在长方体ABCDABCD中，连结AD，则ADBC 因为E，G分别为AA，AD中点， 所以ADEG， 从而EGBC 又BC平面EFG， 所以BC平面EFG 例例 5 5 有两个相同的直三棱柱，底面三角形的三边长分别是 3a，4a，5a，高为 a 2 ，其 中a0用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能
28、的情形中，表面积最小的一个是四 棱柱，求a的取值范围 解：解：直三棱柱ABCA1B1C1的三个侧面的面积分别是 6，8，10，底面积是 6a 2，因此每个 三棱柱的表面积均是 26a 2681012a224 情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为： 2(12a 224)26a212a248 情形：将两个直三棱柱的侧面ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼 成四棱柱，但表面积一定是：2(12a 224)2824a232 情形：将两个直三棱柱的侧面ACC1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼 成四棱柱，但表面积一定是：2(12a 224)262
29、4a236 情形：将两个直三棱柱的侧面BCC1B1重合拼在一起，只能拼成四棱柱，其表面积为： 2(12a 224)21024a228 在以上四种情形中，、的结果都比大，所以表面积最小的情形只能在、中产 生 依题意“表面积最小的一个是四棱柱” ，得 24a 22812a248，解得 , 3 5 2 a 所以a的取值范围是 ) 3 15 , 0( 例例 6 6 在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求三棱锥F A1ED1的体积 【分析】【分析】计算三棱锥FA1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点F到平面A1ED1的距 离，直接求解比较困难利用等积的方法，调
30、换顶点与底面的方式，如 11 11 EFDAEDAF VV ， 也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解 解法解法 1 1：取AB中点G，连接FG，EG，A1G GFADA1D1，GF平面A1ED1， F到平面A1ED1的距离等于点G到平面A1ED1的距离 . 8 1 8 3 3 1 3 1 32 11 1111111 aaaDASVVV EGAEGADEDAGEDAF 解法解法 2 2：取CC1中点H，连接FA1，FD1，FH， FC1，D1H，并记FC1D1HK A1D1EH， A1D1EH，A1，D1，H，E四点共面 A1D1平面C1CDD1，FCA1D1 又由平面几何知识可得FC
31、1D1H，FC平面A1D1HE FK的长度是点F到平面A1D1HE(A1ED1)的距离 容易求得. 8 1 10 53 4 5 3 1 3 1 , 10 53 32 1111 a a aFKSVaFK EDAEDAF 练习练习 7 72 2 一、选择题：一、选择题： 1将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 2如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 3有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为 4 cm，高为 12 cm现要为 100 个这种相同规格
32、的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)如果所用涂料每 0.5 kg 可以涂 1 m 2，那么为这批笔筒涂色约需涂料( ) (A)1.23 kg (B)1.76 kg (C)2.46 kg (D)3.52 kg 4某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中， 这条棱的投影分别是长为a和b的线段， 则ab的最 大值为( ) (A)22 (B)32 (C)4 (D)52 二、填空题：二、填空题： 5如图，正三棱柱ABCA1B1C1的每条棱长均为 2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的 长等于_ 6将边长为 1 的正方形A
33、BCD沿对角线AC折起，使得BD1，则三棱锥DABC的体积是 _ 7一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的高为3，底面周长为 3，则这个球的体积为_ 8平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地， 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件：_； 充要条件：_ (写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题：三、解答题： 9如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点 ()求证：BD1平面ACE； ()求证：平面ACE平面B1BDD1 10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，
34、正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高 为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形 ()求该几何体的体积V； ()求该几何体的侧面积S 11如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE FC11 ()求证：E，B，F，D1四点共面； ()若点G在BC上， 3 2 BG，点M在BB1上，GMBF，求证：EM面BCC1B1 7 73 3 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 【知识要点】【知识要点】 1空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： 空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法
35、的三角形法则和平行四边 形法则拓广到空间依然成立 空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ab bb ba a； 加法结合律：(a ab bc c)a a(b bc c)； 分配律：()a aa aa a；(a ab b)a ab b (2)空间向量的基本定理： 共线(平行)向量定理：对空间两个向量a a，b b(b b0)，a ab b的充要条件是存在实数， 使得a ab b 共面向量定理：如果两个向量a a，b b不共线，则向量c c与向量a a，b b共面的充要条件是 存在惟一一对实数，使得c ca ab b 空间向量分解定理：如果三个向量a a，b b，c c不共面，那么对空间任
36、一向量p p，存在惟 一的有序实数组1，2，3，使得p p1a a2b b3c c (3)空间向量的数量积运算： 空间向量的数量积的定义：a ab b|a a|b bc cosa a，b b ； 空间向量的数量积的性质： a ae e|a ac cosa a，e e；a ab ba ab b0； |a a| 2a aa a；|a ab b|a a|b b 空间向量的数量积的运算律： (a a)b b(a ab b)； 交换律：a ab bb ba a； 分配律：(a ab b)c ca ac cb bc c (4)空间向量运算的坐标表示： 空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿
37、x轴，y轴，z轴的正方向 引单位向量i i，j j，k k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i i，j j，k k ， 由空间向量分解定理，对于空间任一向量a a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a aa1i ia2j j a3k k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a a的坐标，即a a(a1，a2，a3) 空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则 a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)；a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)； a a(a1，a2，a3)；a ab ba1b1a2b2a3
38、b3 空间向量平行和垂直的条件： a ab b(b b0)a ab ba1b1，a2b2，a3b3(R R)； a ab ba ab b0a1b1a2b2a3b30 向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则 ;| ,| 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 bbbaaabbbaaa ; | ,cos 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211 bbbaaa bababa ba ba ba 在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是 .)()()(| 2 33
39、2 22 2 11 bababaAB 2空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： 如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a a的直线，对空间任意一点O，点P 在直线l上的充要条件是存在实数t，使得a tOAOP，其中向量a a叫做直线的方向向 量 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定 如果直线l平面，取直线l的方向向量a a，则向量a a叫做平面的法向量 由此可知， 给定一点A及一个向量a a， 那么经过点A以向量a a为法向量的平面惟一确定 (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l，m的方向向量分别是a a，b b，平面，的
40、法向量分别是u u，v v，则 lma ab ba akb b，kR R； lma ab ba ab b0； la au ua au u0； la au ua aku u，kR R； u uv vu ukv v，kR R； u uv vu uv v0 (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： 异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线aa，b b，则a与b所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角 设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为，显然, 2 , 0(则 | | |,cos| 21 21 21 vv vv vv 直线和平面所成的角： 直线
41、和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的 角 设直线a的方向向量是u u，平面的法向量是v v，直线a与平面的夹角为，显然 2 , 0，则 | | |,cos| vu vu vu 二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作 l在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB 叫做二面角l的平面角 利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一： 如图，若AB，CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角 l的大小就是向量CDAB与的夹角的大小 方法二： 如图，m m1，m m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则m m
42、1，m m2与该二面角的大 小相等或互补 (4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立 体几何问题 【复习要求】【复习要求】 1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示 2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示； 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 4理解直线的方向向量与平面的法向量 5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 如图，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，
43、OB4，OO12，点P在棱AA1上，且 AP2PA1，点S在棱BB1上，且B1S2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQRS 【分析】【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得.RSkPQ 解：解：如图建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0， 2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0) AP2PA1， ), 3 4 , 0 , 0()2 , 0 , 0( 3 2 3 2 1 AAAP ) 3 4 , 0 , 3(P 同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)， ) 3 2 , 4 , 0(S ,) 3 2 , 2 , 3(RSPQ RSPQ/，又RPQ， PQRS 【评述】【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线； (2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可 2、本体还可采用综合法证明，连接PR，QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这 个证明 例例 2 2 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点， 求证：平面AMN平面EFBD 【分析】【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量 平