1、函函 数数 函数是中学数学中的重点内容， 是描述变量之间依赖关系的重要数学模型 本章内容有 两条主线： 一是对函数性质作一般性的研究， 二是研究几种具体的基本初等函数一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函 数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等 221 1 函函 数数 【知识要点】【知识要点】 要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解 在很多情况下要借助映射这一概念 1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在 B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的
2、映射记作f：AB， 其中x叫原象，y叫象 2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定 的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数记作yf(x)，xA 其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域所有函数值构 成的集合yyf(x)，xA叫做这个函数的值域 函数的值域由定义域与对应法则完全确 定 3、函数是一种特殊的映射其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都 有原象构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则其中定义域和对应法则是核心 【复习要求】【复习要求】 1了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象
3、 2能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数 3 掌握函数的三种表示法(列表法、 图象法和解析法)， 理解函数符号f(x)(对应法则)， 能依据一定的条件求出函数的对应法则 4理解定义域在三要素的地位，并会求定义域 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 设集合A和B都是自然数集合 N N映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合 B中的元素 2 xx，则在映射 f作用下，2 的象是_；20 的原象是_ 【分析】【分析】由已知，在映射f作用下x的象为 2 xx 所以，2 的象是 2 226； 设象 20 的原象为x，则x的象为 20，即 2 xx20 由于xN N，2 xx 随着x的增大而增大
4、，又可以发现 2 4420，所以 20 的原象是 4 例例 2 2 设函数 , 0, 22 , 0, 1 )( 2 xxx xx xf则f(1)_；若f(0)f(a)2，则 a的所有可能值为_ 【分析】【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则 所以f(1)3 又f(0)1，所以f(a)1， 当a0 时，由a11 得a0； 当a0 时，由a 22a21，即 a 22a30 得 a3 或a1(舍) 综上，a0 或a3 例例 3 3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A) 22 )(,tyxy (B) 2 |,|tyxy (C)1, 1 1 2 xy x x y (D)
5、 x x yxy 2 , 【分析】【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数(B)中两个函数的 定义域相同，化简后为yx及yt，法则也相同，所以选(B) 【评析】【评析】 判断两个函数是否为同一函数， 就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相 同 一般有两个步骤： (1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域， 看定义域是否一致 (2) 对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致 例例 4 4 求下列函数的定义域 (1); 11xy (2); 32 1 2 xx y (3);) 1( )3lg( 0 x x x y (4); 2|2 | 1 2 x x y 解：解：(
6、1)由x110，得x11，所以x11 或x11，所以x2 或x0 所以，所求函数的定义域为xx2 或x0 (2)由x 22x30 得，x1 或 x3 所以，所求函数的定义域为xx1 或x3 (3)由 , 01 , 0 , 03 x x x 得x3，且x0，x1， 所以，所求函数的定义域为x|x3，且x0，x1 (4)由 , 4, 0 , 11 2|2| 01 , 02|2| 01 22 xx x x x x x 且 即 ， ， 得 ， 所以1x1，且x0 所以，所求函数定义域为x1x1，且x0 例例 5 5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x1)及f(x 2)的定义域 【分析】
7、【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素 之间的相互制约关系明确两件事情： 定义域是指x的取值范围； 受对应法则f制约的量 的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x1)中，受f直接制约的是x1，而定义域是 指x的范围， 因此通过解不等式 0x11 得1x0， 即f(x1)的定义域是(1， 0) 同 理可得f(x 2)的定义域为x1x1，且 x0 例例 6 6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长 为 2x，求此框架围成的面积y与x的
8、函数关系式，并指出定义域 解：解：根据题意，AB2x 2 2 , xxl ADx 所以，.) 2 2( 2 1 2 2 2 22 lxxx xxl xy 根据问题的实际意义AD0，x0解. 2 0 , 0 2 2 , 0 l x xxl x 得 所以，所求函数定义域为 2 0| l xx 【评析】【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题 (1)给出函数解析式求定义域(如例 4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取 值范围正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的 中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有： 分式中分母不为零； 偶次方根下被 开方数非负； 零次幂的底数要求不为零
9、； 对数中的真数大于零， 底数大于零且不等于 1； ytanx，则 2 kx，kZ Z (2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例 5)其解决办法见例 5 的分析 (3)在实际问题中求函数的定义域(如例 6)在这类问题中除了考虑解析式对自变量的 限制，还应考虑实际问题对自变量的限制 另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的比如在研 究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域 例例 7 7 (1)已知 2 1 ) 1 ( x x x f ，求f(x)的解析式； (2)已知 2 2 1 ) 1 ( x x x xf，求f(3)的值； (3)如果f(
10、x)为二次函数，f(0)2，并且当x1 时，f(x)取得最小值1，求f(x)的 解析式； (4)*已知函数yf(x)与函数yg(x)2 x的图象关于直线 x1 对称，求f(x)的解析 式 【分析】【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般 有下面两种方法解决(1)这样的问题 方法一 1) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 2 x x x x x f通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则 f是“原象对应于原象除以原象的平方减 1”所以， 1 )( 2 x x xf 方法二设t x 1 ，则 t x 1 则 1 1 1 1 )( 2 2 t t t t
11、tf，所以 1 )( 2 x x xf 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么 (2)用“凑型”的方法， . 7)3(, 2)(. 2) 1 ( 1 ) 1 ( 22 2 2 fxxf x x x x x xf所以 (3)因为f(x)为二次函数，并且当x1 时，f(x)取得最小值1， 所以，可设f(x)a(x1) 21， 又f(0)2，所以a(01) 212，所以 a3 f(x)3(x1) 213x26x2 (4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件， 进而求函数f(x)的解析式 所以， 可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式 设f(x)的图象上任意一点坐标为
12、P(x，y)， 则P关于x1 对称点的坐标为Q(2x，y)， 由已知，点Q在函数yg(x)的图象上， 所以，点Q的坐标(2x，y)满足yg(x)的解析式，即yg(2x)2 2x， 所以，f(x)2 2x 【评析】【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑 形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法 值得注意的是(4)中所用的解析法在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方 法，是一种通法同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系 例例 8 8 已知二次函数f(x)的对称轴为x1，且图象在y轴上的截距为3，
13、被x轴截得 的线段长为 4，求f(x)的解析式 解：解：解法一 设f(x)ax 2bxc， 由f(x)的对称轴为x1，可得b2a； 由图象在y轴上的截距为3，可得c3； 由图象被x轴截得的线段长为 4，可得x1，x3 均为方程ax 2bxc0 的根 所以f(1)0，即abc0，所以a1 f(x)x 22x3 解法二 因为图象被x轴截得的线段长为 4，可得x1，x3 均为方程f(x)0 的 根 所以，设f(x)a(x1)(x3)， 又f(x)图象在y轴上的截距为3，即函数图象过(0，3)点 即3a3，a1所以f(x)x 22x3 【评析】【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位
14、很重 二次函数的解析式有三种形式： 一般式yax 2bxc； 顶点式ya(xh) 2k，其中(h，k)为顶点坐标； 双根式ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数 所对应的一元二次方程的两个根 例例 9 9 某地区上年度电价为 0.8 元kWh，年用电量为akWh本年度计划将电价降 到 0.55 元kWh 至 0.75 元kWh 之间，而用户期望电价为 0.40 元kWh 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为 k)该地区电力的成本价为 0.30 元kWh (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函
15、数关系式； (2)设k0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20? 解：解：(1)依题意，当实际电价为x元kWh 时，用电量将增加至, 4 . 0 a x k 故电力部门的收益为)75. 055. 0)(3 . 0)( 4 . 0 ( xxa x k y (2)易知，上年度的收益为(0.80.3)a，依题意， %),201)(3 . 08 . 0()3 . 0)( 4 . 0 2 . 0 ( axa x a 且 0.55x0.75， 解得 0.60x0.75 所以，当电价最低定为 0.60 元kWh 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20 练习练习 2
16、21 1 一、选择题一、选择题 1已知函数 x xf 1 1 )(的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则MN( ) (A)xx1 (B)xx1 (C)x1x1 (D) 2图中的图象所表示的函数的解析式为( ) (A)20( |1| 2 3 xxy (B)20( |1| 2 3 2 3 xxy (C)20( |1| 2 3 xxy (D)y1x1(0x2) 3已知f(x1)x 22x，则 ) 1 ( x f( ) (A) xx 21 2 (B)1 1 2 x (C) 2 2 143 x xx (D) 2 12 x x 4已知 2,3 , 21, , 1, 3 )( 2 xx xx x
17、x xf若f(x)3，则x的值是( ) (A)0 (B)0 或 2 3 (C)3 (D)3 二、填空题 5给定映射f：(x，y)(x2y，x2y)，在映射f下(0，1)的象是_；(3，1)的原 象是_ 6函数 2| 3 )( x x xf的定义域是_ 7已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 则fg(1)的值为_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_ 8已知函数yf(x)与函数yg(x)2 x 的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为 _ 三、解答题三、解答题 9已知f(x)2 xx1， ),0( 1 ),0
18、( )( 2 xx xx xg求g(1)，gf(1)的值 10在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为yax 2c(a 0)，D(6，7)为x轴上的给定区间为使物体落在区间D内，求a的取值范围 11如图，直角边长为 2cm 的等腰 RtABC，以 2cms的速度沿直线l向右运动，求该三 角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm 2)与时间 t的函数关系(设 0t3)，并求出y的 最大值 222 2 函数的性质函数的性质 【知识要点】【知识要点】 函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称 性等等本章着重研究后四个方面的性质 本节的重点
19、在于理解与函数性质有关的概念， 掌握有关判断、 证明的基本方法以及简单 的应用数形结合是本节常用的思想方法 1设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且f(x) f(x)，则这个函数叫做奇函数 设函数yg(x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x， 都有xD， 且g(x)g(x)， 则这个函数叫做偶函数 由奇函数定义可知，对于奇函数yf(x)，点P(x，f(x)与点 P (x，f(x)都在其 图象上又点P与点 P 关于原点对称，我们可以得到： 奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 通过同样的分析可以得到， 偶 函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 2
20、一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间MA如果取区间M中的任意两个值 x1，x2，改变量xx2x10，则 当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数； 当yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是减函数 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数， 就说这个函数在这个区间M上具有 单调性，区间M称为单调区间 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的 3一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每 一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的
21、周期 4一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每 一个值时，f(ax)f(ax)都成立，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称 【复习要求】【复习要求】 1理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性， 会利用函数的单调性处理有关的不等式问题； 2了解函数奇偶性的含义能判断简单函数的奇偶性 3了解函数周期性的含义 4了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性 (1); 1 )( x x xf (2); 1 1 )( x xf (3)f(x)x 33x
22、； (4); 1 1 lg x x y (5) 12 12 x x y 解：解：(1)解0 1 x x ，得到函数的定义域为xx1 或x0，定义域区间关于原点不 对称，所以此函数为非奇非偶函数 (2)函数的定义域为xx0，但是，由于f(1)2，f(1)0，即f(1)f(1)， 且f(1)f(1)，所以此函数为非奇非偶函数 (3)函数的定义域为 R R，又f(x)(x) 33(x)x33xf(x)， 所以此函数为奇函数 (4)解0 1 1 x x ，得1x1， 又),( 1 1 lg 1 1 lg )(1 )(1 lg)(xf x x x x x x xf 所以此函数为奇函数 (5)函数的定义域
23、为 R R，又)( 21 21 12 12 )(xfxf x x x x ， 所以此函数为奇函数 【评析】【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论： 一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； f(x)是奇函数，并且f(x)在x0 时有定义，则必有f(0)0； 既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)0 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： 判断函数的定义域是否关于原点对称； 考察f(x)与f(x)的关系 由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函 数四类 例例 2 2 设函数f(x)在 R R 上有定义，给出下列函
24、数： yf(x)；yxf(x 2)；yf(x)；yf(x)f(x) 其中必为奇函数的有_(填写所有正确答案的序号) 【分析】【分析】令F(x)f(x)，则F(x)f(x)，由于f(x)与f(x)关系 不明确，所以此函数的奇偶性无法确定 令F(x)xf(x 2)， 则 F(x)xf(x) 2xf(x2)F(x)， 所以 F(x)为奇函数 令F(x)f(x)， 则F(x)f(x)f(x)， 由于f(x)与f(x)关系不 明确，所以此函数的奇偶性无法确定 令F(x)f(x)f(x)， 则F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)， 所以F(x)为奇函数 所以，为奇函数 例例 3 3 设函数f(
25、x)在 R R 上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，yR R，恒有f(x y)f(x)f(y)，则函数f(x)的奇偶性为_ 解：解：令xy0，则f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0， 再令yx，则f(0)f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，又f(x)的值不恒为零， 故f(x)是奇函数而非偶函数 【评析】【评析】关于函数方程“f(xy)f(x)f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令xy0 得到了f(0)0当然，如果令xy1 则可 以得到f(2)2f(1)，等等 令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令yx得到f(2x)2f(x)，在某
26、些 情况下也可令y x 1 ，yx，等等 总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理在不是很熟悉的时候， 要有试一试的勇气 例例 4 4 已知二次函数f(x)x 2bxc 满足f(1x)f(1x)， 求b的值， 并比较f( 1)与f(4)的大小 解：解：因为f(1x)f(1x)，所以x1 为二次函数图象的对称轴， 所以1 2 b ，b2 根据对称性，f(1)f(3)，又函数在1，)上单调递增， 所以f(3)f(4)，即f(1)f(4) 例例 5 5 已知f(x)为奇函数，当x0 时，f(x)x 22x， (1)求f(1)的值； (2)当x0 时，求f(x)的解析式 解：解：(1)因
27、为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)(1 221)1 (2)方法一：当x0 时，x0所以，f(x)f(x)(x) 22(x)x2 2x 方法二：设(x，y)是f(x)在x0 时图象上一点，则(x，y)一定在f(x)在x0 时 的图象上所以，y(x) 22(x)，所以 yx 22x 例例 6 6 用函数单调性定义证明，函数yax 2bxc(a0)在区间 ), 2 ( a b 上为增函 数 证明：证明：设), 2 ( 21 a b xx、，且x1x2 f(x2)f(x1)(ax2 2bx 2c)(ax1 2bx 1c)a(x2 2x 1 2)b(x 2x1) a(x2x1)(x2x1)b(x2
28、x1)(x2x1)a(x1x2)b 因为x1x2，所以x2x10，又因为), 2 ( 21 a b xx、， 所以0)(, 2121 bxxa a b xx，所以f(x2)f(x1)0， 函数yax 2bxc(a0)在区间 ), 2 ( a b 上为增函数 例例 7 7 已知函数f(x)是定义域为 R R 的单调增函数 (1)比较f(a 22)与 f(2a)的大小； (2)若f(a 2)f(a6)，求实数 a的取值范围 解：解：(1)因为a 222a(a1)210，所以 a 222a， 由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a 22)f(2a) (2)因为f(x)是单调增函数，且f(a 2)f
29、(a6)，所以 a 2a6， 解得a3 或a2 【评析】【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的 问题：xx2x1的符号；yf(x2)f(x1)的符号；函数yf(x)在区间上是增还是减 由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2x1，且f(x2)f(x1)，则函数yf(x)在区间 上是增函数； 不仅如此，若x2x1，且函数yf(x)在区间上是增函数，则f(x2)f(x1)； 若f(x2)f(x1)，且函数yf(x)在区间上是增函数，则x2x1； 于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系请结合例 5 例 6 体会这一点 函数的单调性是极为
30、重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在 复习中要予以充分注意 例例 8 8 设f(x)是定义域为(，0)(0，)的奇函数，且它在区间(，0)上是 减函数 (1)试比较f(2)与f(3)的大小； (2)若mn0，且mn0，求证：f(m)f(n)0 解：解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)， 又f(x)在区间(，0)上是减函数，所以f(3)f(2)，即f(3)f(2) (2)因为mn0，所以m，n异号，不妨设m0，n0， 因为mn0，所以nm， 因为n，m(，0)，nm，f(x)在区间(，0)上是减函数， 所以f(n)f(m)， 因为f(x)是奇函数，所以f(m
31、)f(m)， 所以f(n)f(m)，即f(m)f(n)0 例例 9 9 函数f(x)是周期为 2 的周期函数，且f(x)x 2，x1，1 (1)求f(7.5)的值； (2)求f(x)在区间2n1，2n1上的解析式 解：解：(1)因为函数f(x)是周期为 2 的周期函数，所以f(x2k)f(x)，kZ Z 所以f(7.5)f(0.58)f(0.5) 4 1 (2)设x2n1，2n1，则x2n1，1 所以f(x)f(x2n)(x2n) 2，x2n1，2n1 练习练习 2 22 2 一、选择题一、选择题 1下列函数中，在(1，)上为增函数的是( ) (A)yx 24x (B)yx (C) x y 1
32、 (D)yx 22x 2下列判断正确的是( ) (A)定义在 R R 上的函数f(x)，若f(1)f(1)，且f(2)f(2)，则f(x)是偶函数 (B)定义在 R R 上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则f(x)在 R R 上不是减函数 (C)定义在 R R 上的函数f(x)在区间(，0上是减函数，在区间(0，)上也是减函 数，则f(x)在 R R 上是减函数 (D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数 3已知函数f(x)是 R R 上的奇函数，并且是周期为 3 的周期函数，又知f(1)2则f(2) ( ) (A)2 (B)2 (C)1 (D)1 4设f(x)是 R R 上的任意函数，则下列
33、叙述正确的是( ) (A)f(x)f(x)是奇函数 (B)f(x)f(x)是 奇函数 (C)f(x)f(x)是偶函数 (D)f(x)f(x)是偶 函数 二、填空题二、填空题 5若函数f(x)4x 2mx5 在区间2，)是增函数，则 m的取值范围是_；f(1) 的取值范围是_ 6已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数当x(，0)时，f(x)xx 4， 则当x(0，)时，f(x)_ 7设函数 x axx xf )(1( )( 为奇函数，则实数a_ 8已知函数f(x)x 2cosx，对于 2 , 2 上的任意x1，x2，有如下条件： x1x2； ; 2 2 2 1 xx x1x2 其中能使f(x1
34、)f(x2)恒成立的条件序号是_ 三、解答题三、解答题 9已知函数f(x)是单调减函数 (1)若a0，比较) 3 ( a af与f(3)的大小； (2)若f(a1)f(3)，求实数a的取值范围 10已知函数)., 0()( 2 R ax x a xxf (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)当a1 时，证明函数f(x)在区间2，)上是增函数 11定义在(0，)上的函数f(x)满足f(2)1；f(xy)f(x)f(y)，其中x，y为 任意正实数，任意正实数x，y满足xy时，(xy)f(x)f(y)0 恒成立 (1)求f(1)，f(4)的值； (2)试判断函数f(x)的单调性； (3)如果f(x
35、)f(x3)2，试求x的取值范围 223 3 基本初等函数基本初等函数()() 本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数， 三角函数在三角部分复习 函数的图象上直观地反映着函数的性质， 学习函数的“捷径”是熟知函数的图象 熟知 函数图象包括三个方面：作图，读图，用图 掌握初等函数一般包括以下一些内容： 首先是函数的定义， 之后是函数的图象和性质 函 数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值 的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑 函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质， 我们可以通过解析式研究函数的
36、性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质 【知识要点】【知识要点】 1一次函数：ykxb(k0) (1)定义域为 R R，值域为 R R； (2)图象如图所示，为一条直线； (3)k0 时，函数为增函数，k0 时，函数为减函数； (4)当且仅当b0 时一次函数是奇函数一次函数不可能是偶函数 (5)函数ykxb的零点为 k b 2二次函数：yax 2bxc(a0) 通过配方，函数的解析式可以变形为 a bac a b xay 4 4 ) 2 ( 2 2 (1)定义域为 R R： 当a0 时，值域为), 4 4 2 a bac ； 当a0 时，值域为 4 4 ,( 2 a b
37、ac ； (2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为 a b x 2 ，顶点坐标为) 4 4 , 2 ( 2 a bac a b 当a0 时，抛物线开口向上；当a0 时，抛物线开口向下 (3)当a0 时， 2 ,( a b 是减区间，), 2 a b 是增区间； 当a0 时， 2 ,( a b 是增区间，), 2 a b 是减区间 (4)当且仅当b0 时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数 (5)当判别式b 24ac0 时，函数有两个变号零点 a acbb 2 4 2 ； 当判别式b 24ac0 时，函数有一个不变号零点 a b 2 ； 当判别式b 24ac0 时，函数没有零点 3指数函数ya
38、 x(a0 且 a1) (1)定义域为 R；值域为(0，) (2)a1 时，指数函数为增函数；0a1 时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，也没有零点 4对数函数ylogax(a0 且a1)， 对数函数ylogax与指数函数ya x互为反函数 (1)定义域为(0，)；值域为 R R (2)a1 时，对数函数为增函数；0a1 时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性， (4)函数的零点为 1 5幂函数yx (R R) 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共 同的性质： (1)所有的幂函数在(0，)都有定义，
39、并且图象都通过点(1，1)； (2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数； (3)如果0，则幂函数在区间(0，)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋 向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地接 近x轴 要注意： 因为所有的幂函数在(0，)都有定义，并且当x(0，)时，x 0，所以所有 的幂函数yx (R R)在第一象限都有图象 根据幂函数的共同性质， 可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象， 再根据幂 函数的定义域和奇偶性， 我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象， 这样就能够得到这个 幂函数的大致图象 6指数与对数 (1)如果存
40、在实数x，使得x n (aR R，n1，nN N )，则 x叫做a的n次方根 负数没有偶次方根 ), 1()( Nnnaa nn ； 为偶数时当 为奇数时当 na na a nn |,| , )( (2)分数指数幂， )0( 1 aaa n n ； , 0()(aaaa nmmn n m n，mN N *，且 n m 为既约分数) * N, 0( 1 mna a a n m n m ，且 n m 为既约分数) (3)幂的运算性质 a manamn，(am)namn，(ab)nanbn，a01(a0) (4)一般地，对于指数式a bN，我们把“b 叫做以a为底N的对数”记为 logaN， 即bl
41、ogaN(a0，且a1) (5)对数恒等式： N a a log N (6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是 1，1 的对数是 0 (7)对数的运算法则及换底公式： NM N M NMMN aaaaaa logloglog;loglog)(log； MM aa loglog ； b N N a a b log log log.(其中a0 且a1，b0 且b1，M0，N0). 【复习要求】【复习要求】 1掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂 函数主要掌握yx，yx 2，yx3， 2 1 , 1 xy x y这五个具体的幂函数
42、的图象与性质 2准确、熟练的掌握指数、对数运算； 3整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 化简下列各式： (1) 3 1 5 2 2732 ； (2) 0 3 1 2) 27 10 2( 4 1 2 ； (3) 2 1 ) 9 7 2() 7 1 ()027. 0( 2 3 1 ； (4)log2log3(log464)； (5) 401501 8lg5lg2lg gg 解：解：(1) 3 4 32)3()2(2732 12 3 1 3 5 2 5 3 1 5 2 (2) 4 1 2 4 3 2 3 2) 27 64 () 4 9 (2)
43、27 10 2() 4 1 2( 3 1 2 1 0 3 1 5 . 0 (3)44 3 5 49 3 10 ) 9 25 (49) 10 3 () 9 7 2() 7 1 ()027. 0( 2 1 3 1 3 3 2 1 2 3 1 (4)log2log3(log464)log2log3(log44 3)log 2log33log210 (5) . 1 4 5 lg 4 5 lg 40 50 lg 8 52 lg 40150lg 8lg5lg2lg g 【评析】【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使 用是关键 例例 2 2 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为 8，试确 定f(x)的解析式 解：解：解法一 设f(x)ax 2bxc(a0)，依题意 , 7 , 4 , 4 , , 8 4 4 1 , 124 2 c b a a bac c