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著名机构初中数学培优讲义轴对称.第06讲.教师版

1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称, 理解对应 点所连的线段被对称轴垂直 平分性质; 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形; 掌握简单图形之间的轴对称关系,并 能指出对称轴;掌握基本图形(等腰 三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正 多边形、 圆) 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 和直角三角形的概念, 会识别 这三种图形, 并理解这三种图 形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角 三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形和直角 三角形的知识解决

2、 有关问题 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称的有关概念轴对称的有关概念 1 对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能够完全重合,那么这两个图形成轴对称,这条直线就 是对称轴。 2 如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这 条直线叫做对称轴。 3 轴对称指两个图形,轴对称图形是指一个图形。 4 成轴对称的两个图形一定是全等形;全等的两个图形不一定成轴对称。 轴对称及轴对称图形的性质 1 如果两个图形关于某一直线对称,则对应点所连的线段被对称轴垂直平分;对应线段相等,对应角相 等。 2 轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分;轴对称图形的对

3、应线段相等,对应角相等。 3 线段有两条对称轴;角有两条对称轴;等腰三角形(非等边)有两条对称轴;等边三角形有三条对称 轴;等腰梯形有一条对称轴;矩形有两条对称轴;菱形有两条对称轴;正方形有四条对称轴;圆有无 数条对称; 中考要求 例题精讲 中考复习: 几何变换之轴对称 【例1】 下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是( ) 【解析】根据轴对称的性质来判断 【答案】C 【例2】 有下列语句:沿一条直线翻折后,能够重合的两个图形关于这条直线对称;一个轴对称图形 一定能沿一条直线翻折,直线两侧部分相互重合;两个能重合的图形一定关于某条直线对称; 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴。其中正确的有( )

4、 A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 【解析】正确的有, 【答案】C 【例3】 下列语句中错误的是( ) A.线段有两条对称轴 B. 角有一条对称轴 C. 等腰三角形至少有一条对称轴 D.等腰三角形只有一条对称轴 【解析】略 【答案】D 【例4】 下列图形中对称轴最多的是( ) A圆 B正方形 C等腰三角形 D线段 【解析】略 【答案】A 【例5】 如图,直线L是四边形ABCD的对称轴,若ABCD,有下面的结论:ABCD ACBD AOOC ABBC,其中正确的结论有_ O D C B A l 【解析】主要考查了轴对称的性质轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分;对应线段 相等,对

5、应角相等 【答案】 【例6】 将一个正方形纸片依次按图 1,a,b 的方式对折,然后沿图 c 中的虚线裁剪,成图 d 样式,将纸 展开铺平,所得到的图形是图 2 中的( ) 图 1 图 2 【解析】依题意,正方形纸片经过两次对折,因此裁剪后的图形应该是有两条对称轴的图形,图 2 中的四 个图形均为有两条轴对称图形, 分别作出它们的两条对称轴, 取图形的 1 4 部分与图 1 中的d匹配, 易知 D 选项符合题意 【答案】D 【例7】 如图 a 是长方形纸带,DEF=20 ,将纸带沿 EF 折叠成图 b,再沿 BF 折叠成图 c,则图 c 中的 CFE 的度数是( ) A、110 B、120 C

6、、140 D、150 【解析】本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称根据轴对称的 性质,折叠前后图形的形状和大小不变 【答案】B 【例8】 如图,等边ABC的边长为1cm,D、E分别是AB、AC上的点,将ADE沿直线DE折叠, 点A落在点 A 处,且点 A 在ABC外部,则阴影部分图形的周长为 cm A D E C B A 【解析】利用轴对称的性质进行转化的基本思想 【答案】3 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质及判定及判定 性质:垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等, 判定:到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线

7、上 【例9】 如图所示,在ABC 中,BAC=106 ,EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线,点 E、M 在 BC 上,则EAM= N M F ECB A 【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理,能根据三角形内角和定理求出 74BCBAECAM 是解答此题的关键 【答案】32 【例10】 已知:如图,ABC及两点M、N。求作:点P,使得PMPN,且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A P N M C B A P N M C B A 【解析】本题考查了,线段的垂直平分线,角平分线的性质及判定,几何操作与尺规作图 【答案】因为是两边所在的直线,所

8、以有两个答案。 答案一:ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 答案二:ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点 【例11】 下列为边长为 1 的小正方形组成的网格图 请画出ABC 关于直线 a 对称的图形(不要求写作法) ; 求ABC 的面积(直接写出即可) C B A a C1 B1 A1 C B A a 【解析】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形,及利用网格求图形的面积的能力作此题时,三角形 的底和高都不太好计算,可以利用图中图形的面积关系计算 【答案】如图: 11 2 版块三、轴对称与线段和差最值问题 基本思路:通过轴对称的性质转化线段的数量关系 【例12】 如图,在等腰R

9、t ABC中,3CACB,E的BC上一点,满足2BE ,在斜边AB上求作一点 P使得PCPE长度之和最小,最小值为多少? E P CB A E E P CB A 【解析】略 【答案】如图,最小值为13。 【例13】 如图,30AOB, 角内有点P, 且5OP , 在角的两边有两点Q、R(均不同于O点) , 则PQR 的周长的最小值为 O P A B R Q P P P B A O 【解析】作点P关于OA的对称点 P ,作点P关于OB的对称点 P ,连接P P ,交OA OB , 于Q R,两点, 则Q R, 即 为 所 求 易 知5O PO PO P ,AOPAOPBOPBOP, , 260P

10、 OPAOB , P OP为等边三角形 5P P , 进而PQR的周长最小值为 5 【答案】5 【例14】 已知:A、B两点在直线l的同侧,在l上求作一点M,使得|BMAM 最大。 B A l B A l M 【解析】略 【答案】如图。 【巩固】求在直线l上找一点P,使得直线l为APB的角平分线 B A P B B A 【解析】作出对称点,然后利用轴对称与等腰三角形 【答案】如图 板块四 等腰三角形 等腰三角形等腰三角形 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2 等腰三角形的两腰相等,两底相等。 3 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;简称三线合一。 4 等腰直角三

11、角形的两个锐角都等于 45。 等边三角形等边三角形 1 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都是 60;三边都相等。 2 有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。 3 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。 【例15】 若等腰三角形中有一个角等于50,则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A50 80 65或50 50或80 【解析】分类讨论 【答案】 【例16】 等腰三角形一个角为 70 ,它的另外两个角为_; 【解析】分情况讨论 【答案】7040,或5555, 【例17】 等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是 ; 【解析】分情况讨论 【答案】10cm

12、 或 11cm 【例18】 等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是 。 【解析】分情况讨论,同时注意三边关系 【答案】19cm 【例19】 等腰三角形两边长为4和6,则它的面积为( ) A.8 2 B.8 2或15 C.15 D.8 2或3 7 【解析】分类讨论 【答案】当腰为4时,底边为6,它的面积为3 7;当腰为6时,底边为4时,其面积为8 2,选D 【例20】 在ABC中,ABAC,点D在AC边上,使BDBC,点E在AB边上,使ADDEEB,则 EDB等于( ) A.22.5 B.25 C.30 D.37.5 E D C B A 【解析】引入未知数建立方程 【答案

13、】A 【例21】 如图,15A,ABBCCDDEEF,那么FEM等于( ) A.90 B.75 C.70 D.60 M F E D C B A 【解析】略 【答案】B 【例22】 如图,在ABC中,ABAC,ABC,ACB的平分线相交于点F,过F作DEBC ,交AB 于点D,交AC于E图中是等腰三角形有 F E CB A D 【解析】略 【答案】ADE,BDF,EFC,BFC,ABC等腰三角形 【例23】 已知ABC中,90A,67.5B.请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请 你利用下面给出的备用图,画出两种 不同的分割方法.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出 相等两角的度

14、数). CB A CB A 【解析】 45 45 22.522.5 A BC 22.5 22.5 67.5 67.5 CB A 【答案】见解析 【例24】 已知:如图,ABC中,ABAC,36A 仿照图 1,请你再设计两种不同的分法,将ABC分割成3个三角形,使得每个三角形都是等腰 三角形,作图工具不限,不要求写出画法;要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数 108 72 36 36 3672 36 36 108 【解析】略 【答案】解: 108 108 108 108 72 72 72 72 72 72 72 72 7272 36 36 36 36 36 36 3636 36 36

15、36 36 36 【例25】 在正方形ABCD所在平面上找一点P,使APB是等腰直角三角形,这样的点P你能发现几个? 请作出这些点 D CB A 【解析】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整答案. (P6) (P5) P4 P3 P2 BC P1 DA 【答案】如图所示的 6 个点 1 P、 2 P、 3 P、 4 P、 6 P. 【例26】 等边三角形除一般的等腰三角形的性质外,它的特有性质主要有: (1)边的性质:_; (2)角的性质:_; (3)对称性:等边三角形是_图形,它有_ 对称轴 【解析】略 【答案】三边相等;三个角都是60 【例27】 含 30 角的直角三角形的一个主要性质是_

16、 【解析】略 【答案】30所对的直角边是斜边的一半 【例28】 面积为25 3 2 cm的正三角形的边长是( ) A.15cm B.10 cm C.5 2 cm D.5 cm 【解析】略 【答案】如果正三角形的边长为a,则面积为 2 3 4 a,因此 2 3 25 3 4 a ,解得10a ,选B 【例29】 已知:如图 84,ABC 和BDE 都是等边三角形 (1)求证:ADCE; (2)当 ACCE 时,判断并证明 AB 与 BE 的数量关系 【解析】(1)ABDCBE(2)在CBE中,30所对的直角边为斜边的一半 【答案】(1)略;(2)2ABBE 【例30】 如图,在等边ABC中,点D

17、E,分别在边BCAB,上,BDAE,AD与CE交于点F (1)求证:ADCE;(2)求DFC的度数 F E D CB A 【解析】略 【答案】 (1)证明:ABC是等边三角形, 60BACB,ABAC 又AEBD, AEC(SAS)BDA, ADCE (2)解由(1)AECBDA,得ACEBAD , DFCFACACE60FACBAD 板块六 全等与轴对称 【例31】 如图,在ABC中,ACBC,90ACB,D是AC上一点,AEBD交BD的延长线于E, 且 1 2 AEBD求证:BD是ABC的角平分线 D E C B A F A B C E D 【解析】结论要证明: “BD是ABC的角平分线”

18、 ,而且已知条件中有“ 1 2 AEBD” ,即“2BDAE” 因此可以通过沿BD翻折“AEB”构造“2AE” ,但是,问题在于“BD是ABC的角平分线” 是我们所需要证明的结论,而并非已知条件,所以辅助线的描述方式为: “延长AE、BC交于点 F” 【答案】延长BC、AE交于F点,先证明AFCBDC()SAS,得2AFBDAE,则AEFE,再 证ABEFBE 【例32】 如图,在ABC中,ADBC于D,2BC 求证:ABBDCD DCB A E A BCD 【解析】根据已知条件,可考虑将ACD沿AD折叠,点C落在DB的延长线上的点E,因此将求证的结 论转化为DEBDAB,因此只需证明ABBE

19、即可,辅助线描述如下: 延长DB到点E使得DECD,连接AE,易证AD为线段CE的垂直平分线, ACAB,CE ,2ABCC 2ABCE EBAE ABBE CDDEDBBEDBAB 也可以,延长DB至E,使BEBA,连接AE易证2ABCE ,所以CE ,进而ACE 是等腰三角形,根据等腰三角形的三线合一性质可知CDDEDBBEDBAB 【答案】略 【例33】 小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD中,8AD cm,6AB cm。现有一动点P按下列方 式在矩形内运动:它从A点出发,沿着AB边夹角为45的方向作直线运动,每次碰到矩形的一 边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45的方向作直线运

20、动,并且它一直按照这种方式 不停地运动, 即当P点碰到BC边, 沿着BC边夹角为45的方向作直线运动, 当P点碰到CD边, 再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动,如图 1 所示,问P点第一次与D点重合前与 边相碰几次,P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的: 如图 2,将矩形ABCD沿直线CD折迭,得到矩形 11 ABCD,由轴对称的知识,发现 232 P PP E, 11 PAPE。 请你参考小贝的思路解决下列问题: P点第一次与D点重合前与边相碰 次; P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm; 近一步探究:改变矩形ABCD中AD、A

21、B的长,且满足ADAB,动点P从A点出发,按照 阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。 若P点第一次与B点重合前与边相碰7次,则:AB AD的值为 。 【解析】5; 24 2;解题思路示意图: A B C D E P A1 P1 P2 P3 B1 图 2 图 1 A B C D P P1 P2 P3 【例34】 如图,在ABC中,ABAC,D是ABC外的一点,且60ABD,60ACD 求证:BDDCAB D C B A E D C B A 【解析】本题辅助线的思路隐含在结论“BDDCAB” 以及60ABD中,很容易让人联想到等边 三角形,因此也只

22、需将这个等边三角形补全即可 【答案】延长BD至E,使BEAB,连接,AE CE 60 ,ABEBEAB, ABE为等边三角形 60 ,AEBACDAEABAC ACEAEC , DCEDEC, DCDE, ABBEBDDEBDDC,故原题得证 【例35】 问题:已知ABC中,2BACACB ,点D是ABC内的一点,且ADCD,BDBA。 探究DBC与ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。 当90BAC时,依问题中的条件补全右图。 观察图形,AB与AC的数量关系为 ; 当推出15DAC时,可进一步推出DBC的度数为 ; 可得到DBC

23、与ABC度数的比值为 ; 当90BAC时,请你画出图形,研究DBC与ABC度数的比值 是否与(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。 【解析】 相等;15;1:3。 猜想:DBC与ABC度数的比值与中结论相同。 证明:如图2,作KCABAC ,过B点作BKAC交CK于点K,连结DK。 90BAC 四边形ABKC是等腰梯形, CKAB,DCDA,DCADAC , KCABAC ,3KCD ,KCDBAD, 24 ,KDBD,KDBDBAKC。 BKAC,6ACB , 2KCAACB ,5ACB ,56 ,KCKB, A C B D1 A B C D A2 A1 B1 C1 B2 KDBDKB

24、,60KBD, 6601ACB , 21202 1BACACB , 1(601)(1202 1)2180 ,22 1 , DBC与ABC度数的比值为1:3。 1 如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的 直线折叠,使A落在MN上,落点记为A,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点, 则_A N ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(2n ,且n为整数) ,则 _A N (用含有n的式子表示) N M A ED C B A 【解析】折叠-勾股定理问题,基本思想:引入未知数,通过勾股定理建立方程 【答案】 3 2 、

25、21n n 2 取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下: B NM F E D C B A B D N F A C E B N P E C DA NM D C B A 第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图; 第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B,得Rt AB E, 如图 第三步:沿EB线折叠得折痕EF,如图 利用展开图探究: AEF是什么三角形?证明你的结论 对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由 【解析】略 B A C D K 1 2 3 4 5 6 图 2 课堂检测 【答案】AEF是等边三角形 由平行线分线段定理知PEPA

26、 PAPB,13 又PNAD,23 而2 1290 ,1230 在Rt AB E中,190AEF 60AEF,1260EAF AEF是等边三角形 3 2 1 A B C D E F MN B P 不一定 由 以 上 推 证 可 知 , 当 矩 形 的 长 恰 好 等 于 等 边AEF的 边AF时 , 即 矩 形 的 宽:长 =:AB AFsin603:2时,正好能折出。 如果设矩形的长为a, 宽为b, 可知当 3 2 ba时, 按此法一定能折出等边三角形; 当 3 2 aba 时,按此法无法折出完整的等边三角形 1 已知等边三角形纸片ABC的边长为8,D为AB边上的点,过点D作DGBC交AC于

27、点 GDEBC于点E,过点G作GFBC于点F,把三角形纸片ABC分别沿DGDEGF,按图 1 所示方式折叠,点ABC, ,分别落在点 A , B , C 处若点 A , B , C 在矩形DEFG内或其边上, 且互不重合,此时我们称A B C (即图中阴影部分)为“重叠三角形” 若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中 (图中每个小三角形都是边长为 1 的等边三角形) , 点ABCD, , ,恰好落在网格图中的格点上如图 2 所示,请直接写出此时重叠三角形A B C 的 面积; 实验探究:设AD的长为m,若重叠三角形A B C 存在试用含m的代数式表示重叠三角形 A B C 的面积,并写出m的

28、取值范围(直接写出结果,备用图供实验,探究使用) 课后作业 A G C F B C E B D A 图 1 A G C F B C E B D A 图 2 重叠三角形A B C 的面积为 ; 用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为 ;m的取值范围为 【答案】重叠三角形A B C 的面积为3 用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为 2 3(4)m; m的取值范围为 8 4 3 m 2 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边 形叫做等对边四边形. O E D C B A 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;

29、 如图,在ABC中,点D、E分别在AB、AC上,设CD、BE相交于O,若60A, 1 2 DCBEBCA ,请你写出图中一个与A相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四 边形; 在ABC中 , 如 果A是 不 等 于60的 锐 角 , 点D、E分 别 在AB、AC上 , 且 1 2 D C BE B CA , 探究: 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形, 并证明你的结论. 【解析】略 【答案】解:如:平行四边形、等腰梯形等 答:与A相等的角是BOD(或COE) ,四边形 DBCE 是等对边四边形; 答:此时存在等对边四边形,是四边形DBCE。 证法一:如图,作CGBE于G点,作BFCD交

30、CD延长线于F点。 因为 1 2 DCBEBCA ,BC为公共边, 所以BCFCBG,所以BFCG, 因为BDFABEEBCDCB ,BECABEA 所以BDFBEC , 可证BDFCEG, 所以BDCE 所以四边形DBCE是等边四边形。 A C B 备用图 A C B 备用图 G F A B C D E O F A B C D E O 证法二:如图,以C为顶点作FCBDBC ,CF交BE于F点。 因为 1 2 DCBEBCA ,BC为公共边, 所以BDCCFB, 所以BDCF,BDCCFB , 所以ADCCFE , 因为ADCDCBEBCABE ,FECAABE , 所以ADCFEC , 所以FECCFE , 所以CFCE, 所以BDCE, 所以四边形DBCE是等边四边形。