1、 1 福建省厦门市福建省厦门市 2020 届高三届高三 3 月适应性线上测试（一）文科数学试题月适应性线上测试（一）文科数学试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 A1，0，1，2，Bx|yln（x1），则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C1，2 D2 2 （5 分）椭圆 C：2x2+y22 的焦点坐标为（ ） A （1，0） ， （1，0） B （0，1） ， （0，1） C （3，0） ， （3，0） D
2、（0，3） ， （0，3） 3记 Sn为等差数列an的前 n 项和，且 a40，S99，则数列an的公差是（ ） A2 B1 C1 D2 4 周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明如图是赵爽弦图及注文弦图是一个以勾股形之弦为边的 正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积 称为朱实、黄实，由 2 勾 股+（股勾）24 朱实+黄实弦实，化简得勾 2+股2弦2若图中勾股 形的勾股比为 1：2，向弦图内随机抛掷 100 颗图钉（大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的图钉颗数大 约为（参考数据：2 1.41，3 1.73） （ ） A2 B4 C6 D8 5已知
3、角 的终边经过点（3，4） ，则 tan2（ ） A 8 3 B 4 3 C8 3 D24 7 6， 是两个平面，l，m 是两条直线，且 l，m，则下列命题中正确的是（ ） A若 ，则 lm B若 ，则 lm C若 ，则 lm D若 ，则 lm 7在菱形 ABCD 中，AB4，ABC= 3，E 为 CD 的中点，则 =（ ） A10 B12 C16 D36 8已知数列an满足 a11，ana1+a2+an1+1（n2） ，则 a7（ ） A31 B32 C63 D64 2 9已知 alog25+log52，blog25log52，c= 25 52，则（ ） Abac Babc Cbca Dcb
4、a 10在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA11，D，E，F，G 分别为 AC，A1C1，AA1，CC1的中点，P 是 线段 DF 上的一点，有下列三个结论： BP平面 B1EG；BPDG；三棱锥 PB1EG 的体积是定值 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 11已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（b2a0）的左，右焦点分别为 F1，F2，抛物线 E：y22px（p0）的焦 点与 F2重合点 P 是 C 与 E 的交点，且 cosPF1F2= 5 7，则 C 的离心率是（ ） A2 B6 C3 D23 12函数 f（x）xsin（x+1）+1，若 f（x）（axb）0（b
5、0）对 xR 恒成立，则 =（ ） A1 B0 C1 D2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13复数 z（2i）i（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部是 14若 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，则 zx+3y 的最大值是 15如图，函数 f（x）2sin（x+） （0，0）的图象与坐标轴交于点 A，B，C，直线 BC 交 f（x） 的图象于点 D， O （坐标原点） 为ABD 的重心， A （， 0） ， 则点 C 的坐标为 ， f （0） 16已知数列an满足 a3= 1 2，且 an+an+1= 2 2:2（nN*）
6、 ，则 an的最大值是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答(一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b7，c（7 5 cosA）acosC （1）求 c； （2）若 B= 3，点 D 在边 BC 上，且 AD5，求ADC 的面积 3 18如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BF，DE
7、，CG 都垂直于平面 ABCD，且 CG2BF2ED2 （1）证明：AE平面 BCF； （2）若DAB= 3，求三棱锥 DAEF 的体积 19风梨穗龙眼原产厦门，是厦门市的名果，栽培历史已有 100 多年龙眼干的级别按直径 d 的大小分为 四个等级（如表） d（mm） d21 21d24 24d27 d27 级别 三级品 二级品 一级品 特级品 某商家为了解某农场一批龙眼干的质量情况，随机抽取了 100 个龙眼干作为样本（直径分布在区间18， 33） ，统计得到这些龙眼下的直径的频数分布表如下： d（mm） 18，21） 21，24） 24，27） 27，30） 30，33 频数 1 m 29
8、 n 7 用分层抽样的方法从样本的一级品和特级品中抽取 6 个，其中一级品有 2 个 （1）求 m、n 的值，并估计这批龙眼干中特级品的比例； （2）已知样本中的 100 个龙眼干约 500 克，该农场有 500 千克龙眼干待出售，商家提出两种收购方案： 方案 A：以 60 元/千克收购； 方案 B：以级别分装收购，每袋 100 个，特级品 40 元/袋、一级品 30 元/袋、二级品 20 元/袋、三级品 10 元/袋 用样本的频率分布估计总体分布，哪个方案农场的收益更高？并说明理由 20已知点 A1（23，0） ，A2（23，0） ，直线 PA1，PA2相交于点 P，且它们的斜率乘积为 1
9、3 （1）求点 P 的轨迹 的方程； （2）设曲线 与 y 轴正半轴交于点 B，直线 l：ykx1 与 交于 C，D 两点，E 是线段 CD 的中点证 明：|CD|2|BE| 21已知函数 f（x）= 1 2e 2xaex+x 4 （1）若 f（x）在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，证明：(2) 2 3 (二二)选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22
10、在平面直角坐标系 xOy 中，曲线l的参数方程为 = 2 + 2 = 2 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C2的极坐标方程为 4sin （l）写出 C1的极坐标方程： （2）设点 M 的极坐标为（4，0） ，射线 = (0 4)分别交 C1，C2于 A，B 两点（异于极点） ，当 AMB= 4时，求 tan 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23设函数 f（x）2sinx+|a3|+|a1| （1）若( 2)6，求实数 a 的取值范围； （2）证明：xR，f（x）|a3|1 +1|恒成立 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12
11、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1集合 A1，0，1，2， Bx|yln（x1）x|x1， AB2 故选：D 2椭圆的标准方程为：x2+ 2 2 =1，所以焦点在 y 轴上，且 a22，b21，所以 c2a2b21， 即焦点坐标为： （0， 1） ， 故选：B 3设数列an的公差为 d，a40，S99， a1+3d0，9a1+36d9 解得 d1 故选：C 4设勾为 a，则股为2a，弦为3a，则图中大四边形的面积为 3a2，小四边形的面积为（2 1）2a2 5 （32
12、2）a2， 则由测度比为面积比3;22 3 ，可得图钉落在黄色图形内的概率为3;22 3 =1 22 3 0.06 落在黄色图形内的图钉数大约为 100 0.066 故选：C 5角 的终边上的点 P（3，4） ， 由任意角的三角函数的定义得：tan= 4 3 故有 tan2= 2 1;2 = 24 7 故选：D 6对于 A，若 ，l，则 l 或 l，又 m，则 lm，故 A 错误； 对于 B，由 A 知，B 正确； 对于 C，若 ，m 则 m 或 m，又 l，则 l 与 m 平行、相交或异面，故 C 错误； 对于 D，由 C 知，D 错误 正确的命题是 B 故选：B 7解；如图， 菱形 ABC
13、D 中，AB4，ABC= 3，E 为 CD 的中点； =（ + ）1 2（ + ）= 1 2（ + ）（ +2 ）= 1 2（ 2 +3 +2 2）= 1 2 （42+3 4 4 cos2 3 +2 42）12， 故选：B 8依题意，当 n2 时，由 ana1+a2+an1+1Sn1+1，可得 an+1Sn+1， ，可得 an+1anSnSn1an， 整理，得 an+12an 数列an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 an12n 12n1，nN* a727 164 6 故选：D 9alog25+log52（2，3） ， blog25log52= 5 2 2 5 =1， c= 25 52，
14、= 5 2 2 5 = (5 2) 2(4 2) 2 =4， cab， 故选：A 10如图， 在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E，F，G 分别为 AC，A1C1，AA1，CC1的中点， EGDF，BDB1E，可得平面 BDF平面 B1EG， 由 BP平面 BDF，得 BP平面 B1EG，故正确； 由 BD平面 ACC1A1，得 BDDG，又四边形 ACC1A1 是正方形，DGDF，得 DG平面 BDF，则 DGBP，故正确； 由平面 BDF平面 B1EG，得 DF平面 B1EG，P 到平面 B1EG 的距离为定值，可得三棱锥 PB1EG 的体积是定值，故正确 所有正确结论的编号是 故选：
15、D 11过 P 分别向 x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为 M，N， 不妨设 PF1m，PF2n，则 F1MPNPF2PF1cosPF1F2= 5 7， P 为双曲线上的点，则 PF1PF22a，即 m 5 7 =2a，故 m7a，n5a 又 F1F22c，在PF1F2中，由余弦定理可得5 7 = 492:42;252 272 ， 化简可得 c25ac+6a20，即 e25e+60， 解得 e2 或 e3 7 b2a2， e= 1 + 2 2 5， e3， 故选：C 12f（x）xsin（x+1）+1，xR，f（x）1cos（x+1）0 函数 f（x）在 R 上单调递增 f（1）0，x1
16、时，f（x）0，x1 时，f（x）0 f（x）（axb）0（b0）对 xR 恒成立， x1 时，axb0；x1 时，axb0 a（1）b0，可得： = 1 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13z（2i）i1+2i， z 的虚部是 2 故答案为：2 14由 x，y 满足约束条件 0 + 2 0 ，作出可行域如图， 联立 = 0 + = 2，解得 A（1，1） ， 化目标函数 zx+3y 为 y= 3 + 3， 由图可知，当直线 yy= 3 + 3过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 1+3 14 故答案
17、为：4 8 15B，D 关于 C 对称， xB+xD2xC， O（坐标原点）为ABD 的重心，A（，0） ， xB+xD+xA0，即 2xC0，得 xC= 2，即 C（ 2，0） ， 由五点对应法得 + = 0 2 + = ，得 = 2 3 ， 则 f（0）2sin2sin2 3 =2 3 2 = 3， 故答案为： （ 2，0） ，3 16an+an+1= 2 2:2 = 1 1 :2（nN*）， an+1+an+2= 2 (:1)2:2(:1) = 1 :1 1 :3（nN*）， 得：anan+2（1 + 1 :3）（ 1 :1 + 1 :2）= 2:3 2:3 2:3 2:3:20， an
18、an+2， 即 a1a3a5a2n1；a2a4a6a2n； a3= 1 2， a2+a3= 1 2 1 4 = 1 4， a2= 1 4 + 1 2 = 3 4 又 a1+a21 1 3 = 2 3， a1= 2 3 3 4 = 1 12a2= 3 4 故 an的最大值是：3 4 故答案为：3 4 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答(一一)必考题：共必考题
19、：共 60 分分 9 17 （1）b7，c（7 5 cosA）acosC 7 5 =acosC+ccosA，由正弦定理可得7 5 =sinAcosC+sinCcosA， 7 5 =sin（A+C）sinB，由正弦定理可得7 5 =b7， 解得 c5 （2）B= 3，点 D 在边 BC 上，且 AD5，c5， ABD 为等边三角形， 在ABC 中，由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 7252+a22 5 1 2，可得 a 25a240， 解得 a8，或3（舍去） ， CDaBD853， SACD= 1 2ADCDsinADC= 1 2 5 3 sin120 = 153 4 18 （1
20、）证明：ABCD 是菱形，ADBC， AD平面 BCF，BC平面 BCF，AD平面 BCF BF，DE 都垂直于平面 ABCD，DEBF， DE平面 BCF，BF平面 BCF，DE平面 BCF 又 ADDED，平面 ADE平面 BCF，则 AE平面 BCF； （2）解：由（1）知，DEBF，BF平面 ADE， 则 F 与 B 到平面 ADE 的距离相等 VDAEFVFADEVBADEVEABD= 1 3 = 1 3 1 2 2 2 60 1 = 1 3 1 2 2 2 3 2 1 = 3 3 19 （1）由题意得： 1 + + 29 + + 7 = 100 6 29 29:7 = 2 ， 解得
21、 m12，n51 10 （2）按方案 A 收购，农场收益为：500 6030000（元） ， 按方案 B 收购，以级别分装收购，每袋 100 个，特级品 40 元/袋、一级品 30 元/袋、二级品 20 元/袋、三 级品 10 元/袋 500 千克龙眼干约有：500000 500 100100000（个） ， 其中，特级品有 100000 7:51 100 =58000 个， 一级品有 100000 29 100 =29000 个， 二级品有 100000 12 100 =12000 个， 三级品有 100000 1 100 =1000 个， 按方案 B 收购，农场收益为： 580 40+29
22、0 30+120 20+10 1034400（元） 20 （1）设点 P（x，y） ， 1 2= 1 3， :23 ;23 = 1 3， 化简得： 2 12 + 2 4 = 1， 点 P 的轨迹 的方程为： 2 12 + 2 4 = 1 （x 23） ； （2）易知 B（0，2） ，设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 联立方程 = 1 2 12 + 2 4 = 1，消去 y 得： （1+3k 2）x26kx90， 1+ 2= 6 1:32，12 = 9 1:32， 1+ 2= (1+ 2) 2 = 2 1:32，E（ 3 1:32， 1 1:32） ， |CD|= 1 + 2 (1+
23、 2)2 412= 1 + 2 61:42 1:32 = 6 1:32 44+ 52+ 1， 而|BE|= ( 3 1:32) 2+ (2 + 1 1:32) 2 = 3 1:32 44+ 52+ 1， |CD|2|BE| 21 （1）解：f（x）= 1 2e 2xaex+x 在 R 上单调递增， f（x）e2xaex+10 恒成立， a（ex+e x） min2， 11 实数 a 的取值范围为（，2； （2）证明：x1，x2（x1x2）是 f（x）的两个极值点， x1，x2是 f（x）e2xaex+10 的两个根， 1+ 2=a，12= 1:2=1， x1+x20，又 x1x2， x2x10
24、 要证明(2) 2 3，即证 f（x2）3x2， 就是证明：1 2 22 a2+4x20， 即证：1 2 22 （1+ 2）2+4x2= 1 2 22 +4x210， 令 h（x）= 1 2e 2x+4x1（x0） ， 需证 h（x）max0 因为 h（x）e2x+4， 令 h（x）e2x+40，得 xln2， 当 x（0，ln2）时，h（x）单调递增，当 x（ln2，+）时，h（x）单调递减， 当 xln2 时，h（x）= 1 2e 2x+4x1 取得极大值，也是最大值 h（ln2）= 1 2 4+4ln214ln23 ln16 3 ln10， 原结论成立 (二二)选考题：共选考题：共 10
25、 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （1）曲线l的参数方程为 = 2 + 2 = 2 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为（x2）2+y24，转换 为极坐标方程为 4cos （2）曲线 C2的极坐标方程为 4sin转换为直角坐标方程为 x2+（y2）24 设点 M 的极坐标为（4，0） ，射线 = (0 4)分别交 C1，C2于 A，B 两点（异于极点） ， 如图所示： 设射线 OA 的方程为 ykx， 则： = 2 4 + 2= 0 ，解
26、得( 4 1:2 ， 4 1:2) 同理 B(4 1:2 ， 42 1:2) 12 由于A= 2，AMB= 4时，所以 BM 与 AO 的夹角为 4， 由于= 2 ;1;2，kAOk， 利用两直线的夹角公式的应用| ; 1: | = 1， 整理得 ; 2 12 1: 3 12 = 1或 1， 即：2k3k2+2k10 或 k22k+10 解得 k= 1 2或 k1 由于0 4，所以 k1（舍去） 故 k= 1 2 所以 tan = 1 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲(10 分分) 23 （1）f（x）2sinx+|a3|+|a1|， ( 2)6，可化为：|a3|+|a1|4， 由绝对值的几何意义得：a4 或 a0； （2）证明：要证 f（x）|a3|1 +1|恒成立， 即证 2sinx+|a3|+|a1|a3|1 +1|恒成立， 也就是证明|1 +1|+|a1|2sinx 恒成立 y2sinx 的最大值为 2， 即证|1 +1|+|a1|2， 13 |1 +1|+|a1|（1 +1）+（a1）|1 +a|1 |+|a|2 成立， 故原结论成立（证毕）