1、2019 年江苏省镇江市丹阳市吕城片中考数学一模试卷年江苏省镇江市丹阳市吕城片中考数学一模试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分）分） 1 （2 分）5 的倒数是 2 （2 分）计算： 3 （2 分）分解因式：a34a 4 （2 分）使分式有意义的 x 的取值范围是 5 （2 分）已知一组数据3，x，2，3，1，6 的众数为 3，则这组数据的中位数为 6 （2 分）已知二次函数 yx22x+m 的图象顶点在 x 轴下方，则 m 的取值范围是 &n
2、bsp; 7 （2 分）圆锥底面圆的半径为 1，侧面积等于 3，则它的母线长为 8 （2 分） 如图 A， D 是O 上两点， BC 是直径 若D35， 则OAB 的度数是 9 （2 分）已知点 A（1，y1） ，B（m，y2）在二次函数 yx24x+1 的图象上，且 y1y2， 则实数 m 的取值范围是 10 （2 分）如图，在ABC 中，ACAB，点 D 在 BC 上，且 BDBA，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E， 点 F 是 AC 的中点， 连结 EF 若四边形 DCFE 和BDE 的面积都为 3， 则ABC
3、的面积为 11 （2 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90，点 B、 D 分别落在点 B，D处，且点 A，B，D在同一直线上，则 tanDAD 12 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B（1，4） ，点 A（7，0） ，点 P 是直线 y 第 2 页（共 29 页） x1 上一点，且ABP45，则点 P 的坐标为 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 13 （3 分）下列四个数中，是无理数的是（ ） A B C D （）2
4、 14 （3 分）如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 15 （3 分）有一张平行四边形纸片 ABCD，已知B75，按如图所示的方法折叠两次， 则BCF 的度数等于（ ） A60 B55 C50 D45 16 （3 分）如图（1） ，在ABC 中，点 P 从点 A 出发向点 C 运动，在运动过程中，设 x 表 示线段 AP 的长，y 表示线段 BP 的长，y 与 x 之间的关系如图（2）所示，则边 BC 的长 是（ ） 第 3 页（共 29 页） A B C D6 17 （3 分）如图，已知C 的半径为 3，圆外一点 O 满足 OC5，点 P 为C
5、 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OAOB，APB90，l 不经过点 C，则 AB 的 最小值（ ） A2 B4 C5 D6 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 11 小题，共小题，共 81 分）分） 18 （8 分） （1）计算 （2）化简： （a2） （a+3）（a1）2 19 （10 分） （1）解方程： （2）解不等式组： 20 （6 分）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了 396 元钱购买甲、乙两 种奖品共 30 件其中甲种奖品每件 15 元，乙种奖品每件 12 元，求甲、乙两种奖品各买 多少件？ 21 （6 分）九年级（1）班和（2）班
6、分别有一男一女共 4 名学生报名参加学校文艺汇演主 持人的选拔 （1）若从报名的 4 名学生中随机选 1 名，则所选的这名学生是女生的概率是 （2）若从报名的 4 名学生中随机选 2 名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出 这 2 名学生来自同一个班级的概率 22 （5 分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次八年级 350 名学生参加的“汉字 听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的 成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整 的统计图表： 成绩 x/分 频数 频率 第 4 页（共 29 页）
7、50x60 2 0.04 60x70 6 0.12 70x80 9 b 80x90 a 0.36 90x100 15 0.30 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a ，b ； （2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； （4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该年级参加这次比赛的 350 名 学生中成绩“优”等的约有多少人？ 23 （6 分）如图，已知 RtABD 中，A90，将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC， 使 BCAD，过点 C 作 CEBD 于点 E （1）求证：ABDECB
8、； （2）若ABD30，BE3，求弧 CD 的长 24 （6 分）如图，小山坡上有一根垂直于地面的电线杆 CD，小明从地面上的 A 处测得电线 杆顶端 C 点的仰角是 45， 后他正对电线杆向前走 6 米到达 B 处， 测得电线杆顶端 C 点 和电线杆底端 D 点的仰角分别是 60和 30求电线杆 CD 的高度（结果保留根号） 第 5 页（共 29 页） 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0，k 是常数）的图象经过 A（2， 6） ，B（m，n） ，其中 m2过点 A 作 x 轴垂线，垂足为 C，过点 B 作 y 轴垂线，垂足 为 D，AC 与 BD 交于点 E，连结 AD
9、，DC，CB （1）若ABD 的面积为 3，求 k 的值和直线 AB 的解析式； （2）求证：； （3）若 ADBC，求点 B 的坐标 26 （8 分）如图，A，B，C 三点在O 上，直径 BD 平分ABC，过点 D 作 DEAB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EFDE （1）求证：DF 是O 的切线； （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD4，DE5，求 DM 的长 27 （8 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与 A、C 重合） ， 连接 PB，过点 P 作 PEPB，交射线 DC 于点 E，已知 AD3，sin设
10、 AP 的 第 6 页（共 29 页） 长为 x （1）AB ；当 x1 时， ； （2）试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 连接 BE，设PBE 的面积为 S，求 S 的最小值 28 （10 分）如图 1，抛物线 yax2+（a+2）x+2（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴 交于点 B，在 x 轴上有一动点 P（m，0） （0m4） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于 点 N，交抛物线于点 M （1）求 a 的值； （2）若 PN：MN1：3，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）的条件下，设动点 P 对应的位
11、置是 P1，将线段 OP1绕点 O 逆时针 旋转得到 OP2，旋转角为 （090） ，连接 AP2、BP2，求 AP2+BP2的最小值 第 7 页（共 29 页） 2019 年江苏省镇江市丹阳市吕城片中考数学一模试卷年江苏省镇江市丹阳市吕城片中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分）分） 1 （2 分）5 的倒数是 【分析】根据倒数的定义可直接解答 【解答】解：因为5（）1，所以5 的倒数是 【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是 1，我们就称这两
12、个数 互为倒数 2 （2 分）计算： 1 【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，进而得出答案 【解答】解：原式32 1 故答案为：1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 3 （2 分）分解因式：a34a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 4 （2 分）使分式有意义的 x 的取值范围是 x3 【分析】分式有意义的条件是分母不为 0 【解答】解：若分式有意
13、义，则 x+30， 解得：x3 故答案为 x3 【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为 0 时，分式有意义 第 8 页（共 29 页） 5 （2 分）已知一组数据3，x，2，3，1，6 的众数为 3，则这组数据的中位数为 2 【分析】先根据众数定义求出 x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是 中位数 【解答】解：数据3，x，2，3，1，6 的众数为 3， 3 出现的次数是 2 次， x3， 数据重新排列是：3，2、1、3、3、6， 所以中位数是（1+3）22 故答案为：2 【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； 将一组数
14、据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数 6（2 分） 已知二次函数 yx22x+m 的图象顶点在 x 轴下方， 则 m 的取值范围是 m1 【分析】根据题意可知抛物线与 x 轴有两个交点，根据 b24ac0 求解即可 【解答】解：因为抛物线图象顶点在 x 轴下方，且抛物线开口向上，则抛物线与 x 轴有 两个交点， 所以（2）241m0，解得 m1 故答案为 m1 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质以及抛物线与 x 轴交点情况 7 （2 分）圆锥
15、底面圆的半径为 1，侧面积等于 3，则它的母线长为 3 【分析】设它的母线长为 l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥 底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到21l3，然 后解关于 l 的方程即可 【解答】解：设它的母线长为 l， 根据题意得21l3， 解得 l3， 即它的母线长为 3 故答案为 3 第 9 页（共 29 页） 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 8（2 分） 如图 A， D 是O 上两点， BC 是直径 若D35， 则OAB 的度数是 55 【分
16、析】根据圆周角定理可得出AOB 的度数，再由 OAOB，可求出OAB 的度数 【解答】解：D35， AOB70， OAOB， OABOBA55， 故答案为：55 【点评】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 等于这条弧所对的圆心角的一半 9 （2 分）已知点 A（1，y1） ，B（m，y2）在二次函数 yx24x+1 的图象上，且 y1y2， 则实数 m 的取值范围是 1m3 【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据函数的单调性解答 【解答】解：二次函数 yx24x+1 的对称轴为 x2， A（1，y1）的对称点为（3，y1） ， A（1，y1） ，B（
17、m，y2）为其图象上的两点，且 y1y2， 1m3 故答案为：1m3 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征二次函数的对称性和二次函数的性 质是关键 10 （2 分）如图，在ABC 中，ACAB，点 D 在 BC 上，且 BDBA，ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E， 点 F 是 AC 的中点， 连结 EF 若四边形 DCFE 和BDE 的面积都为 3， 则ABC 的面积为 10 第 10 页（共 29 页） 【分析】依据 BDAB，BE 是ABC 的平分线，即可得到 AEDE，进而得出BDE 的 面积与ABE 的面积均为 3，再根据 EF 是ACD 的中位线，即可得出ACD 的
18、面积为 4，即可得到ABC 的面积为 3+3+410 【解答】解：BDAB，BE 是ABC 的平分线， AEDE， BDE 的面积与ABE 的面积均为 3， 又点 F 是 AC 的中点， EF 是ACD 的中位线， 2EFCD，EFDC， AEFADC， SACD4SAEF， 四边形 CDEF 的面积为 3， ACD 的面积为 4， ABC 的面积为 3+3+410 故答案为：10 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，相似三角形 的面积的比等于相似比的平方 11 （2 分）如图，矩形 ABCD 中，AB4，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90，点 B、 D
19、 分别落在点 B， D处， 且点 A， B， D在同一直线上， 则 tanDAD 【分析】直接利用旋转的性质结合相似三角形的判定与性质得出 DB的长进而得出答 案 第 11 页（共 29 页） 【解答】解：由题意可得：ADCD， 故ADBDCB， 则， 设 ADx，则 BCx，DB4x，ABCD4， 故， 解得：x122（不合题意舍去） ，x22+2， 则 DB62， 则 tanDAD 故答案为： 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出 DB的长 是解题关键 12 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，点 B（1，4） ，点 A（7，0） ，点 P 是直
20、线 y x1 上一点，且ABP45，则点 P 的坐标为 （，） 【分析】将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BA，则 A（3，2） ，取 AA 的中点 K （2， 1） ， 直线 BK 与直线 yx2 的交点即为点 P 求出直线 BK 的解析式， 利用方程组确定交点 P 坐标即可 【解答】解：将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BA，则 A（3，2） ， 取 AA的中点 K（2，1） ， 直线 BK 与直线 yx2 的交点即为点 P 第 12 页（共 29 页） 直线 BK 的解析式为 y5x+9， 由，解得， 点 P 坐标为（，） ， 故答案为： （，） 【点评】
21、本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 5 小题，小题，每小题每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 13 （3 分）下列四个数中，是无理数的是（ ） A B C D （）2 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：A2，是有理数； B是分数，属于有理数； C是无理数； D （）23 是有理数； 故选：C
22、【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 14 （3 分）如图是由 6 个大小相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形判 第 13 页（共 29 页） 定则可 【解答】解：从物体上面看，第一层有 3 个正方形，第二层的左边有 1 个正方形 故选：C 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生 易将三种视图混淆而错误地选其它选项 15 （3 分）有一张平行四边形纸
23、片 ABCD，已知B75，按如图所示的方法折叠两次， 则BCF 的度数等于（ ） A60 B55 C50 D45 【分析】 由折叠可得CED90BCE， 即可得到DCE15， 由折叠可得DCF 21530，即可得到BCF60 【解答】解：由折叠可得，CED90BCE， 又DB75， DCE15， 由折叠可得，DCF21530， BCF60， 故选：A 【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换， 它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 16 （3 分）如图（1） ，在ABC 中，点 P 从点 A 出发向点 C 运动，在运动过程
24、中，设 x 表 示线段 AP 的长，y 表示线段 BP 的长，y 与 x 之间的关系如图（2）所示，则边 BC 的长 是（ ） 第 14 页（共 29 页） A B C D6 【分析】由图象可知，BPAC 时，AP5，由勾股定理求出 BP，再求 PC 求 BC 即可 【解答】解：由图象可知，AB3，AC6 如图， 当 x1 时，BPAC RtABP 中， BP2， PC615， RtCBP 中， BC， 故选：B 【点评】本题以动点的函数图象为背景，考查了数形结合思想解答时，注意利用勾股 定理计算相关数据 17 （3 分）如图，已知C 的半径为 3，圆外一点 O 满足 OC5，点
25、P 为C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A、B，且 OAOB，APB90，l 不经过点 C，则 AB 的 最小值（ ） 第 15 页（共 29 页） A2 B4 C5 D6 【分析】连接 OP，PC，OC，根据 OP+PCOC，求出 OP 的最小值，根据直角三角形 的性质得到 AB2OP，计算得到答案 【解答】解：连接 OP，PC，OC， OPOCPC2， 当点 O，P，C 三点共线时，OP 最小，最小值为 2， OAOB，APB90， AB2OP， 当 O，P，C 三点共线时，AB 有最小值为 2OP4， 故选：B 【点评】本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第
26、三边，两边差小于 第三边，得到点 O，P，C 三点共线时，OP 最短是解题的关键 三、简答题（本大题共三、简答题（本大题共 11 小题，共小题，共 81 分）分） 18 （8 分） （1）计算 （2）化简： （a2） （a+3）（a1）2 【分析】 （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减可得； （2）先利用多项式乘多项式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可得 【解答】解： （1）原式+11； （2）原式a2+3a2a6（a22a+1） a2+a6a2+2a1 3a7 第 16 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式
27、的运算法则、 完全平方公式及负整数指数幂、零指数幂、特殊锐角三角函数值 19 （10 分） （1）解方程： （2）解不等式组： 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验 即可得到分式方程的解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可 【解答】解： （1）去分母得：x2x1+2， 解得：x1， 经检验 x1 为原方程的解； （2）分别解不等式，得到， 所以不等式组解集为1x4 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 20 （6 分）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了 396 元钱购买
28、甲、乙两 种奖品共 30 件其中甲种奖品每件 15 元，乙种奖品每件 12 元，求甲、乙两种奖品各买 多少件？ 【分析】 设甲种奖品买了 x 件， 乙种奖品买了 y 件 根据两种奖品共 30 件以及共花了 396 元，即可得出关于 x、y 的二元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设甲种奖品买了 x 件，乙种奖品买了 y 件 根据题意得：， 解得： 答：甲种奖品买了 12 件，乙种奖品买了 18 件 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解 题的关键 21 （6 分）九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共 4 名学生报名参加学校文艺汇演主 持人的选拔
29、（1）若从报名的 4 名学生中随机选 1 名，则所选的这名学生是女生的概率是 第 17 页（共 29 页） （2）若从报名的 4 名学生中随机选 2 名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出 这 2 名学生来自同一个班级的概率 【分析】 （1）根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）所选的学生性别为女生的概率， 故答案为：； （2）画树形图得： 所以共有 12 种等可能的结果，满足要求的有 4 种 这 2 名学生来自同一个班级的概率为 【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求
30、， 使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏 22 （5 分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次八年级 350 名学生参加的“汉字 听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分为了更好地了解本次大赛的 成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整 的统计图表： 成绩 x/分 频数 频率 50x60 2 0.04 60x70 6 0.12 70x80 9 b 80x90 a 0.36 90x100 15 0.30 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a 18 ，b 0.18 ； （2）请补全频数分布直方图； 第 18 页（共 29 页）
31、（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80x90 分数段； （4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该年级参加这次比赛的 350 名 学生中成绩“优”等的约有多少人？ 【分析】 （1）根据第一组的人数是 2，对应的频率是 0.04 即可求得总人数，然后根据频 率的公式即可求得； （2）根据（1）即可补全直方图； （3）根据中位数的定义即可判断； （4）利用总人数乘以对应的频率即可求得 【解答】解： （1）抽取的总人数是 20.0450（人） ， a500.3618，b0.18； 故答案是：18，0.18； （2） ； （3）中位数会落 80x90 段，故答案是：80x90；
32、（4） 该年级参加这次比赛的 350 名学生中成绩 “优” 等的人数约是： 3500.30105 （人） 答：约有 105 人 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图 获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 第 19 页（共 29 页） 23 （6 分）如图，已知 RtABD 中，A90，将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC， 使 BCAD，过点 C 作 CEBD 于点 E （1）求证：ABDECB； （2）若ABD30，BE3，求弧 CD 的长 【分析】 （1）因为这两个三角形是直角三角形，根据旋转
33、的性质得出 BCBD，由 AD BC 推出ADBEBC，从而能证明ABDECB； （2）由全等三角形的性质得出 ADBE3根据 30角所对的直角边等于斜边的一半 得出 BD2AD6，根据平行线的性质求出DBC60，再代入弧长计算公式求解即 可 【解答】 （1）证明：A90，CEBD， ABEC90 BCAD， ADBEBC 将斜边 BD 绕点 B 顺时针方向旋转至 BC， BDBC 在ABD 和ECB 中， ABDECB； （2）ABDECB， ADBE3 A90，BAD30， BD2AD6， BCAD， A+ABC180， 第 20 页（共 29 页） ABC90， DBC60， 弧 CD
34、的长为2 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，弧长的计 算，证明出ABDECB 是解题的关键 24 （6 分）如图，小山坡上有一根垂直于地面的电线杆 CD，小明从地面上的 A 处测得电线 杆顶端 C 点的仰角是 45， 后他正对电线杆向前走 6 米到达 B 处， 测得电线杆顶端 C 点 和电线杆底端 D 点的仰角分别是 60和 30求电线杆 CD 的高度（结果保留根号） 【分析】延长 CD 交 AB 于点 E根据 CEAE，构建方程求出 x 即可 【解答】解：延长 CD 交 AB 于点 E DBE30， 设 DEx，则 BE， CBE60， CE， CBE45则
35、， 解得： CDCEDE2 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会利用参数构 建方程解决问题，属于中考常考题型 第 21 页（共 29 页） 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0，k 是常数）的图象经过 A（2， 6） ，B（m，n） ，其中 m2过点 A 作 x 轴垂线，垂足为 C，过点 B 作 y 轴垂线，垂足 为 D，AC 与 BD 交于点 E，连结 AD，DC，CB （1）若ABD 的面积为 3，求 k 的值和直线 AB 的解析式； （2）求证：； （3）若 ADBC，求点 B 的坐标 【分析】 （1）先求出 k 的值，进而得出 mn12，
36、然后利用三角形的面积公式建立方程， 联立方程组求解即可； （2）先表示出 BE，CE，DE，AE，进而求出 BECE 和 DECE 即可得出结论； （3）利用（2）的结论得出DECBEA，进而得出 ABCD，即可得出四边形 ADCB 是菱形即可得出点 B 的坐标 【解答】解： （1）函数 y（x0，k 是常数）的图象经过 A（2，6） ， k2612， B（m，n） ，其中 m2过点 A 作 x 轴垂线，垂足为 C，过点 B 作 y 轴垂线，垂足为 D， mn12，BDm，AE6n， ABD 的面积为 3， BDAE3， m（6n）3， 联立得，m3，n4， B（3，4） ； 设直
37、线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） ， 第 22 页（共 29 页） 则， ， 直线 AB 的解析式为 y2x+10 （2）A（2，6） ，B（m，n） ， BEm2，CEn，DE2，AE6n， DEAE2（6n）122n， BECEn（m2）mn2n122n， DEAEBECE， （3）由（2）知， AEBDEC90， DECBEA， CDEABE ABCD， ADBC， 四边形 ADCB 是平行四边形 又ACBD， 四边形 ADCB 是菱形， DEBE，CEAE B（4，3） 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质，菱形
38、的判定和性质，解（1）的关键是确定出 k 的值，解（2） 的关键是表示出 DEAE，BECE，解（3）的关键是判断出四边形 ADCB 是菱形 26 （8 分）如图，A，B，C 三点在O 上，直径 BD 平分ABC，过点 D 作 DEAB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EFDE （1）求证：DF 是O 的切线； 第 23 页（共 29 页） （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD4，DE5，求 DM 的长 【分析】 （1）先得出ABDCBD，进而得出 ODDF，即可得出结论； （2）连接 DC，利用全等三角形的判定得出ABDCBD，进而解答即可 【解答】 （
39、1）证明：BD 平分ABC， ABDCBD DEAB， ABDBDE CBDBDE EDEF， EDFEFD EDF+EFD+EDB+EBD180， BDFBDE+EDF90 ODDF OD 是半径， DF 是O 的切线 （2）解：连接 DC， BD 是O 的直径， BADBCD90 第 24 页（共 29 页） ABDCBD，BDBD， ABDCBD CDAD4，ABBC DE5， ，EFDE5 CBDBDE， BEDE5 BFBE+EF10，BCBE+EC8 AB8 DEAB， ABFMEF ME4 DMDEEM1 【点评】主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答 27
40、（8 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与 A、C 重合） ， 连接 PB，过点 P 作 PEPB，交射线 DC 于点 E，已知 AD3，sin设 AP 的 长为 x （1）AB 4 ；当 x1 时， ； （2）试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 连接 BE，设PBE 的面积为 S，求 S 的最小值 【分析】 （1）作 PMAB 于 M 交 CD 于 N根据三角函数和勾股定理求出 AB，求出 PN 和 BM 的长，由BMPPNE，推出，即可得出结果； 第 25 页（共 29 页） （2）为定值证明方法类似（1） ； 利用勾股定理求出
41、 PB2，根据三角形的面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性 质即可解决问题 【解答】解： （1）作 PMAB 于 M 交 CD 于 N如图 1 所示： 四边形 ABCD 是矩形， BCAD3，ABC90， sinBAC， AC5， AB4 在 RtAPM 中，PA1，PM，AM， BMABAM， MNAD3， PNMNPM， PMBPNEBPE90， BPM+EPN90，EPN+PEN90， BPMPEN， BMPPNE， ， 故答案为 4，； （2）结论：的值为定值理由如下： 当点 E 在点 C 左侧时，如图 1 所示： 由 PAx，可得 PMx AMx，BM4x，PN3x， BMPPN
42、E， 第 26 页（共 29 页） 当点 E 在点 C 右侧时，如图 2 所示： 同理得出 综上所述：的值为定值 在 RtPBM 中，PB2BM2+PM2（4x）2+（x）2x2x+16， PEPB， SPBPEPB2（x2x+16）（x）2+， 0x5， x时，S 有最小值 【点评】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定 理、锐角三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形 相似是解决问题的关键 28 （10 分）如图 1，抛物线 yax2+（a+2）x+2（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴 交于点 B，在 x 轴上有一
43、动点 P（m，0） （0m4） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于 点 N，交抛物线于点 M 第 27 页（共 29 页） （1）求 a 的值； （2）若 PN：MN1：3，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1绕点 O 逆时针 旋转得到 OP2，旋转角为 （090） ，连接 AP2、BP2，求 AP2+BP2的最小值 【分析】 （1）把 A 点坐标代入可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值； （2）由OABPAN 可用 m 表示出 PN，且可表示出 PM，由条件可得到关于 m 的方 程，则可求得 m 的值； （
44、3）在 y 轴上取一点 Q，使，可证得P2OBQOP2，则可求得 Q 点坐标， 则可把 AP2+BP2化为 AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当 A、P2、Q 三点在一条线 上时有最小值，则可求得答案 【解答】解： （1）A（4，0）在抛物线上， 016a+4（a+2）+2，解得 a； （2）由（1）可知抛物线解析式为 yx2+x+2，令 x0 可得 y2， OB2， OPm， AP4m， PMx 轴， OABPAN， ，即， PN（4m） ， 第 28 页（共 29 页） M 在抛物线上， PMm2+m+2， PN：MN1：3， PN：PM1：4， m2+m+24（4m） ， 解得 m3
45、 或 m4（舍去） ； （3）在 y 轴上取一点 Q，使，如图， 由（2）可知 P1（3，0） ，且 OB2， ，且P2OBQOP2， P2OBQOP2， ， 当 Q（0，）时 QP2BP2， AP2+BP2AP2+QP2AQ， 当 A、P2、Q 三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值， A（4，0） ，Q（0，） ， AQ，即 AP2+BP2的最小值为 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾 股定理、三角形三边关系等知识在（2）中用 m 分别表示出 PN 和 PM 是解题的关键， 在（3）确定出取得最小值时的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强， 特别是（3）中构造三角形相似，难度较大 第 29 页（共 29 页）