1、复复 数数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩 充需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、 乘、除)，了解复数的几何表示由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式 就不作要求，主要解决代数形式 【知识要点】【知识要点】 1复数的概念中，重要的是复数相等的概念明确利用“转化”的思想，把虚数问题 转化为实数问题加以解决， 而这种 “转化” 的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现 2复数的代数形式：zabi(a，bR R)应该注意到a，bR R 是与zabi为一个 整体，解决虚数问题实际上是通过a，bR R 在
2、实数集内解决实数问题 3复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算 【复习要求】【复习要求】 1了解数系的扩充过程理解复数的基本概念与复数相等的充要条件 2了解复数的代数表示法及其几何意义 3能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 m(mR R)取什么值时，复数z(m 23m4)(m25m6)i 是(1)实数?(2)纯虚 数?(3)零? 【分析】【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决 解：解：(1)当m 25m60，即 m1 或m6 时，复数z为实数； (2)当 065 043 2 2 mm mm ，
3、即m4 时，复数z为纯虚数； (3)当 065 043 2 2 mm mm ，即m1 时，复数z为零 【评析】【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究应该 注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算这一点大 家在后面的运算中更加能够体会到 例例 2 2 判断下列命题的对错： (1)复平面内y轴上所有点的集合与纯虚数集是一一对应的； (2)两个复数abicdi的充要条件是ac，bd； (3)任意两个确定的复数都不能比较大小； (4)若z1z2R R，则z1，z2为共轭复数 【分析】【分析】 本题进一步考察数系的概念， 大家在解决此类问题时
4、一定要跳出实数这个圈子， 考虑全面一些 解：解：(1)错误复平面内y轴上的原点对应的是实数 0，不是纯虚数 (2)错误 复数abi中并没有强调a，bR R 这一条件， 因此a，b不一定是复数的实部、 虚部，例如：3i4i5i2i，此时，a3i，b4、c5i，d2，ac，bd不成立 (3)错误复数中的两个确定的实数是可以比较大小的 (4)错误z134i，z254i，z1z28R R，z1，z2不是共轭复数 【评析】【评析】 (4)中需要注意不能从两个复数运算的结果来判定这两个复数的范围； (3)中再 次强调复数中对于实部和虚部必须加以明确； 对于判断命题的正确与否的问题， 错误的要能 举出反例(
5、一个即可)，正确的要能加以证明错误的命题最好能够加以改正 例例 3 3 计算下列各式的值： (1); 2 3 3 4 ()2() 2 1 3 1 (iii (2)(12i)(34i)(2i)； (3)|(512i)(34i)| 【分析】【分析】这是本专题的重点，运算中要运用法则，还要观察题目本身的特点 解：解：(1).1) 2 3 1 2 1 () 3 4 2 3 1 () 2 3 3 4 ()2() 2 1 3 1 (iiiii (2)(12i)(34i)(2i)(34i6i8)(2i)(112i)(2i)247i (3)|(512i)(34i)|(512i)|(34i)|.65513431
6、25 2222 【评析】【评析】 (1)中的变号问题不容忽视； (2)中不妨再把后两个括号先算， 对结果加以验证； (3)中运用复数模的运算法则要比先运算再取模方便得多复数的计算是高考中考察复数知 识的重点，运算要准确，不要图快，最好从多个角度加以验证 例例 4 4 已知复数z1i，z表示z的共轭复数，且az2bz(a2z) 2， 求实数a，b的值 【分析】【分析】利用复数相等的充要条件列出实数的方程或方程组是解决此类问题的一般方 法 解：解：z1i，z1i， ,)2(2 2 zazbaz 22 442zazazbaz， (a2b)(a2b)i(a 24a)(4a8)i， 即：(a2b)(a2
7、b)i(a 24a)(4a8)i， 842 42 2 aba aaba 解得 1 2 b a 或 . 2 4 b a 【评析】【评析】应注意到a，b是实数这一条件在本题中的作用，如果没有这个条件，那么a， b都要按照复数来求，问题就复杂多了 习题习题 1212 11ii 2i2008的值是( ) A0 B1 C1 Di 2复数z1(a 23)(4a3)i，z 2(a7)(a 2a)i，若 z1z22i，则实数a 的值为( ) A3 B2 C1 D不存在 3若复数)R( 21 2 b i bi 的实部和虚部互为相反数，则b( ) A2 B 3 2 C 3 2 D2 4复数 i 21 5 的共轭复
8、数为( ) A12i B12i Ci 3 10 3 5 Di 3 10 3 5 5若a是实数， i ia 1 是纯虚数，则a_ 6复数iz i i z32, 34 23 21 ，若 2 1 3 z z z ，则|z3|等于_ 7复平面内，复数zsin2icos2 对应的点所在的象限是_ 8虚数z(x2)yi(x，yR R)，若虚数的模z|1，则 x y 的取值范围是_ 9已知复数)152( 3 158 2 2 mm m mm zi(mR R)，当z是(1)实数；(2)虚数；(3) 纯虚数时，分别求m的值或取值范围 10已知复数(3x2y)5xi与复数 18(y2)i的共轭复数相等，求实数x，y
9、的值 11已知函数 1 32 )( 2 x xx xf，求f(1i)与f(1i)的值 参考答案参考答案 习题习题 1212 一、选择题：一、选择题： 1C 2D 3B 4A 提示： (1)解：1ii 2i2008 . 1 1 1 1 1 2009 i i i i (2)解：z1z2(a 23a7)(4a3a2a)i2i， 即： 41 23 133 24 2 2 aa aa aa aa 或 或 方程组无解 二、填空题二、填空题 51； 6 5 1 ； 7第四象限； 8). 3 3 , 0()0 , 3 3 ( 提示： (6)解：, 25 43 25 )34( 34)32)(34( )32( )3
10、2)(34( 23 2 1 3 iii i i ii ii ii i z z z 5 1 25 5 25 |43| | 25 43 | 3 ii z (8)解： 0 1)2( 22 y yx ，设, x y k 则k为过圆(x2) 2y21 上点及原点的直线斜率，作图如下， 3 3 3 3 k， 又y0，k0. 3 3 , 0()0 , 3 3 k 三、解答题：三、解答题： 9解：(1)当z是实数时，有. 5 03 0152 2 m m mm (2)当z是虚数时，有 03 0152 2 m mm 5m且3m (3)当z是纯虚数时，有 . 30 3 158 0152 2 2 m m mm mm 10解：x，yR R，,)2(1818)2(iyiy . 12 2 )2(5 1823 ,5)23(18)2( y x yx yx xiyxiy 11解：, 1 32 )( 2 x xx xf , 5 2 2 1 11 3)1 (2)1 ( )1 ( 2 i ii ii if 5 2 2 1 11 3)1 (2)1 ( )1 ( 2 i ii ii if