1、2018 年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ） A1 B0 C1 D3 2 （3 分）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有 65 个国家加入，共涉及总人口 约达 46 亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ） A4.6109 B46108 C0.461010 D4.61010 3 （3 分）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后， “你”字对面的字是 （ ） A中 B考 C顺 D利 4 （3 分）
2、不等式 x+12 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 5 （3 分）如图，BDAC，BE 平分ABD，交 AC 于点 E若A50，则1 的度数为 （ ） A65 B60 C55 D50 6 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，分别以点 A、C 为圆心，AD、CB 为 半径画弧，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ） 第 2 页（共 24 页） A42 B8 C82 D84 7 （3 分）AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 C；连接 BC，若P40， 则B 等于（ ） A20 B25 C30 D40 8 （3
3、分）如图，P（m，m）是反比例函数 y在第一象限内的图象上一点，以 P 为顶点 作等边PAB，使 AB 落在 x 轴上，则POB 的面积为（ ） A B3 C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题，每 3 分，共分，共 16 分）分） 9 （3 分）计算|2|30 10 （3 分）分解因式：x2yy 11 （3 分）在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N；若 AM1，MB2，BC 3，则 MN 的长为 12 （3 分）如图，扇形纸扇完全打开后，BAC120，ABAC30 厘米，则的长为 厘米 （结果保留 ） 第 3 页（共 24 页） 13 （3 分）我
4、国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤 自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一 个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠 绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 14 （3 分）如图，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AFx 轴，将 正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60当 n2017 时，顶点 A 的坐标为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 10 小题，共小题，共 78 分）
5、分） 15 （6 分）先化简，再求值： （2+x） （2x）+（x1） （x+5） ，其中 16 （6 分）某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续 三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶 中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？ （请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果） 17 （6 分）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃 馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价 1 元促销，降价后 30 元可购买玫瑰的数量 是原来购买玫瑰数量的 1.5 倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ 第 4 页
6、（共 24 页） 18 （7 分）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，且 AEDF，AD，ABDC （1）求证：四边形 BFCE 是平行四边形； （2）若 AD10，DC3，EBD60，则 BE 时，四边形 BFCE 是菱形 19 （7 分）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40cm，与水平面 所形成的夹角OAM 为 75由光源 O 射出的边缘光线 OC，OB 与水平面所形成的夹 角OCA，OBA 分别为 90和 30，求该台灯照亮水平面的宽度 BC（不考虑其他因 素，结果精确到 0.1cm温馨提示：sin750.97，co
7、s750.26，） 20 （7 分）在“宏扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动： “A国 学诵读” 、 “B演讲” 、 “C课本剧” 、 “D书法” ，要求每位同学必须且只能参加其中一 项活动，学校为了了解学生的意愿，随机调查了部分学生，结果统计如下： （1）如图，希望参加活动 C 占 20%，希望参加活动 B 占 15%，则被调查的总人数为 人，扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为 度，根据题中信息补全条形统 计图 （2）学校现有 800 名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动 A 有多少人？ 第 5 页（共 24 页） 21 （8 分） 暑假期间， 小刚
8、一家乘车去离家 380 公里的某景区旅游， 他们离家的距离 y （km） 与汽车行驶时间 x（h）之间的函数图象如图所示 （1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？ （2）求线段 AB 对应的函数解析式； （3）小刚一家出发 2.5 小时时离目的地多远？ 22 （9 分）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想： 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明： 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， 连接 MN
9、， BD， CE， 判断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸： 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面 积的最大值 第 6 页（共 24 页） 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两 点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时 间为 t 秒 （1）求线段 CD 的长； （2）设CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运
10、动过程中是否存在 某一时刻 t，使得 SCPQ：SABC9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 （3）当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？ 24 （12 分）如果一条抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” （1） “抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线 yx2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，OAB 是抛物线 yx2+bx（b0）的“抛物线三角形” ，是否存在以 原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、
11、D 三点的抛物线的表达式；若 不存在，说明理由 第 7 页（共 24 页） 第 8 页（共 24 页） 2018 年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷年吉林省长春市德惠市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）下列四个数中，最小的数是（ ） A1 B0 C1 D3 【解答】解：1013， 最小的数是1， 故选：A 2 （3 分）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有 65 个国家加入，共涉及总人口 约达 46 亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ） A4.61
12、09 B46108 C0.461010 D4.61010 【解答】解：46 亿4600 000 0004.6109， 故选：A 3 （3 分）一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后， “你”字对面的字是 （ ） A中 B考 C顺 D利 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “祝”与“考”是相对面， “你”与“顺”是相对面， “中”与“利”是相对面 故选：C 4 （3 分）不等式 x+12 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 第 9 页（共 24 页） 【解答】解：x+12， x1 故选：A 5 （3 分）如图，BDAC，BE 平分ABD，交
13、 AC 于点 E若A50，则1 的度数为 （ ） A65 B60 C55 D50 【解答】解：BDAC，A50， ABD130， 又BE 平分ABD， 1ABD65， 故选：A 6 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，分别以点 A、C 为圆心，AD、CB 为 半径画弧，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ） A42 B8 C82 D84 【解答】解：矩形 ABCD， ADCB2， S阴影S矩形S半圆242282， 故选：C 7 （3 分）AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，PO 交O 于点 C；连接 BC，若P40， 则B 等于（ ） 第
14、10 页（共 24 页） A20 B25 C30 D40 【解答】解：PA 切O 于点 A， PAB90， P40， POA904050， OCOB， BBCO25， 故选：B 8 （3 分）如图，P（m，m）是反比例函数 y在第一象限内的图象上一点，以 P 为顶点 作等边PAB，使 AB 落在 x 轴上，则POB 的面积为（ ） A B3 C D 【解答】解：作 PDOB， P（m，m）是反比例函数 y在第一象限内的图象上一点， m，解得：m3， 第 11 页（共 24 页） PD3， ABP 是等边三角形， BDPD， SPOBOBPD（OD+BD） PD， 故选：D 二、填空题（本题共二
15、、填空题（本题共 6 小题，每小题，每 3 分，共分，共 16 分）分） 9 （3 分）计算|2|30 1 【解答】解：原式21 1 故答案为：1 10 （3 分）分解因式：x2yy y（x+1） （x1） 【解答】解：x2yy， y（x21） ， y（x+1） （x1） ， 故答案为：y（x+1） （x1） 11 （3 分）在ABC 中，MNBC 分别交 AB，AC 于点 M，N；若 AM1，MB2，BC 3，则 MN 的长为 1 【解答】解：MNBC， AMNABC， ，即， MN1， 故答案为：1 12 （3 分）如图，扇形纸扇完全打开后，BAC120，ABAC30 厘米，则的长为 20
16、 厘米 （结果保留 ） 第 12 页（共 24 页） 【解答】解：的长20（厘米） 故答案为：20 13 （3 分）我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤 自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一 个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠 绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺， 另一条直角边长 5315（尺） ， 因此葛藤长为25（尺） 故答案为：25 14 （3 分）如图，边长为
17、 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AFx 轴，将 正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60当 n2017 时，顶点 A 的坐标为 （2，2） 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：2017603603361，即与正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋 转 1 次时点 A 的坐标是一样的 当点 A 按顺时针旋转 60时，与原 F 点重合 连接 OF，过点 F 作 FHx 轴，垂足为 H； 由已知 EF4，FOE60（正六边形的性质） ， OEF 是等边三角形， OFEF4， F（2，2） ，即旋转 2017 后点 A 的坐标是（2
18、，2） ， 故答案是： （2，2） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值： （2+x） （2x）+（x1） （x+5） ，其中 【解答】解：原式4x2+x2+4x54x1 当时，原式5 16 （6 分）某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续 三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶 中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？ （请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果） 【解答】解：画树状图为： 第 14 页（共 24 页） 共有 8 种等可能的结果数，其
19、中至少有两瓶为红枣口味的结果数为 4， 所以该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率 17 （6 分）在“母亲节”前期，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃 馨比玫瑰销售量大，店主决定将玫瑰每枝降价 1 元促销，降价后 30 元可购买玫瑰的数量 是原来购买玫瑰数量的 1.5 倍，求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？ 【解答】解：设降价后每枝玫瑰的售价是 x 元，则降价前每枝玫瑰的售价是（x+1）元， 根据题意得：1.5， 解得：x2， 经检验，x2 是原分式方程的解，且符合题意 答：降价后每枝玫瑰的售价是 2 元 18 （7 分）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点
20、 E，F 分别在直线 AD 的两侧，且 AEDF，AD，ABDC （1）求证：四边形 BFCE 是平行四边形； （2）若 AD10，DC3，EBD60，则 BE 4 时，四边形 BFCE 是菱形 【解答】 （1）证明：ABDC， ACDB， 在AEC 和DFB 中 ， AECDFB（SAS） ， 第 15 页（共 24 页） BFEC，ACEDBF ECBF， 四边形 BFCE 是平行四边形； （2）当四边形 BFCE 是菱形时，BECE， AD10，DC3，ABCD3， BC10334， EBD60， BEBC4， 当 BE4 时，四边形 BFCE 是菱形， 故答案为：4 19 （7 分）如
21、图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40cm，与水平面 所形成的夹角OAM 为 75由光源 O 射出的边缘光线 OC，OB 与水平面所形成的夹 角OCA，OBA 分别为 90和 30，求该台灯照亮水平面的宽度 BC（不考虑其他因 素，结果精确到 0.1cm温馨提示：sin750.97，cos750.26，） 【解答】解：在直角三角形 ACO 中，sin750.97， 解得 OC38.8， 在直角三角形 BCO 中，tan30， 解得 BC67.3 答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3cm 20 （7 分）在“宏扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四
22、项活动： “A国 学诵读” 、 “B演讲” 、 “C课本剧” 、 “D书法” ，要求每位同学必须且只能参加其中一 项活动，学校为了了解学生的意愿，随机调查了部分学生，结果统计如下： （1）如图，希望参加活动 C 占 20%，希望参加活动 B 占 15%，则被调查的总人数为 60 第 16 页（共 24 页） 人，扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为 72 度，根据题中信息补全条形统 计图 （2）学校现有 800 名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动 A 有多少人？ 【解答】解： （1）由题意可得， 被调查的总人数是：1220%60，希望参加活动 B 的人数为：6015%9，
23、希望参加 活动 D 的人数为：602791212， 扇形统计图中，希望参加活动 D 所占圆心角为：360（115%20%）360 20%72， 故答案为：60，72， 补全的条形统计图如右图所示； （2）由题意可得， 800360， 答：全校学生希望参加活动 A 有 360 人 21 （8 分） 暑假期间， 小刚一家乘车去离家 380 公里的某景区旅游， 他们离家的距离 y （km） 第 17 页（共 24 页） 与汽车行驶时间 x（h）之间的函数图象如图所示 （1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？ （2）求线段 AB 对应的函数解析式； （3）小刚一家出发 2.5 小时时离目的地多远？
24、 【解答】解： （1）从小刚家到该景区乘车一共用了 4h 时间； （2）设 AB 段图象的函数表达式为 ykx+b A（1，80） ，B（3，320）在 AB 上， ， 解得 y120x40（1x3） ； （3）当 x2.5 时，y1202.540260， 380260120（km） 故小刚一家出发 2.5 小时时离目的地 120km 22 （9 分）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， ADAE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想： 图 1 中， 线段 PM 与 PN 的数量关系是 PMPN ， 位置
25、关系是 PMPN ； （2）探究证明： 把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， 连接 MN， BD， CE， 判断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸： 把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面 积的最大值 第 18 页（共 24 页） 【解答】解： （1）点 P，N 是 BC，CD 的中点， PNBD，PNBD， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， PMCE，PMCE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， PNBD， DPNADC， PMCE， DPMDCA， BAC90， ADC+ACD90， MPNDPM+DPND
26、CA+ADC90， PMPN， 故答案为：PMPN，PMPN； （2）PMN 是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ABDACE（SAS） ， ABDACE，BDCE， 利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE， PMPN， 第 19 页（共 24 页） PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PMCE， DPMDCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNCDBC， DPNDCB+PNCDCB+DBC， MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBC BCE+DBCACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBCACB+ABC， BAC90， ACB+ABC90， MP
27、N90， PMN 是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形， MN 最大时，PMN 的面积最大， DEBC 且 DE 在顶点 A 上面， MN 最大AM+AN， 连接 AM，AN， 在ADE 中，ADAE4，DAE90， AM2， 在 RtABC 中，ABAC10，AN5， MN最大2+57， SPMN最大PM2MN2（7）2 方法 2：由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，PMPNBD， PM 最大时，PMN 面积最大， 点 D 在 BA 的延长线上， BDAB+AD14， PM7， 第 20 页（共 24 页） SPMN最大PM272 23
28、（10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC8，BC6，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两 点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时 间为 t 秒 （1）求线段 CD 的长； （2）设CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在 某一时刻 t，使得 SCPQ：SABC9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 （3）当 t 为何值时，CPQ 为等腰三角形？ 【解答】解： （1）如图 1， ACB9
29、0，AC8，BC6， AB10 CDAB， SABCBCACABCD CD4.8 线段 CD 的长为 4.8 （2）过点 P 作 PHAC，垂足为 H，如图 2 所示 由题可知 DPt，CQt 第 21 页（共 24 页） 则 CP4.8t ACBCDB90， HCP90DCBB PHAC， CHP90 CHPACB CHPBCA PHt SCPQCQPHt（t）t2+t 存在某一时刻 t，使得 SCPQ：SABC9：100 SABC6824， 且 SCPQ：SABC9：100， （t2+t） ：249：100 整理得：5t224t+270 即（5t9） （t3）0 解得：t或 t3 0t4.
30、8， 当 t秒或 t3 秒时，SCPQ：SABC9：100 （3）若 CQCP，如图 1， 则 t4.8t 解得：t2.4 若 PQPC，如图 2 所示 PQPC，PHQC， QHCHQC CHPBCA 第 22 页（共 24 页） 解得：t 若 QCQP， 过点 Q 作 QECP，垂足为 E，如图 3 所示 同理可得：t 综上所述：当 t 为 2.4 秒或秒或秒时，CPQ 为等腰三角形 24 （12 分）如果一条抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” 第 23 页（共 24 页） （1） “抛物
31、线三角形”一定是 等腰 三角形； （2）若抛物线 yx2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，OAB 是抛物线 yx2+bx（b0）的“抛物线三角形” ，是否存在以 原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若 不存在，说明理由 【解答】解： （1）如图； 根据抛物线的对称性，抛物线的顶点 A 必在 O、B 的垂直平分线上，所以 OAAB，即： “抛物线三角形”必为等腰三角形 故填：等腰 （2）当抛物线 yx2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点（，） ，满足（b0） 则 b2 （3）存在 如图，作OCD 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形 当 OAOB 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 又AOAB， OAB 为等边三角形 AOB60， 作 AEOB，垂足为 E， AEOEtanAOB 第 24 页（共 24 页） （b0） b2 A（，3） ，B（2，0） C（） ，D（2，0） 设过点 O、C、D 的抛物线为 ymx2+nx，则 ， 解得 故所求抛物线的表达式为 yx2+2x