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著名机构初中数学培优讲义轴对称与等腰三角形.第04讲(B级).学生版

1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称, 理解对应 点所连的线段被对 称轴垂直平分性质; 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形; 掌握简单图形之间的轴对称关系,并 能指出对称轴;掌握基本图 形(等腰三角形、矩形、菱 形、等腰梯形、正多边形、 圆) 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 1 轴对称与等腰三角形性质的综合应用 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称图形的识别轴对称图形的识别 【例1】 如图,它们都是对称图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称. 例题精讲 中考要求 重难点 轴对称与等腰三角形 【巩

2、固】通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律,在空白处的横线上填上恰当的图形 轴对称和折叠轴对称和折叠 【例2】 如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是 【巩固】将一个正方形纸片依次按图 1a,b 的方式对折,然后沿图 c 中的虚线裁剪,成图 d 样式,将纸展 开铺平,所得到的图形是图 2 中的( ) 图 1 图 2 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质 【例3】 如图所示,在ABC 中,BAC=106 ,EF、MN 分别是 AB、AC 的垂直平分线,点 E、M 在 BC 上,则EAM= N M F ECB A 垂直平分线的垂直平分线的

3、判定判定 【例4】 已知:如图,ABC 中,ACB=90 ,D 是 BC 延长线上一点,E 是 AB 上一点,且在 BD 的垂直 平分线 EG 上,DE 交 AC 于 F,求证:E 在 AF 的垂直平分线上 G F E D C B A 垂直平分线的画法垂直平分线的画法 【例5】 已知:如图,ABC及两点M、N。求作:点P,使得PMPN,且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A 版块三、轴对称与线段和差最值问题 单对称轴 【例6】 如图,在等腰Rt ABC 中, 3CACB ,E的BC上一点,满足2BE ,在斜边AB上求作一点 P使得PC PE 长度之和最小。 E P CB

4、 A 双对称轴 【例7】 如图,30AOB, 角内有点P, 且5OP , 在角的两边有两点Q、R(均不同于O点) , 则PQR 的周长的最小值为 O P A B 多对称轴 【例8】 如图, ,当点A与 123 lll、 、连续相撞时,假设入射角等于反射角,求作出点A向点B运动时的最 短路程 l3 l2 l1 B A 【例9】 如图,矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、,求作一击球路线,使P球顺次撞击球桌四边后再撞 击Q球(球撞击桌边的入射角等于反射角) D CB A Q P 平移 【例10】 如图,在a上找到M、N两点,且10MN (以1cm代表 10 个单位) ,M在N的左边,使四边 形ABM

5、N的周长最短。 B A a 【巩固】如图,A B,两村相隔一条河,为使两村之间行程最短,应在河的什么位置架一座桥?(河岸可 看成平行线,桥是垂直于河岸的) l2 l1 B A 【巩固】求在直线l上找一点P,使得直线l为APB的角平分线 B A 版块四 等腰三角形 等腰三角形的边长 【例11】 从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线,与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角 形的( ) A两腰长的和 周长一半 周长 一腰长与底边长的和 【例12】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 9 和 12 两部分,求腰长和底长 【巩固】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和 15

6、 两部分,求腰长和底长 【例13】 已知等腰三角形的周长为 12,腰长为x,求x的取值范围 【巩固】已知等腰三角形的周长为 20,腰长为x,求x的取值范围 求角度 【例14】 ABC的一个内角的大小是 0 40,且 AB ,那么C的外角的大小是( ) A140 B80或100 C 100或140 D 80或140 【巩固】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A20 B120 C20或120 D36 【巩固】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25,则该三角形的一个底角为( ) A32.5 B57.5 C65或57.5 D32.5或57.5 利用利用

7、方程方程求角度求角度 【例15】 如图,在ABC中,ABAC,点D在AC上,且BDBCAD, 求:ABC各角的度数 A B D C 【巩固】 如图, 在ABC中,BC ,D在BC上,50BAD, 在AC上取一点E, 使得ADEAED, 求EDC的度数 A BCD E 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 【例16】 如图(1) ,A B A C ,BD,CD分别平分ABC,ACB问: (1)图中有几个等腰三角形? (2) 过D点作EFBC,如图 (2) ,交AB于E,交AC于F,图中又增加了几个等腰三角形? (3)如图(3) ,若将题中的ABC改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三角形?

8、 线段EF与BE、CF有什么关系? (4)如图(4) ,BD平分ABC,CD平分外角ACGDEBC交AB于E,交AC于F线 段EF与BE、CF有什么关系? (5)如图(5) ,BD、CD为外角CBM、BCN的平分线,DEBC交AB延长线于E,交 AC 延长线于F,线段EF与BE、CF有什么关系? (1) C D B A (5)(4)(3)(2)(1) M D D D DC CC C B BB B A A A 1 2 3 A A BC D E E E E F F FF G M N N 等边三角形等边三角形 【例17】 如图,三角形ABC中,ABBCCA,AECD,AD,BE相交于P,BQ垂直AD

9、于Q, 求证:2BPPQ P Q A BCD E 【例18】 已知, 如图, 延长ABC的各边, 使得BFAC,AE CDAB, 顺次连接DEF, , 得到DEF 为等边三角形 求证:(1)AEFCDE;(2)ABC为等边三角形 F D E C B A 【巩固】如图所示,已知ABC,延长CA、AB、BC到D、E、F,连接DE、EF、FD,使得 AEDBFECDF ,若60ABC,50DFE,求BAC及EDF的度数 A B C D E F 1. 在ABC中,ABAC,BCBDEDEA求A E D CB A 课堂检测 2. 已知BD是等腰ABC一腰上的高,且50ABD,求ABC三个内角的度数 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评: 总结复习 1 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分,则这个等腰三角形的底边的 长为( ) A17cm B5cm C17cm或5cm D无法确定 2 如图所示,ABAC,BDBCAD,求A的度数 D CB A 课后作业