1、2017-2018 学年江西省吉安市永新县八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1（3 分）下列命题中是真命题的是（ ）4 的平方根是 2有两边和一角相等的两个三角形全等连结任意四边形各边中点的四边形是平行四边形所有的直角都相等A0 个 B1 个 C2 个 D3 个2（3 分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A1 ，1 ， B4，5， 6 C6，8，11 D5，12，153（3 分）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）Aa 2+1Ba 26a+9 Cx 2+5y Dx 25y4（3 分）若 x2+mxy+y2 是一个完全平方式，则 m=（
2、）A2 B1 C1 D25（3 分）已知不等式组 的解集是 x2，则 a 的取值范围是（ ）Aa 2 Ba=2 Ca2 Da26（3 分）如图，在ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分CAB，交 DE 于点 F若 DF=3，则 AC 的长为（ ）A B3 C6 D97（3 分）如图，将含 30角的直角三角尺 ABC 绕点 B 顺时针旋转 150后得到EBD，连接 CD若 AB=4cm则BCD 的面积为（ ）A4 B2 C3 D28（3 分）如图，在ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发以每秒3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发
3、以每秒 2cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A2.5 秒 B3 秒 C3.5 秒 D4 秒二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9（3 分）不等式 的正整数解是 10（3 分）已知 x+y=1， xy=3，则 x2y+xy2= 11（3 分）关于 x 的不等式组 的解集为3x3，则 a= ，b= 12（3 分）已知关于 x 的方程 的解是负数，则 n 的取值范围为 13（3 分）化简分式： = 14（3 分）如图，四边形 ABCD 中，若去掉一个 60的角得到一个五边形，
4、则1+2= 度15（3 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，将ABC 沿 CB 向右平移得到DEF，若平移距离为 2，则四边形 ABED 的面积等于 16（3 分）如图，已知：MON=30，点 A1、A 2、A 3 在射线 ON 上，点B1、B 2、B 3在射线 OM 上，A 1B1A2、A 2B2A3、A 3B3A4均为等边三角形，若 OA1=a，则A 6B6A7 的边长为 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17（6 分）解方程： 18（6 分）因式分解：x 2y2xy2+y319（6 分）解不等式组四、（本大题共 3 小题,每小题 8 分，共 2
5、4 分)20（8 分）化简：（ ） 并解答：（1）当 x=1+ 时，求原代数式的值；（2）原代数式的值能等于1 吗？为什么？21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1，并写出点 A1 的坐标（2）画出A 1B1C1 绕原点 O 旋转 180后得到的A 2B2C2，并写出点 A2 的坐标22（8 分）如图，已知 ACBC ，BD AD，AC 与 BD 交于 O，AC=BD求证：（1）BC=AD ；（2）OAB 是等腰三角形五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分
6、23（9 分）阅读例题，回答问题：例题：已知二次三项式：x 24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为 x+n，得 x24x+m=（x+3）（x+n ），则 x24x+m=x2+（n+3）x+3n 另一个因式为 x7，m=21仿照以上方法解答下面的问题：已知二次三项式 2x2+3x+k 有一个因式是 2x5，求另一个因式以及 k 的值24（9 分）已知如图，点 E 为ABCD 内任意一点，若ABCD 的面积为 6，连结点 E 与ABCD 的四个顶点，求图中阴影部分的面积六、（本大题共 1 小题，12 分）25（12 分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电
7、子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电子白板和 5 台笔记本电脑共需 80000 元（1）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396，要求购买的总费用不超过 2700000 元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍，该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？2017-2018 学年江西省吉安市永新县八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）
8、1（3 分）下列命题中是真命题的是（ ）4 的平方根是 2有两边和一角相等的两个三角形全等连结任意四边形各边中点的四边形是平行四边形所有的直角都相等A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】根据平方根的概念、全等三角形的判定定理、中点四边形的性质判断即可【解答】解：4 的平方根是2，是假命题；有两边及其夹角相等的两个三角形全等，是假命题；连结任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，是真命题；所有的直角都相等，是真命题；故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理2（3 分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（
9、 ）A1 ，1 ， B4，5， 6 C6，8，11 D5，12，15【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【解答】解：A、1 2+12=（ ） 2，能构成直角三角形，故符合题意；B、5 2+426 2，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、 62+8211 2，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、12 2+5215 2，不能构成直角三角形，故不符合题意故选：A【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键3（3 分）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）Aa 2+1Ba 26a+9 Cx 2+5y Dx 25
10、y【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案【解答】解：A、C、D 都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D 不能因式分解；B、是完全平方公式的形式，故 B 能分解因式；故选：B【点评】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键4（3 分）若 x2+mxy+y2 是一个完全平方式，则 m=（ ）A2 B1 C1 D2【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 m 的值【解答】解：x 2+mxy+y2 是一个完全平方式，mxy=2xy，解得 m=2故选：D【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方
11、项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要5（3 分）已知不等式组 的解集是 x2，则 a 的取值范围是（ ）Aa 2 Ba=2 Ca2 Da2【分析】解不等式可得出 x ，结合不等式组的解集为 x2 即可得出a=2，此题得解【解答】解： ，解不等式得：x ，又不等式组 的解集是 x2，a=2故选：B【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键6（3 分）如图，在ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分CAB，交 DE 于点 F若 DF=3，则 AC 的长为（ ）A B3 C6 D9【分析】首先根据条件
12、D、E 分别是 AC、BC 的中点可得 DEAB ，再求出2=3，根据角平分线的定义推知 1= 3，则 1=2，所以由等角对等边可得到 DA=DF= AC【解答】解：如图，D、E 分别为 AC、BC 的中点，DEAB，2=3，又AF 平分CAB ，1=3，1=2，AD=DF=3，AC=2AD=6故选：C【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质三角形中位线的定理是：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半7（3 分）如图，将含 30角的直角三角尺 ABC 绕点 B 顺时针旋转 150后得到EBD，连接 CD若 AB=4cm则BCD 的面积为（ ）A4 B2 C3 D2【分析
13、】过 D 点作 BE 的垂线，垂足为 F，由ABC=30及旋转角ABE=150 可知CBE 为平角，在 RtABC 中，AB=4 ，ABC=30，则 AC=2，BC=2 ，由旋转的性质可知 BD=BC=2 ，DE=AC=2，BE=AB=4 ，由面积法：DFBE=BDDE求 DF，则 SBCD = BCDF【解答】解：过 D 点作 BE 的垂线，垂足为 F，ABC=30 ，ABE=150CBE=ABC+ABE=180，在 RtABC 中，AB=4，ABC=30，AC=2，BC=2 ，由旋转的性质可知 BD=BC=2 ，DE=AC=2，BE=AB=4，由 DFBE=BDDE，即 DF4=2 2，解
14、得 DF= ，SBCD = BCDF= 2 =3cm2故选：C【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的方法，解答本题的关键是围绕求BCD 的面积确定底和高的值，有一定难度8（3 分）如图，在ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发以每秒3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒 2cm 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A2.5 秒 B3 秒 C3.5 秒 D4 秒【分析】设运动的时间为 x，则 AP=203x，当 APQ 是等腰三角形时，AP=A
15、Q ，则 203x=2x，解得 x 即可【解答】解：设运动的时间为 x，在ABC 中，AB=20cm，AC=12cm，点 P 从点 B 出发以每秒 3cm 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 同时出发以每秒2cm 的速度向点 C 运动，当APQ 是等腰三角形时，AP=AQ，AP=203x，AQ=2x即 203x=2x，解得 x=4故选：D【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9（3 分）不等式 的正整数解是 1，2 【分析】首先确定不等式组的解集，然后再找出不等
16、式的特殊解【解答】解：解不等式得：x3，故不等式的正整数解为：1，2故答案为：1，2【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质10（3 分）已知 x+y=1， xy=3，则 x2y+xy2= 3 【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而把已知数据代入求出答案【解答】解：x+y= 1，xy=3，x 2y+xy2=xy（x+y）=3（1）=3故答案为：3【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键11（3 分）关于 x 的不等式组 的解集为3x3，则 a= 3 ，b= 3 【分析】利用一元一次不等式组的解
17、法解出不等式组，根据题意列出方程组，解方程组即可【解答】解： ，解不等式得：x2a+ b，解不等式得：x2b+a，又不等式组的解集为3x3， ，解得， ，故答案为：3；3【点评】本题考查的是一元一次不等式组、二元一次方程组的解法，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键12（3 分）已知关于 x 的方程 的解是负数，则 n 的取值范围为 n2且 n 【分析】求出分式方程的解 x=n2，得出 n20，求出 n 的范围，根据分式方程得出 n2 ，求出 n，即可得出答案【解答】解： ，解方程得：x=n 2，关于 x 的方程 的解是负数，n2 0 ，解得：n2，又原方程有意义的条件为：x ，n2 ，即
18、n 故答案为：n2 且 n 【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出 n20 和n2 ，注意题目中的隐含条件 2x+10，不要忽略13（3 分）化简分式： = 【分析】将分子变形为（ xy），再约去分子、分母的公因式 xy 即可得【解答】解： = = ，故答案为： 【点评】本题主要考查分式的约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分14（3 分）如图，四边形 ABCD 中，若去掉一个 60的角得到一个五边形，则1+2= 240 度【分析】利用四边形的内角和得到B+C +D 的度数，进而让五边形的
19、内角和减去B+C+D 的度数即为所求的度数【解答】解：四边形的内角和为（42）180=360，B+C+D=36060=300，五边形的内角和为（52）180=540，1+2=540300=240，故答案为：240【点评】考查多边形的内角和知识；求得B+C+D 的度数是解决本题的突破点15（3 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，将ABC 沿 CB 向右平移得到DEF，若平移距离为 2，则四边形 ABED 的面积等于 8 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形 ABED 是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解【解答】解：将ABC 沿 C
20、B 向右平移得到DEF，平移距离为 2，ADBE，AD=BE=2，四边形 ABED 是平行四边形，四边形 ABED 的面积=BEAC=24=8故答案为：8【点评】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等16（3 分）如图，已知：MON=30，点 A1、A 2、A 3 在射线 ON 上，点B1、B 2、B 3在射线 OM 上，A 1B1A2、A 2B2A3、A 3B3A4均为等边三角形，若 OA1=a，则A 6B6A7 的边长为 32 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出 A1B1A 2B2A 3B3
21、，以及 A2B2=2B1A2，得出 A3B3=4B1A2=4，A 4B4=8B1A2=8，A 5B5=16B1A2进而得出答案【解答】解：A 1B1A2 是等边三角形，A 1B1=A2B1，3=4=12=60，2=120，MON=30 ，1=18012030=30，又3=60，5=1806030=90，MON=1=30，OA 1=A1B1=a，A 2B1=a，A 2B2A3、A 3B3A4 是等边三角形，11=10=60 ，13=60，4=12=60 ，A 1B1A 2B2A 3B3，B 1A2B 2A3，1=6= 7=30，5=8=90，A 2B2=2B1A2，B 3A3=2B2A3，A 3
22、B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A 6B6=32B1A2=32a故答案是：32a【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出 A3B3=4B1A2，A 4B4=8B1A2，A 5B5=16B1A2 进而发现规律是解题关键三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17（6 分）解方程： 【分析】观察可得最简公分母是（x2）（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：方程两边同乘以（x2）（x+3），得 6（x+3）=x（x2） （x2）（x+3），6x+
23、18=x22xx2x+6，化简得，9x=12，解得 x= 经检验，x= 是原方程的解【点评】本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定要验根18（6 分）因式分解：x 2y2xy2+y3【分析】先提取公因式 y，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案完全平方公式：a 22ab+b2=（ab ） 2【解答】解：x 2y2xy2+y3=y（x 22xy+y2）=y（x y） 2【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底19（6 分）解不等式组【分析】运用一
24、元一次不等式的解法，注意去分母，移项，系数化为 1 几个步骤，分别解两个不等式，最后求交集即可【解答】解： ，解不等式得：x1，解不等式得：x6.5，所以不等式组的解集为：1x6.5【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到四、（本大题共 3 小题,每小题 8 分，共 24 分)20（8 分）化简：（ ） 并解答：（1）当 x=1+ 时，求原代数式的值；（2）原代数式的值能等于1 吗？为什么？【分析】将原式进行化简可得出原式= （1）代入 x=1+ ，即可
25、求出原式的值；（2）令原式等于1，可求出 x=0，由原式中除数不能为零，可得出原代数式的值不能等于1【解答】解：原式=（ ） ，=（ ） ，= ，= （1）当 x=1+ 时，原式= = +1（2）不能，理由如下：解 =1，得： x=0，当 x=0 时，原式中除数 =0，原代数式的值不能等于1【点评】本题考查了分式的化简求值，将原式化简为 是解题的关键21（8 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出ABC 关于 x 轴对称的 A 1B1C1，并写出点 A1 的坐标（2）画出A 1B1C1 绕原点 O 旋转 180后得到的A
26、 2B2C2，并写出点 A2 的坐标【分析】（1）分别找出 A、B 、C 三点关于 x 轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出 A 点坐标；（2）将A 1B1C1 中的各点 A1、B 1、C 1 绕原点 O 旋转 180后，得到相应的对应点 A2、B 2、C 2，连接各对应点即得 A 2B2C2【解答】解：（1）如图所示：点 A1 的坐标（2，4）；（2）如图所示，点 A2 的坐标（2，4）【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可22（8 分）如图，已知 ACBC ，BD AD，AC 与 BD 交于 O，AC
27、=BD求证：（1）BC=AD ；（2）OAB 是等腰三角形【分析】（1）根据 AC BC，BD AD，得出ABC 与BAD 是直角三角形，再根据 AC=BD， AB=BA，得出 RtABC RtBAD，即可证出 BC=AD，（2）根据 RtABC Rt BAD，得出CAB= DBA ，从而证出 OA=OB，OAB是等腰三角形【解答】证明：（1）ACBC ，BD AD，ADB=ACB=90 ，在 RtABC 和 RtBAD 中， ，RtABCRt BAD（HL），BC=AD，（2）Rt ABCRt BAD，CAB=DBA，OA=OB，OAB 是等腰三角形【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；
28、用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分23（9 分）阅读例题，回答问题：例题：已知二次三项式：x 24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为 x+n，得 x24x+m=（x+3）（x+n ），则 x24x+m=x2+（n+3）x+3n 另一个因式为 x7，m=21仿照以上方法解答下面的问题：已知二次三项式 2x2+3x+k 有一个因式是 2x5，求另一个因式以及 k 的值【分析】设另一个因式为（x+n），得 2x2+5x
29、k=（2x3）（x+n）=2x 2+（2n3）x3n，可知 2n3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式【解答】解：设另一个因式为（x+n），得 2x2+3xk=（2x5）（x+n）=2x2+（2n 5）x5n，则解得：n=4，k=20，故另一个因式为（x+4）， k 的值为 20【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解24（9 分）已知如图，点 E 为ABCD 内任意一点，若ABCD 的面积为 6，连结点 E 与ABCD 的四个顶点，求图中阴影部分的面积【分析】过 E 作 MNBC，交 BC 于 M，交 AD 于 N，EBC 的面
30、积+EAD 的面积= ADEN+ BCEM= BCMN= 平行四边形 ABCD 的面积，即可得出阴影部分的面积【解答】解：过 E 作 MNBC，交 BC 于 M，交 AD 于 N，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ENAD，S AED = ADEN，S BCE = BCEM，S ADE +SBCE = ADEN+ CEM= BCMN= 行四边形 ABCD 的面积= 6=3，阴影部分的面积=3【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、阴影部分面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式=底高六、（本大题共 1 小题，12 分）25（12 分）某学校为了改善
31、办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电子白板和 5 台笔记本电脑共需 80000 元（1）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396，要求购买的总费用不超过 2700000 元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍，该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？【分析】（1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得等量关系：买 1 块电子白板的钱
32、=买 3 台笔记本电脑的钱+3000 元，购买 4 块电子白板的费用+5 台笔记本电脑的费用=80000 元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；（2）设购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（ 396a）台，由题意得不等关系：购买笔记本电脑的台数购买电子白板数量的 3 倍；电子白板和笔记本电脑总费用2700000 元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用【解答】解：（1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得：，解得： 答：购买 1
33、 块电子白板需要 15000 元，一台笔记本电脑需要 4000 元（2）设购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（ 396a）台，由题意得：，解得：99a101 ，a 为正整数，a=99，100，101 ，则电脑依次买：297 台，296 台，295 台因此该校有三种购买方案：方案一：购买笔记本电脑 295 台，则购买电子白板 101 块；方案二：购买笔记本电脑 296 台，则购买电子白板 100 块；方案三：购买笔记本电脑 297 台，则购买电子白板 99 块；（3）解法一：购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：方案一：2954000 +10115000=2695000（元）方案二：29640
34、00 +10015000=2684000（元）方案三：2974000 +9915000=2673000（元）因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用 2673000 元解法二：设购买笔记本电脑数为 z 台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为 W 元，则 W=4000z+15000（396 z）=11000z+5940000 ，k=110000 ，W 随 z 的增大而减小，当 z=297 时，W 有最小值=2673000（元）因此，当购买笔记本电脑 297 台、购买电子白板 99 块时，最省钱，这时共需费用 2673000 元【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组