1、2019 年浙江省湖州市长兴县中考数学一模试卷年浙江省湖州市长兴县中考数学一模试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） “莉莉 1 分钟内做了 200 个仰卧起坐”这一事件是（ ） A必然事件 B不确定事件 C不可能事件 D随机事件 2 （3 分）若 2a3b，则下列等式正确的是（ ） A B C Dba 3 （3 分）下列二次函数的图象的顶点在 x 轴上的是（ ） Ayx2+1 Byx2+2x Cyx2+2x+1 Dyx2+2x1 4 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BCa，则 AB 的长是（ ）
2、 A B CasinA DacosA 5 （3 分）下列对如图物体三视图描述正确的是（ ） A左视图和俯视图相同 B主视图和左视图相同 C主视图和俯视图相同 D三视图都相同 6 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 的中点，连结 AG 并延长，交 BC 边的延长 线于点 E，对角线 BD 交 AG 于点 F，已知 AF2，则线段 AE 的长是（ ） A4 B6 C8 D10 7（3 分） 已知圆锥的底面半径为 3， 侧面展开图的圆心角为 180， 则圆锥的母线长是 （ ） 第 2 页（共 25 页） A6 B3 C D9 8 （3 分）如图，AD，AE，
3、BC 分别切O 于点 D，E，F，若ABC 的周长为 24，则 AD 的长是（ ） A24 B16 C12 D10 9 （3 分）已知下列四种变化：向下平移 2 个单位长度；向左平移 2 个单位长度； 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变；纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变若将函 数 yx2+1 图象上的所有点都经过三次变化得到函数 yx2+x 的图象， 则这三次变化的 顺序可以是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，AB 为O 的直径，P 为弦 BC 上的点，ABC30，过点 P 作 PD OP 交O 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AB 的延长线于点 E若点 C 恰好是的中
4、点， BE6，则 PC 的长是（ ） A68 B33 C2 D126 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）计算 2cos60的正确结果为 12 （4 分）在一个不透明的袋中装有只有颜色不同的 10 个球，其中 4 个红球 6 个黑球，从 袋中任意摸出一个球是红球的概率是 13 （4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在圆上，过点 C 作 AB 的垂线交O 于点 D，连 结 AD，若的度数为 50，则ADC 的度数是 第 3 页（共 25 页） 14 （4 分）如图，已
5、知ABCADB，若 AD2，CD2，则 AB 的长为 15 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 网格中（每个网格都是正方形） ，点 A，B，C，D， E，F，G 都在网格线的交点上，若一条抛物线经过点 A，B，C，则 D，E，F，G 四个点 在该抛物线上的是 16 （4 分）如图，P 是ABCD 内一点，连结 P 与ABCD 各顶点，EFGH 各顶点分别在线 段 BP， CP， DP， AP 上， 若 2BE3PE， 且 EFBC， 图中阴影部分的面积为 2， 则ABCD 的面积为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 66
6、 分）分） 17 （6 分）已知抛物线 yx2+bx+1 经过点（3，2） ， （1）求 b 的值； （2）求将抛物线向左平移 3 个单位后的抛物线解析式 18 （6 分）将一副直角三角尺如图放置，A，E，C 在一条直线上，边 AB 与 DE 交于点 F， 已知B60，D45，ADAC，求 DF 的长 第 4 页（共 25 页） 19 （6 分） “学习强国”app 是深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内 容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，手机客户端上主要有阅读 文章、观看视频、专题考试等三种学习方式 （1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰
7、好选中专题考试的概率是多 少？ （2）王老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，用列表或画树状图 表示所有的可能结果，并求他们选中同一种学习方式的概率 20 （8 分）如图，在ABC 中，E 是内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D （1）求证：DBDC； （2）若 ABAC，BAC80，AD3，求的长 21 （8 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC 和 CD 于点 P，Q （1）求证：ABPDQR； （2）求的值 22 （10 分）某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低
8、于进价，且 不高于 60 元，经调查发现每天的销售量 y（个）与每个商品的售价 x（元）满足一次函 数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价 x（元） 30 40 50 第 5 页（共 25 页） 每天销售量 y（个） 100 80 60 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利 润是多少？ 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1， 2） ，且与 x 轴相切于点 B （1）当 x0 时，求P 的半径； （2）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并
9、求出 y 的最小值； （3）在P 运动过程中，是否存在某一位置，使得P 与 x 轴、y 轴都相切？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 M，连结 CM，CB，直线 BM 交 y 轴交于点 D （1）求直线 BM 的解析式； （2）若点 Q 以每秒个单位的速度由点 B 向点 D 直线运动，连结 CQ，以 CQ 为边向 下作CQP，使得QCPMCB，设运动时间为 t， 当 t 为何值时，QC 恰好平分DQP？并说
10、明理由； 当点 Q 从点 B 运动到点 D 时，请直接写出点 P 经过的路径长 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2019 年浙江省湖州市长兴县中考数学一模试卷年浙江省湖州市长兴县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分） “莉莉 1 分钟内做了 200 个仰卧起坐”这一事件是（ ） A必然事件 B不确定事件 C不可能事件 D随机事件 【分析】根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 即可得出答案 【解答】解： “
11、莉莉 1 分钟内做了 200 个仰卧起坐”这一事件是不可能事件， 故选：C 【点评】题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条 件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件 即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 2 （3 分）若 2a3b，则下列等式正确的是（ ） A B C Dba 【分析】直接利用比例的基本性质进而变形得出答案 【解答】解：2a3b， 故选：B 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键 3 （3 分）下列二次函数的图象的顶点在 x 轴上的是（ ） Ayx2+1 Byx2+2x Cyx
12、2+2x+1 Dyx2+2x1 【分析】根据二次函数的性质分别求出各抛物线的顶点坐标，即可求解 【解答】解：A、该函数的顶点是（0，1） ，不在 x 轴上； B、该函数的顶点是（1，1） ，不在 x 轴上； C、该函数的顶点是（1，2） ，不在 x 轴上； D、该函数的顶点是（1，0） ，在 x 轴上； 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数 y 第 8 页（共 25 页） ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，）是解题的关键 4 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BCa，则 AB 的长是（ ） A B CasinA DacosA 【分
13、析】根据正弦的定义解答即可 【解答】解：在 RtABC 中，sinA， AB， 故选：A 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A 的 正弦 5 （3 分）下列对如图物体三视图描述正确的是（ ） A左视图和俯视图相同 B主视图和左视图相同 C主视图和俯视图相同 D三视图都相同 【分析】画出该几何体的三视图，从而得出答案 【解答】解：如图所示： ， 故该几何体的左视图和俯视图相同 故选：A 【点评】本题考查了三视图的知识，正确把握三视图的画法是解题关键 6 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 的中点，连结 AG 并延长，交
14、 BC 边的延长 第 9 页（共 25 页） 线于点 E，对角线 BD 交 AG 于点 F，已知 AF2，则线段 AE 的长是（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角 形的性质可得出2， 结合 AF2 可求出 FG、 AG 的长度， 由 CGAB、 AB2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线， 再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度， 此题得解 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ABCD，ABCD， ABFGDF，BAFDGF， ABFGDF， ， FGAF1， AG3 CGAB，AB2CG，
15、CG 为EAB 的中位线， AE2AG6 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利 用相似三角形的性质求出 FG 的长度是解题的关键 7（3 分） 已知圆锥的底面半径为 3， 侧面展开图的圆心角为 180， 则圆锥的母线长是 （ ） 第 10 页（共 25 页） A6 B3 C D9 【分析】利用圆锥的弧长等于底面周长可得圆锥的母线长 【解答】解：设母线长为 R，由题意得：， 解得：R6， 故选：A 【点评】此题考查圆锥的计算，关键是利用圆锥的弧长等于底面周长可得圆锥的母线长 解答 8 （3 分）如图，AD，AE，BC 分别切O 于点
16、D，E，F，若ABC 的周长为 24，则 AD 的长是（ ） A24 B16 C12 D10 【分析】根据切线长定理，将ABC 的周长转化为切线长求解 【解答】解：据切线长定理有 ADAE，BDBF，CECF； 则ABC 的周长AB+BC+AC AB+BF+CF+AC AB+BD+AC+CE AD+AE 2AD， ABC 的周长为 24， AD12， 故选：C 【点评】本题考查的是切线长定理，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相 等切线长 9 （3 分）已知下列四种变化：向下平移 2 个单位长度；向左平移 2 个单位长度； 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变；纵坐标变为原来的 2 倍
17、，横坐标不变若将函 数 yx2+1 图象上的所有点都经过三次变化得到函数 yx2+x 的图象， 则这三次变化的 第 11 页（共 25 页） 顺序可以是（ ） A B C D 【分析】根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解 【解答】解：为了得到函数 yx2+x 的图象，可以把函数 yx2+1 的横坐标变为原来 的 2 倍，纵坐标不变，得到 y（x）2+1x2+1 的图象，再把 yx2+1 的图象向 下平移 2 个单位长度，得到 yx21 的图象；最后把 yx21 的图象向左平移 2 个单位长度，得到 y（x+2）21，即 yx2+x 的图象 故选：B 【点评】本题考查图形
18、的平移变换和函数解析式之间的关系在平面直角坐标系中，图 形的平移与图形上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减； 纵坐标上移加，下移减平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减” 关键是 要搞清楚平移前后的解析式有什么关系 10 （3 分）如图，AB 为O 的直径，P 为弦 BC 上的点，ABC30，过点 P 作 PD OP 交O 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AB 的延长线于点 E若点 C 恰好是的中点， BE6，则 PC 的长是（ ） A68 B33 C2 D126 【分析】首先求出 CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出 PF 的长，进而得出答案 &nbs
19、p;【解答】解：连接 OD，交 CB 于点 F，连接 BD， ， DBCABC30， 第 12 页（共 25 页） ABD60， OBOD， OBD 是等边三角形， ODFB， OFDF， BFDE， OBBE6 CFFBOBcos3063， 在 RtPOD 中，OFDF， PFDO3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半） ， CPCFPF33 故选：B 【点评】此题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的 性质等知识，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11
20、（4 分）计算 2cos60的正确结果为 1 【分析】将 cos60代入计算可得 【解答】解：2cos6021， 故答案为：1 【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数 值 12 （4 分）在一个不透明的袋中装有只有颜色不同的 10 个球，其中 4 个红球 6 个黑球，从 袋中任意摸出一个球是红球的概率是 【分析】根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可 【解答】解：不透明的袋中装有只有颜色不同的 10 个小球，其中 4 个红色，6 个黑色， 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故答案为： 第 13 页（共 25 页） 【点评】本题考查了概率
21、公式：随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数除 以所有可能出现的结果数 13 （4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在圆上，过点 C 作 AB 的垂线交O 于点 D，连 结 AD，若的度数为 50，则ADC 的度数是 25 【分析】根据垂径定理得出，进而利用圆周角定理解答即可 【解答】解：AB 为O 的直径，点 C 在圆上，过点 C 作 AB 的垂线交O 于点 D， ， 的度数为 50， 的度数为 50， ADC 的度数是 25， 故答案为：25 【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据垂径定理得出， 14 （4 分）如图，已知ABCADB，若 AD2，CD2，则 AB
22、的长为 2 【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题 【解答】解：ABCADB， ， AB2ADAC248， AB0， AB2， 故答案为 2 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考 第 14 页（共 25 页） 题型 15 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 网格中（每个网格都是正方形） ，点 A，B，C，D， E，F，G 都在网格线的交点上，若一条抛物线经过点 A，B，C，则 D，E，F，G 四个点 在该抛物线上的是 D，G 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据二次函数图象上点的坐标特征 对各点进行判断即可 【解答】解：设抛物线的解
23、析式为 yax2+bx+c， 抛物线经过点 A（3，3） ，B（2，3） ，C（1，1） ， ，解得， 抛物线的解析式为 yx2+x， D（1，0） ，E（4，5） ，F（2，1） ，G（3，6） ， 当 x1 时，y0；当 x4 时，y6；当 x2 时，y1；当 x3 时，y6 所以点 D（0，1） ，G（3，6）在抛物线上 故答案为 D，G 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图 象上点的坐标满足其解析式 16 （4 分）如图，P 是ABCD 内一点，连结 P 与ABCD 各顶点，EFGH 各顶点分别在线 段 BP， CP， DP， AP 上
24、， 若 2BE3PE， 且 EFBC， 图中阴影部分的面积为 2， 则ABCD 的面积为 25 第 15 页（共 25 页） 【分析】求出，由平行四边形的性质得出PBC 的面积+PAD 的面积为ABCD 的面积的一半，PEF 的面积+PGH 的面积平行四边形 EFGH 的面积阴影部分 的面积2，由平行线得出PEFPBB，相似比，得出（）2 ， 同理： PGHPAD， 因此PEF 的面积+PGH 的面积（ PBC 的面积+PAD 的面积）2，求出PBC 的面积+PAD 的面积，即可得出 ABCD 的面积 【解答】解：2BE3PE， ， P 是ABCD 内一点，四边形 ABCD 与四边形 EFGH
25、 是平行四边形， PAB的面积+PCD的面积平行四边形ABCD的面积PBC的面积+PAD的 面积， PEF 的面积+PGH 的面积平行四边形 EFGH 的面积阴影部分的面积2， EFBC， PEFPBB，相似比， （）2， 同理：PGHPAD， PEF 的面积+PGH 的面积（PBC 的面积+PAD 的面积）2， PBC 的面积+PAD 的面积2， ABCD 的面积225； 第 16 页（共 25 页） 故答案为：25 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握平行四边 形的性质，求出相似三角形的面积比是解题关键 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题
26、，共 66 分）分） 17 （6 分）已知抛物线 yx2+bx+1 经过点（3，2） ， （1）求 b 的值； （2）求将抛物线向左平移 3 个单位后的抛物线解析式 【分析】 （1）直接把（3，2） ，代入函数解析式得出答案； （2）直接利用二次函数的平移规律进而得出答案 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+1 经过点（3，2） ， 29+3b+1， 解得：b4； （2）yx24x+1（x2）23， 将抛物线向左平移 3 个单位后的抛物线解析式为：y（x+1）23 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键 18 （6 分）将一副直角三角尺如图放置，A，E，
27、C 在一条直线上，边 AB 与 DE 交于点 F， 已知B60，D45，ADAC，求 DF 的长 【分析】在 RtAED 中，求出 DE，在 RtAEF 中，求出 EF 即可解决问题 【解答】解：在 RtADE 中，AD，AEDE，AED90， AEDE， 在 RtAEF 中，EAF30， EFAEtan301， DFDEEF1 【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 第 17 页（共 25 页） 19 （6 分） “学习强国”app 是深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内 容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的
28、学习平台，手机客户端上主要有阅读 文章、观看视频、专题考试等三种学习方式 （1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中专题考试的概率是多 少？ （2）王老师和李老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，用列表或画树状图 表示所有的可能结果，并求他们选中同一种学习方式的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从表格中得出他们选中同一种学习方式的结果数，利用 概率公式求解可得 【解答】解： （1）王老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中专题考试 的概率是； （2）记阅读文章、观看视频、专题考试分别为 A，B，C， 列表如下： A
29、 B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表可知共有 9 种等可能的结果，其中他们选中同一种学习方式的有 3 种情况， 所以他们选中同一种学习方式的概率 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率 20 （8 分）如图，在ABC 中，E 是内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D （1）求证：DBDC； （2）若 ABAC，BAC80，AD3，求的长 第
30、 18 页（共 25 页） 【分析】 （1）由 E 是内心可得BADCAD，所以，即 DBDC； （2）证明 AD 是ABC 的外接圆的直径，设圆心为 O，连接 OB，计算出AOB 和圆的 半径，即可得出的长 【解答】解： （1）E 是内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点 D BADCAD， ， DBDC； （2）ABAC，AD 平分BAC， AD 是ABC 的外接圆的直径， 如图，设圆心为 O，连接 OB， BAC80，OAOB， OBAOABOAC40， AOB100， AD3， 半径为 1.5， 的长为 【点评】本题考查三角形的内心概念，弧长的计算解题的关键是正确理解三角形内心
31、 的概念 21 （8 分）如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC 和 CD 于点 P，Q 第 19 页（共 25 页） （1）求证：ABPDQR； （2）求的值 【分析】 （1）根据平行线的性质可证明两三角形相似； （2）根据平行四边形的性质及三角形中位线定理得：BPPR，则 CPRE，证明 CPQDRQ，可得，由（1）中的相似列比例式可得结论 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， ABCD，ACDE， BACACD，ACDCDE， BACQDR， ABCD， ABPDQR， ABPDQR
32、； （2）四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， ADBC，ADCE， BCCE， CPRE， BPPR， CPRE， 点 R 为 DE 的中点， DRRE， ， CPDR， CPQDRQ， ， 第 20 页（共 25 页） ， 由（1）得：ABPDQR， 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题有难度，注 意掌握数形结合思想的应用 22 （10 分）某商场销售一种商品，进价为每个 20 元，规定每个商品售价不低于进价，且 不高于 60 元，经调查发现每天的销售量 y（个）与每个商品的售价 x（元）满足一次函 数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价
33、 x（元） 30 40 50 每天销售量 y（个） 100 80 60 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利 润是多少？ 【分析】 （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成 顶点式即可得最值情况 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b， 则， 解得， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y2x+160； （2）由题意可得，w（x20） （2x+160）2x2+200x3200， 即 w 与 x 之间的函数表达式是： w2x
34、2+200x3200； 2（x50）2+1800，20x60， 当 20x50 时，w 随 x 的增大而增大； 当 50x60 时，w 随 x 的增大而减小； 当 x50 时，w 取得最大值，此时 w1800 元 第 21 页（共 25 页） 即当商品的售价为 50 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 1800 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析 式及二次函数的性质 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1， 2） ，且与 x 轴相切于点 B （1）当 x0 时，求P 的半径； （2）请
35、直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最小值； （3）在P 运动过程中，是否存在某一位置，使得P 与 x 轴、y 轴都相切？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由P 与 x 轴相切且过点 A（1，2） ，可得出 y0，当 x0 时，利用两点 间的距离公式及半径相等，可得出关于 y 的方程，解之即可得出 y 值，进而可得出P 的半径； （2）利用两点间的距离公式及半径相等，可得出 y 与 x 之间的函数关系式，再利用二次 函数的性质可求出 y 的最小值； （3）由（2）的结论结合 xy，可得出关于 x 的方程，解之可得出 x 的值，进而可求出 点
36、P 的坐标 【解答】解： （1）P 与 x 轴相切，且过点 A（1，2） ， y0 当 x0 时，PBPA，即 y， 等式两边同时平方，得：y21+（2y）2， 整理，得：4y50， 解得：y， 当 x0 时，P 的半径为 （2）由（1） ，得：y2（1x）2+（2y）2， yx2x+ 第 22 页（共 25 页） yx2x+（x1）2+1，0， 当 x1 时，y 取得最小值，最小值为 1 （3）P 与 x 轴、y 轴均相切，且过点 A（1，2） ， xy0 由（2） ，得：xx2x+， 整理，得：x26x+50， 解得：x11，x25， y11，y25， 在P 运动过程中，存在某一位置，使得
37、P 与 x 轴、y 轴都相切，此时点 P 的坐标为 （1，1）或（5，5） 【点评】本题考查了切线的性质、两点间的距离公式、二次函数的性质以及解无理方程， 解题的关键是： （1）利用两点间的距离公式结合半径相等，找出关于 y 的方程； （2）利 用两点间的距离公式及半径相等，找出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）利用两点间的距 离公式及半径相等，找出关于 x 的方程 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 M，连结 CM，CB，直线 BM 交 y 轴交于点
38、 D （1）求直线 BM 的解析式； （2）若点 Q 以每秒个单位的速度由点 B 向点 D 直线运动，连结 CQ，以 CQ 为边向 下作CQP，使得QCPMCB，设运动时间为 t， 当 t 为何值时，QC 恰好平分DQP？并说明理由； 当点 Q 从点 B 运动到点 D 时，请直接写出点 P 经过的路径长 第 23 页（共 25 页） 【分析】解： （1）由 yx2+2x+3，可求得点 B，M 的坐标，再用待定系数法即可求得 直线 BM 的解析式； （2）作 CHBM 于 H，证明MCB90，根据QCPMCB 和 QC 恰好平分 DQP 条件，可得出DQCCMB，进而得出 MHQH，由 tanC
39、BH，得 ，求得 CH，在 RtMCH 中，求得 MH 的长，即可求出 BQ 的长，进而得 出 t 的值： 证明 C，P，B，Q 四点共圆，可得QBP90，可得点 P 在直线 BP 上运动，分别 求出当点 Q 与点 B 重合时和点 Q 与点 D 重合时，点 P 的坐标，即可得出点 P 经过的路 径长 【解答】解： （1）yx2+2x+3 当 x0 时，y3， C（0，3） ， x2+2x+30，x1 或 x3， B（3，0） ， y（x1）2+4， 顶点为 M（1，4） ， 设直线 BM 的解析式为 ykx+b， ，解得2， 直线 BM 的解析式为 y2x+6 （2）M（1，4） ，C（0，3
40、） ，B（3，0） ， 第 24 页（共 25 页） MC，BC，BM， MC2+BC2MB2， MCB90， 作 CHBM 于 H，如图， QCPMCB， CQPCMB， 设经过 t 秒，QC 恰好平分DQP， DQCCQP， DQCCMB， MHQH， tanCBH， ， CH， MHQH， BQ， t； QCPMCB， CPQCBQ，PCQBCM90， C，P，B，Q 四点共圆， QBP90， 设直线 BP 的解析式为 yx+n， 把点 B（3，0）代入，解得 n， 直线 BP 的解析式为 yx， 点 P 在直线 BP 上运动， 当点 Q 与点 B 重合时，PQQC，可得点 P 的坐标为（9，6） ， 当点 Q 与点 D 重合时，PC3CQ339，可得点 P 的坐标为（9，3） ， 第 25 页（共 25 页） 当点 Q 从点 B 运动到点 D 时，点 P 经过的路径长为 【点评】本题考查二次函数的性质，相似三角形的性质，等腰三角形性质，待定系数法 求一次函数表达式，锐角三角函数定义解决（3）问的关键是得出点 P 的轨迹是一条线 段