1、2018 年广西贵港市平南县中考数学一模试卷年广西贵港市平南县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）3 的倒数是（ ） A3 B3 C D 2 （3 分）一天时间为 86400 秒，用科学记数法表示这一数字是（ ） A864102 B86.4103 C8.64104 D0.864105 3 （3 分）若一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则这个等腰三角形的周长是为（ ） A8 B10 C8 或 10 D6 或 12 4 （3 分）下列命题中，属于真命题的是（ ） A平分弦
2、的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B同位角相等 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D若 ab，则 5 （3 分）一组数据 5、a、4、3、2 的平均数是 3，则这组数据的方差为（ ） A0 B C2 D10 6 （3 分）若点 M（3，m） 、N（4，n）都在反比例函数 y（k0）图象上，则 m 和 n 的大小关系是（ ） Amn BmN Cmn D不能确定 7 （3 分）如图，O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，点 M 在线段 AB（包括端点 A，B）上 移动，则 OM 的取值范围是（ ） A3OM5 B3OM5 C4OM5 D4OM5 8 （3
3、分）关于 x 的一元二次方程 x2ax+0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 9 （3 分）如图，把一块含有 30角的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的 第 2 页（共 25 页） 一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F，如果150，那么 AFE 的度数为（ ） A10 B20 C30 D40 10（3 分） 在同一坐标系中， 一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2+m 的图象可能是 （ ） A B C D 11 （3 分）如图，由一些完全相同的小正方体
4、搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个 几何体的小正方体的个数至少为（ ） A5 B6 C7 D8 12 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABBD，点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与 端点重合） ，且 AEDF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H给出 如下几个结论： ADEDBF；DAEBDG；若 AF2DF，则 BG6GF；CG 与 BD 一定不垂直；BGE60其中正确的结论个数为（ ） 第 3 页（共 25 页） A5 B4 C3 D2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，满分分，满分 18 分
5、）分） 13 （3 分）计算：2a（2b） 14 （3 分）分解因式：3a26a+3 15 （3 分）圆锥底面圆的半径为 4cm，其侧面展开图的圆心角 120，则圆锥母线长为 cm 16 （3 分）将抛物线 yx2+1 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度所得的 抛物线解析式为 17 （3 分）如图，ABC 和FPQ 均是等边三角形，点 D、E、F 分别是ABC 三边的中 点，点 P 在 AB 边上，连接 EF、QE若 AB6，PB1，则 QE 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，有一个等腰直
6、角三角形 AOB，OAB90， 直角边 AO 在 x 轴上， 且 AO1 将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三 角形 A1OB1，且 A1O2AO，再将 RtA1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三 角形 A2OB2， 且 A2O2A1O， ， 依此规律， 得到等腰直角三角形 A2018OB2018， 则点 A2018 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （10 分） （1）计算：22+|2sin60|+（）
7、1+0； （2）解方程：1 20 （5 分）如图，在直角三角形 ABC 中， （1）过点 A 作 AB 的垂线与B 的平分线相交于点 D 第 4 页（共 25 页） （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）若A30，AB2，则ABD 的面积为 21 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ynx+2 的图象与反比例函数 y在第 一象限内的图象交于点 A， 与 x 轴交于点 B，线段 OA5， C 为 x 轴正半轴上一点， 且 sin AOC （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积 （3）请直接写出 nx2 的解集 22 （8 分）某校对
8、九年级（1）班全体学生进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格 和不合格四个等级，根据测试成绩绘制的不完整统计图表如下： 九年级（1）班体育成绩频数分布表： 等级 分值 频数 优秀 90100 分 良好 7589 分 13 合格 6074 分 不合格 059 分 9 根据统计图表给出的信息，解答下列问题： （1）九年级（1）班共有多少名学生？ （2）体育成绩为优秀的频数是 ，合格的频数为 ； （3） 若对该班体育成绩达到优秀程度的 3 个男生和 2 个女生中随机抽取 2 人参加学校体 育竞赛，恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率是 &n
9、bsp; 第 5 页（共 25 页） 23 （8 分）某海尔专卖店春节期间，销售 10 台型号洗衣机和 20 台型号洗衣机的利润 为 4000 元，销售 20 台型号洗衣机和 10 台型号洗衣机的利润为 3500 元 （1）求每台型号洗衣机和型号洗衣机的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的洗衣机共 100 台，其中型号洗衣机的进货量不超 过型号洗衣机的进货量的 2 倍，问当购进型号洗衣机多少台时，销售这 100 台洗衣 机的利润最大？最大利润是多少？ 24 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 E 为ABC 内切圆的圆心，连接 AE 的延长 线交 BC 于点 F，交O 于点 D
10、；连接 BD，过点 D 作直线 DM，使BDMDAC （1）求证：直线 DM 是O 的切线； （2）若 DF2，且 AF4，求 BD 和 DE 的长 25 （11 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3 过等腰 RtBOC 的两顶点 B、C，且与 x 轴交 于点 A（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与直线 BC 相交于点 M，点 N 为 x 轴上一点，当以 M，N，B 为顶 点的三角形与ABC 相似时，求 BN 的长度； （3）P 为线段 BC 上方的抛物线上的一个动点，P 到直线 BC 的距离是否存在最大值？ 若存在，请求出这个最大值的大小以及此时点 P 的坐标；若
11、不存在，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 26 （10 分）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F， 连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）请问 EG 与 CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由） 第 7 页（共
12、 25 页） 2018 年广西贵港市平南县中考数学一模试卷年广西贵港市平南县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）3 的倒数是（ ） A3 B3 C D 【解答】解：3 的倒数是 故选：C 2 （3 分）一天时间为 86400 秒，用科学记数法表示这一数字是（ ） A864102 B86.4103 C8.64104 D0.864105 【解答】解：864008.64104 故选：C 3 （3 分）若一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则这个等腰三
13、角形的周长是为（ ） A8 B10 C8 或 10 D6 或 12 【解答】解：当 2 为底时，其它两边都为 4，2、4、4 可以构成三角形，周长为 10； 当 2 为腰时，其它两边为 2 和 4，因为 2+24，所以不能构成三角形，故舍去 答案只有 10 故选：B 4 （3 分）下列命题中，属于真命题的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B同位角相等 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D若 ab，则 【解答】解：A、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当所平分的弦是直 径时不满足，错误； B、两直线平行，同位角相等
14、，错误； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误； D、若 ab，则，正确； 第 8 页（共 25 页） 故选：D 5 （3 分）一组数据 5、a、4、3、2 的平均数是 3，则这组数据的方差为（ ） A0 B C2 D10 【解答】解：根据题意得： a35（5+4+3+2）1， 方差（53）2+（43）2+（33）2+（23）2+（13）22 故选：C 6 （3 分）若点 M（3，m） 、N（4，n）都在反比例函数 y（k0）图象上，则 m 和 n 的大小关系是（ ） Amn BmN Cmn D不能确定 【解答】解：k20（k0） ， 反比例函数 y（k0）图象在一、三象限，y 随 x
15、的增大而减小， M（3，m） 、N（4，n）都在反比例函数 y（k0）图象上，且34， mn， 故选：A 7 （3 分）如图，O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，点 M 在线段 AB（包括端点 A，B）上 移动，则 OM 的取值范围是（ ） A3OM5 B3OM5 C4OM5 D4OM5 【解答】解：当 M 与 A 或 B 重合时，达到最大值，即圆的半径 5； 当 OMAB 时，为最小值3 故 OM 的取值范围是：3OM5 故选：A 8 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2ax+0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 第 9 页（共 25 页）
16、 C无实数根 D无法确定 【解答】解：（a）241（a1）2+10， 关于 x 的一元二次方程 x2ax+0 有两个不相等的实数根 故选：A 9 （3 分）如图，把一块含有 30角的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的 一个顶点 C 处，桌面的另一个顶点 F 与三角板斜边相交于点 F，如果150，那么 AFE 的度数为（ ） A10 B20 C30 D40 【解答】解：四边形 CDEF 为矩形， EFDC， AGE150， AGE 为AGF 的外角，且A30， AFEAGEA20 故选：B 10（3 分） 在同一坐标系中， 一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2+m 的图
17、象可能是 （ ） A B C D 【解答】解：A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，n20，错误； B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知，m0，由直线可知，m0，错误； C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0，错误； 第 10 页（共 25 页） D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0，正确， 故选：D 11 （3 分）如图，由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，组成这个 几何体的小正方体的个数至少为（ ） A5 B6 C7 D8 【解答】解
18、：根据几何体的左视图，可得这个几何体共有 3 层， 从俯视图可以可以看出最底层的个数是 4 个， （1）当第一层有 1 个小正方体，第二层有 1 个小正方体时， 组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+1+46（个） ； （2）当第一层有 1 个小正方体，第二层有 2 个小正方体时， 或当第一层有 2 个小正方体，第二层有 1 个小正方体时， 组成这个几何体的小正方体的个数是： 1+2+47（个） ； （3）当第一层有 2 个小正方体，第二层有 2 个小正方体时， 组成这个几何体的小正方体的个数是： 2+2+48（个） 综上，可得组成这个几何体的小正方体的个数至少为 6 个 故选：B 12 （
19、3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ABBD，点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与 端点重合） ，且 AEDF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H给出 如下几个结论： ADEDBF；DAEBDG；若 AF2DF，则 BG6GF；CG 与 BD 一定不垂直；BGE60其中正确的结论个数为（ ） 第 11 页（共 25 页） A5 B4 C3 D2 【解答】解：ABCD 为菱形，ABAD， ABBD，ABD 为等边三角形， ABDF60， 又AEDF，ADBD， AEDDFB， ADEDBF，故本选项正确； ABCD 为菱形，ABAD， ABBD，A
20、BD 为等边三角形， ABDF60， 又AEDF，ADBD， AEDDFB，故本选项错误； 过点 F 作 FPAE 交 DE 于 P 点（如图 2） ， AF2FD， FP：AEDF：DA1：3， AEDF，ABAD， BE2AE， FP：BEFP：2AE1：6， FPAE， PFBE， FG：BGFP：BE1：6， 即 BG6GF，故本选项正确； 当点 E，F 分别是 AB，AD 中点时（如图 3） ， 由（1）知，ABD，BDC 为等边三角形， 点 E，F 分别是 AB，AD 中点， BDEDBG30， 第 12 页（共 25 页） DGBG， 在GDC 与BGC 中， ， GDCBGC，
21、 DCGBCG， CHBD，即 CGBD，故本选项错误； BGEBDG+DBFBDG+GDF60，为定值， 故本选项正确； 综上所述，正确的结论有，共 3 个， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）计算：2a（2b） 4ab 【解答】解：2a（2b）4ab， 故答案为：4ab 14 （3 分）分解因式：3a26a+3 3（a1）2 【解答】解：原式3（a22a+1）3（a1）2 故答案为：3（a1）2 15 （3 分）圆锥底面圆的半径为 4cm，其侧面展开图的圆心角 120，则圆锥母线长为 12 c
22、m 第 13 页（共 25 页） 【解答】解：圆锥的底面周长248， 侧面展开图的弧长为 8， 则圆锥母线长12（cm） ， 故答案为：12 16 （3 分）将抛物线 yx2+1 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度所得的 抛物线解析式为 y（x2）2+4 【解答】解：抛物线 yx2+1 的顶点坐标为（0，1） ，再把点（0，1）向右平移 2 个单 位长度，再向上平移 3 个单位长度所得点的坐标为（2，4） ， 所以平移后抛物线的解析式为 y（x2）2+4 故答案是：y（x2）2+4 17 （3 分）如图，ABC 和FPQ 均是等边三角形，点 D、E、F 分别是ABC 三边的中
23、 点，点 P 在 AB 边上，连接 EF、QE若 AB6，PB1，则 QE 2 【解答】解：连结 FD，如， ABC 为等边三角形， ACAB6，A60， 点 D、E、F 分别是等边ABC 三边的中点，AB6，PB1， ADBDAF3，DPDBPB312，EF 为ABC 的中位线， EFAB，EFAB3，ADF 为等边三角形， FDA60， 1+360， PQF 为等边三角形， 2+360，FPFQ， 12， 在FDP 和FEQ 中 第 14 页（共 25 页） ， FDPFEQ（SAS） ， DPQE， DP2， QE2 故答案为：2 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，有一
24、个等腰直角三角形 AOB，OAB90， 直角边 AO 在 x 轴上， 且 AO1 将 RtAOB 绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三 角形 A1OB1，且 A1O2AO，再将 RtA1OB1绕原点 O 顺时针旋转 90得到等腰直角三 角形 A2OB2， 且 A2O2A1O， ， 依此规律， 得到等腰直角三角形 A2018OB2018， 则点 A2018 的坐标为 （22018，0） 【解答】解：AOB 是等腰直角三角形，OA1， ABOA1， 由题意 A1（0，2） ，A2（22，0） ，A3（0，23） ， 由此可知点 A2018在 x 轴的负半轴上， 点 A2018（22018，0
25、） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分分.解解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （10 分） （1）计算：22+|2sin60|+（） 1+0； 第 15 页（共 25 页） （2）解方程：1 【解答】解： （1）原式4+|2|+2+1 4+3 1+； （2）两边都乘以（x+2） （x2） ，得：16+（x1） （x+2）（x+2） （x2） ， 解得：x18， 检验：x18 时， （x+2） （x2）3200， 所以分式方程的解为 x18 20 （5 分）如图，在直角三角形 ABC 中， （1）过点 A
26、作 AB 的垂线与B 的平分线相交于点 D （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ； （2）若A30，AB2，则ABD 的面积为 【解答】解： （1）如图，点 D 为所作； （2）CAB30， ABC60， BD 为角平分线， ABD30， DAAB， DAB90， 在 RtABD 中，ADAB， ABD 的面积2 第 16 页（共 25 页） 故答案为 21 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ynx+2 的图象与反比例函数 y在第 一象限内的图象交于点 A， 与 x 轴交于点 B，线段 OA5， C 为 x 轴正半轴上一点， 且 sin AOC （1）求一次函数和反比例函数
27、的解析式； （2）求AOB 的面积 （3）请直接写出 nx2 的解集 【解答】解： （1）过 A 点作 ADx 轴于点 D， sinAOC，OA5， AD4， 在 RtAOD 中，由勾股定理得：DO3， 点 A 在第一象限， 点 A 的坐标为（3，4） ， 将 A 的坐标为（3，4）代入 y，得 m3412， 该反比例函数的解析式为 y， 将 A 的坐标为（3，4）代入 ynx+2 得：n， 一次函数的解析式是 yx+2； （2）在 yx+2 中，令 y0，则 x3， 点 B 的坐标是（3，0） ， OB3，又 AD4， 第 17 页（共 25 页） SAOBOBAD346， AOB 的面积为
28、 6； （3）依题意，得，解得或， 所以 A（3，4） ，B（6，2） ， 根据图示知，当 x6 或 0x3 时，nx2 故 nx2 的解集是：x6 或 0x3 22 （8 分）某校对九年级（1）班全体学生进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格 和不合格四个等级，根据测试成绩绘制的不完整统计图表如下： 九年级（1）班体育成绩频数分布表： 等级 分值 频数 优秀 90100 分 良好 7589 分 13 合格 6074 分 不合格 059 分 9 根据统计图表给出的信息，解答下列问题： （1）九年级（1）班共有多少名学生？ （2）体育成绩为优秀的频数是 2 ，合格的频
29、数为 26 ； （3） 若对该班体育成绩达到优秀程度的 3 个男生和 2 个女生中随机抽取 2 人参加学校体 育竞赛，恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率是 第 18 页（共 25 页） 【解答】解： （1）1326%50， 所以九年级（1）班共有 50 名学生； （2）5052%26，即合格的频数为 26， 所以优秀的频数为 50139262； （3）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的结果数为 12， 所以恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率 故答案为 2，26； 23 （8 分）某海尔专卖店春节期间，销售 10 台型号洗衣机和 20
30、 台型号洗衣机的利润 为 4000 元，销售 20 台型号洗衣机和 10 台型号洗衣机的利润为 3500 元 （1）求每台型号洗衣机和型号洗衣机的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的洗衣机共 100 台，其中型号洗衣机的进货量不超 过型号洗衣机的进货量的 2 倍，问当购进型号洗衣机多少台时，销售这 100 台洗衣 机的利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设每台 I 型电脑销售利润为 x 元，每台 II 型电脑的销售利润为 y 元， 根据题意得， 解得 第 19 页（共 25 页） 答：每台 I 型电脑销售利润为 100 元，每台 II 型电脑的销售利润为 150 元； （
31、2）设购进 I 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 w 元， 据题意得，w100x+150（100x） ， 即 w50x+15000， 100x2x， 解得 x33， w50x+15000， w 随 x 的增大而减小， x 为正整数， 当 x34 时，w 取最大值， 最大利润 w5034+1500013300， 则 100x66， 即商店购进 34 台 I 型电脑的销售利润最大，最大利润为 13300 元 24 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 E 为ABC 内切圆的圆心，连接 AE 的延长 线交 BC 于点 F，交O 于点 D；连接 BD，过点 D 作直线 DM，使B
32、DMDAC （1）求证：直线 DM 是O 的切线； （2）若 DF2，且 AF4，求 BD 和 DE 的长 【解答】 （1）证明：如图所示，连接 OD， 点 E 是ABC 的内心， 第 20 页（共 25 页） BADCAD， ， ODBC， 又BDMDAC，DACDBC， BDMDBC， BCDM， ODDM， 又OD 为O 半径， 直线 DM 是O 的切线； （2）， DBFDAB， 又BDFADB（公共角） ， DBFDAB， ，即 DB2DFDA， DF2，AF4， DADF+AF6 DB2DFDA12 DBDE2 25 （11 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+3 过等腰 RtB
33、OC 的两顶点 B、C，且与 x 轴交 于点 A（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与直线 BC 相交于点 M，点 N 为 x 轴上一点，当以 M，N，B 为顶 点的三角形与ABC 相似时，求 BN 的长度； （3）P 为线段 BC 上方的抛物线上的一个动点，P 到直线 BC 的距离是否存在最大值？ 若存在，请求出这个最大值的大小以及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 21 页（共 25 页） 【解答】解： （1）令 x0，则 y3， C（0，3） ， OC3， 又RtBOC 是等腰直角三角形， B（3，0） ， 将 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+
34、bx+3 得， 解得， yx2+2x+3 （2）抛物线的对称轴为直线 x1， 由 B（3，0） ，C（0，3） ，得直线 BC 解析式为：yx+3； 对称轴 x1 与直线 BC：yx+3 相交于点 M， M 为（1，2） ； 可设 BN 的长为未知数 设 N（t，0） ， 当MNBACB 时， ，即，解得 t0， 当MNBCAB 时， ，解得 t， 所以 BN 的长为 3 或 （3）设经过 P 与直线 BC 平行的直线解析式为 yx+n， 第 22 页（共 25 页） 联立得， x+nx2+2x+3， x23x+n30， 94（n3）0， 解得 n， P到直线BC的距离存在最大值时， 经过P与
35、直线BC平行的直线解析式为yx+， 则 x23x+0， 解得 x， y+， 点 P 的坐标为（，） ， 则经过点 P 与直线 BC 垂直的直线解析式为 yx+t， 则+t， 解得 t， 故经过点 P 与直线 BC 垂直的直线解析式为 yx+， 联立可得， 解得， 则 P 到直线 BC 的距离最大值为 26 （10 分）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F， 连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG （1）请问 EG 与 CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论； （2）将图中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所
36、示，取 DF 中点 G，连接 EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1） 第 23 页（共 25 页） 中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由） 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， DCF90， 在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CGFD， 同理，在 RtDEF 中， EGFD， CGEG （2） （1）中结论仍然成立，即 EGCG 证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点 在DAG 与DC
37、G 中， ADCD，ADGCDG，DGDG， DAGDCG（SAS） ， AGCG； 在DMG 与FNG 中， DGMFGN，FGDG，MDGNFG， DMGFNG（ASA） ， MGNG； EAMAENAMN90， 四边形 AENM 是矩形， 在矩形 AENM 中，AMEN， 在AMG 与ENG 中， AMEN，AMGENG，MGNG， 第 24 页（共 25 页） AMGENG（SAS） ， AGEG， EGCG 证法二：延长 CG 至 M，使 MGCG， 连接 MF，ME，EC， 在DCG 与FMG 中， FGDG，MGFCGD，MGCG， DCGFMG MFCD，FMGDCG， MFC
38、DAB， EFMF 在 RtMFE 与 RtCBE 中， MFCB，MFEEBC，EFBE， MFECBE MEFCEB MECMEF+FECCEB+CEF90， MEC 为直角三角形 MGCG， EGMC， EGCG （3） （1）中的结论仍然成立理由如下： 过 F 作 CD 的平行线并延长 CG 交于 M 点，连接 EM、EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N 由于 G 为 FD 中点，易证CDGMFG，得到 CDFM， 又因为 BEEF，易证EFMEBC，则EFMEBC，FEMBEC，EMEC FEC+BEC90，FEC+FEM90，即MEC90， MEC 是等腰直角三角形， G 为 CM 中点， EGCG，EGCG 第 25 页（共 25 页）