1、2018 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，下面每小题给出的四个选项中，分，下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的）只有一个是正确的） 1 （3 分）某种药品说明书上标明保存温度是（203），则该药品在（ ）范围内保 存最合适 A1720 B2023 C1723 D1724 2 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ） A B C D 3 （3 分）某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩如下：75，95，85，80，90
2、，85下列表 述不正确的是（ ） A众数是 85 B中位数是 85 C平均数是 85 D方差是 15 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B （a+b）2a2+b2 C+ D （p2q）3p5q3 5 （3 分）在ABC 中，C90，AC12，BC5，现以 AC 为轴旋转一周得到一个圆 锥则该圆锥的侧面积为（ ） A130 B90 C25 D65 6 （3 分）已知方程组的解 x，y 满足 x+2y0，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm1 Cm1 Dm1 7 （3 分）如图，已知中O 中，AB 是弦，半径 OCAB，垂足为点 D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要添加一
3、个条件，这个条件可以是（ ） 第 2 页（共 28 页） AOAAC BADBD CCADCBD DOCAOCB 8 （3 分）如图，有一个边长为 2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这 个圆形纸片的直径是（ ） Acm B2cm C2cm D4cm 9 （3 分）平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是 A（1，2） ，B（3，2） ，C（2，3） ， 当直线 yx+b 与ABC 的边有交点时，b 的取值范围是（ ） A2b2 Bb2 Cb Db2 10 （3 分）正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE 平分ADO 交 AC 于点 E， 把ADE 沿
4、 AD 翻折，得到ADE，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，EF若 AE 下列结论： AD 垂直平分 EE， tanADE1， CADECODE2 1，S四边形AEFB，其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、二、填空题（本题共填空题（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：a3ab2 12 （3 分）函数 y自变量 x 的取值范围是 13 （3 分）三角形的重心是三角形的三条 的交点 第 3 页（共 28 页） 14 （3 分）在平面直角坐标系中，
5、在 x 轴、y 轴的正半轴上分别截取 OA、OB，使 OAOB； 再分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交于点 C若点 C 的坐标为 （m3，2n） ，则 n （用含 m 的代数式表示） 15 （3 分）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有 20 道题答对一题加 10 分，答错或不答一题扣 5 分，小辉在初赛得分超过 160 分顺利进入决赛设他答对 x 道 题，根据题意，可列出关于 x 的不等式为 16 （3 分）设关于 x 的方程 x2+（k4）x4k0 有两个不相等的实数根 x1、x2，且 0x1 2x2，那么 k 的取值范围是 &
6、nbsp; 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 个小题，共个小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17 （10 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 18 （10 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，M 为 AD 中点，连接 OM、 CM，且 CM 交 BD 于点 N，ND1 （1）证明：MNOCND； （2）求 BD 的长 19 （10 分）化简，并求值，其中 a 与 2、3 构成ABC 的三边，且 a 为整数 20 （10 分） 海珠区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，
7、 切实提高学生体质健康水平， 决定推进“一人一球”活动计划学生科根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球， B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球） ，陈老师对某班全班同学的选课情况进行 统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） 第 4 页（共 28 页） （1）求出该班的总人数，并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生 2500 名，请估计约有多少人选修足球？ （3）该班班委 4 人中，1 人选修足球，1 人选修篮球，2 人选修羽毛球，陈老师要从这 4 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法， 请你用列表或画树状图的方法， 求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球的概率 21
8、 （10 分）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y图象交于点 A（2，m）和点 B（n， 2） （1）求此一次函数解析式及 m、n 的值； （2）结合图象求不等式kxb 的解集 22 （12 分）钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态 化监视监测M、N 为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN 之间的距离约为 3.6km，某日， 我国一艘海监船从A点沿正北方向巡航， 在A点测得岛屿的西端点N在点A的北偏东35 方向；海监船继续航行 4km 后到达 B 点，测得岛屿的东端点 M 在点 B 的北偏东 60方 向，求点 M 距离海监船航线的最短距离（结果精确到 0.1
9、km，tan350.7） 第 5 页（共 28 页） 23 （12 分）如图，在矩形 OABC 中，OA3，OC4，点 E 是 BC 上的一个动点，CEa （a） ，过点 E 的反比例函数 y的图象与 AB 边交于点 F （1）当 a2 时求 k 的值； （2）若 OD1，设 S 为EFD 的面积，求 S 的取值范围 24 （14 分）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC， 点 E 在 AB 上，且 AECE，过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P （1）求证：AC2AEAB； （2）试判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由； （3
10、）设O 的半径为 4，N 为 OC 的中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，3） （1）求此抛物线的解析式； （2） 过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D， 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切， 请判断抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明； 第 6 页（共 28 页） （3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么 位置时，PAC 的面
11、积最大？并求出此时 P 点的坐标和PAC 的最大面积 第 7 页（共 28 页） 2018 年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，下面每小题给分，下面每小题给出的四个选项中，出的四个选项中， 只有一个是正确的）只有一个是正确的） 1 （3 分）某种药品说明书上标明保存温度是（203），则该药品在（ ）范围内保 存最合适 A1720 B2023 C1723 D1724 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量
12、：选 20为标准记为 0，超过 部分为正，不足的部分为负，直接计算得出结论即可 【解答】解：20317 20+323 所以该药品在 1723范围内保存才合适 故选：C 【点评】此题考查正负数问题，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标 准的为负，由此用正负数解答问题 2 （3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（ ） A B C D 【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答 【解答】解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三 棱柱， 故选：C 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活 运用能力，
13、同时也体现了对空间想象能力方面的考查 第 8 页（共 28 页） 3 （3 分）某班抽取 6 名同学参加体能测试，成绩如下：75，95，85，80，90，85下列表 述不正确的是（ ） A众数是 85 B中位数是 85 C平均数是 85 D方差是 15 【分析】先把数据由小到大排列为 75，75，80，80，80，90，然后根据平均数、中位数 的定义得到数据的平均数，中位数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结 果对各选项进行判断 【解答】解：数据由小到大排列为 75，80，85，85，90，95，它的平均数为 ，数据的中位数为 85，众数是 85， 数据的方差（7585）2+（808
14、5）2+2（8585）2+（9085）2+（9585）2 41.67 故选：D 【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是 解题的关键 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A B （a+b）2a2+b2 C+ D （p2q）3p5q3 【分析】直接利用二次根式的性质以及完全平方公式和分式的性质、积的乘方运算法则 分别化简得出答案 【解答】解：A、，正确； B、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； C、+，故此选项错误； D、 （p2q）3p6q3，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式和分式的性
15、质、积的乘方运 算，正确掌握运算法则是解题关键 5 （3 分）在ABC 中，C90，AC12，BC5，现以 AC 为轴旋转一周得到一个圆 锥则该圆锥的侧面积为（ ） A130 B90 C25 D65 第 9 页（共 28 页） 【分析】根据勾股定理求出 AB，根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是 扇形的弧长计算即可 【解答】解：C90，AC12，BC5， AB13， 该圆锥的侧面积251365， 故选：D 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是 解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 6 （3 分）已知方程组
16、的解 x，y 满足 x+2y0，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm1 Cm1 Dm1 【分析】把两个方程相减后得出 x+2y 的值，再代入不等式解答即可 【解答】解：两个方程相减后得：（3x+y）（x3y）（m+1）2m， 整理可得：x+2y， 把 x+2y代入 x+2y0 中， 可得：， 解得：m1， 故选：C 【点评】此题考查解不等式问题，关键是把两个方程相减后得出 x+2y 的值 7 （3 分）如图，已知中O 中，AB 是弦，半径 OCAB，垂足为点 D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） AOAAC BADBD CCADCBD DOC
17、AOCB 【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可 第 10 页（共 28 页） 【解答】解：OAAC理由如下： 在O 中，AB 是弦，半径 OCAB， ADDB，ADOADC90， OAAC，ADAD， ADOADC， ODDC， ADDB，ABOC，ODDC 四边形 OACB 为菱形 故选：A 【点评】此题主要考查的是垂径定理、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定方法是 解题关键 8 （3 分）如图，有一个边长为 2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这 个圆形纸片的直径是（ ） Acm B2cm C2cm D4cm 【分析】根据题意画出图形，再根据
18、正多边形圆心角的求法求出AOB 的度数，最后根 据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可 【解答】解：如图所示，正六边形的边长为 2cm，OGBC， 六边形 ABCDEF 是正六边形， BOC360660， OBOC，OGBC， BOGCOG30， OGBC，OBOC，BC2cm， BGBC21cm， OB2cm， OG， 第 11 页（共 28 页） 圆形纸片的直径为 2cm， 故选：B 【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正 六边形的性质解答是解答此题的关键 9 （3 分）平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是 A（1，2） ，B（3，2） ，C（2
19、，3） ， 当直线 yx+b 与ABC 的边有交点时，b 的取值范围是（ ） A2b2 Bb2 Cb Db2 【分析】将 A（1，2） ，B（3，2） ，C（2，3） ，的坐标分别代入直线 yx+b 中求得 b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到 b 的取值范围 【解答】解：直线 yx+b 经过点 B 时，将 B（3，2）代入直线 yx+b 中，可得+b 2，解得 b； 直线 yx+b 经过点 A 时：将 A（1，2）代入直线 yx+b 中，可得+b2，解得 b ； 直线 yx+b 经过点 C 时：将 C（2，3）代入直线 yx+b 中，可得 1+b3，解得 b 2 故 b 的取值范围是b2
20、 故选：B 【点评】考查了一次函数的性质：k0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k0， y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降 10 （3 分）正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE 平分ADO 交 AC 于点 E， 把ADE 沿 AD 翻折，得到ADE，点 F 是 DE 的中点，连接 AF，BF，EF若 AE 下列结论： AD 垂直平分 EE， tanADE1， CADECODE2 第 12 页（共 28 页） 1，S四边形AEFB，其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】如图，连接 EB、EE，作 EMAB 于 M，
21、EE交 AD 于 N易知AEB AEDADE，先求出正方形 AMEN 的边长，再求出 AB，即可一一判断； 【解答】解：如图，连接 EB、EE，作 EMAB 于 M，EE交 AD 于 N 四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA，ACBD，AOOBODOC， DACCABDAE45， 根据对称性，ADEADEABE， DEDE，AEAE， AD 垂直平分 EE，故正确， ENNE， NAENEAMAEMEA45，AE， AMEMENAN1， ED 平分ADO，ENDA，EODB， ENEO1，AODO+1， tanADEtanODE1，故正确， ABADAO2+， CADECODEAD+
22、AEDOEO，故错误， SAEBSAED1（2+）1+，SBDESADB2SAEB1+， DFEF， SEFB， S四边形AEFBSAEB+SBEF，故错误， 第 13 页（共 28 页） 故选：C 【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等 腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积， 属于中考填选择题中的压轴题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：a3ab2 a（a+b） （ab） 【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式
23、分解因式得出答案 【解答】解：a3ab2 a（a2b2） a（a+b） （ab） 故答案为：a（a+b） （ab） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解 题关键 12 （3 分）函数 y自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，可知：x10，解得 x 的范围 【解答】解：若函数 y有意义， 则 x10， 解得 x1 故答案为：x1 【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑 分式的分
24、母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 13 （3 分）三角形的重心是三角形的三条 中线 的交点 【分析】根据三角形的重心的定义解答 【解答】解：三角形的重心是三角形的三条中线的交点 第 14 页（共 28 页） 故答案为：中线 【点评】本题考查了三角形的重心，是基础题，熟记概念是解题的关键 14 （3 分）在平面直角坐标系中，在 x 轴、y 轴的正半轴上分别截取 OA、OB，使 OAOB； 再分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交于点 C若点 C 的坐标为 （m3，2n） ，则 n （用含 m 的代数式表示） 【分析】根据 OAOB；再分别以点
25、A、B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交 于点 C， 得出 C 点在BOA 的角平分线上， 进而得出 C 点横纵坐标相等， 进而得出答案 【解答】解：OAOB；分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 长为半径作弧，两弧交 于点 C， C 点在BOA 的角平分线上， C 点到横纵坐标轴距离相等，即 m32n， n， 故答案为： 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标点的性质，利用角平分线的作法得出 C 点坐标性质是解题关键 15 （3 分）某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有 20 道题答对一题加 10 分，答错或不答一题扣 5 分，小辉在初赛得分超过 160
26、分顺利进入决赛设他答对 x 道 题，根据题意，可列出关于 x 的不等式为 10x5（20x）160 【分析】小明答对题的得分：10x；小明答错题的得分：5（20x） 不等关系：小明 得分要超过 160 分据此可得答案 【解答】解：设他答对 x 道题，则答错或不答的题数为（20x）道， 根据题意，可列出关于 x 的不等式为 10x5（20x）160， 故答案为：10x5（20x）160 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等 关系是解题的关键 16 （3 分）设关于 x 的方程 x2+（k4）x4k0 有两个不相等的实数根 x1、x2，且 0x1 2x2，那
27、么 k 的取值范围是 2k0 【分析】由方程解的情况可大致画出抛物线的图象，观察图形，即可得出关于 k 的一元 第 15 页（共 28 页） 一次不等式组，解之即可得出 k 的取值范围 【解答】解：关于 x 的方程 x2+（k4）x4k0 有两个不相等的实数根 x1、x2，且 0 x12x2， 抛物线 yx2+（k4）x4k 与 x 轴的交点在直线 x2 的两侧， ， 解得：2k0 故答案为：2k0 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一 次不等式组，利用二次函数图象上点的坐标特征找出关于 k 的一元一次不等式组是解题 的关键 三、解答题（本题共三、解
28、答题（本题共 9 个小题，共个小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17 （10 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x+40，得：x2， 解不等式 x2（x1）1，得：x1， 则不等式组的解集为2x1， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的
29、原则是解答此题的关键 18 （10 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，M 为 AD 中点，连接 OM、 第 16 页（共 28 页） CM，且 CM 交 BD 于点 N，ND1 （1）证明：MNOCND； （2）求 BD 的长 【分析】 （1）由两角法证得结论； （2）由MNOCND，可得到 OM：CD1：2，表示出 ON 与 DN，即可确定出 OD 的长度，则 BD2OD 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O， 点 O 是 AC 的中点 M 为 AD 中点， OM 是ACD 的中位线， OMCD， OMNNC
30、D 又MNOCND， MNOCND； （2）OM 是ACD 的中位线， OMCD 由（1）知，MNOCND，ND1， ， ON， ODON+ND， BD2OD3 第 17 页（共 28 页） 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质熟练掌握相似三 角形的判定与性质是解本题的关键 19 （10 分）化简，并求值，其中 a 与 2、3 构成ABC 的三边，且 a 为整数 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角形三边关系得出 a 的取值范围，继而由分式有意义的条件确定 a 的值，代入计算可得 【解答】解：原式 ， a 与 2、3 构成ABC 的三边， 1a5
31、， 又 a 为整数且 a3、a2、a0， a4， 则原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握三角形三边间的关系及分式 混合运算顺序和运算法则 20 （10 分） 海珠区某学校为进一步加强和改进学校体育工作， 切实提高学生体质健康水平， 决定推进“一人一球”活动计划学生科根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球， B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球） ，陈老师对某班全班同学的选课情况进行 统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） 第 18 页（共 28 页） （1）求出该班的总人数，并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生 2500 名，请估计约有多少人选修足球？
32、 （3）该班班委 4 人中，1 人选修足球，1 人选修篮球，2 人选修羽毛球，陈老师要从这 4 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法， 请你用列表或画树状图的方法， 求选出的 2 人中至少有 1 人选修羽毛球的概率 【分析】 （1）由 C 有 12 人，占 24%，即可求得该班的总人数，继而求得 A 与 E 的人数， 即可补全频数分布直方图； （2）用 250017%即可解决问题； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的 2 人至少 有 1 人选修羽毛球的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）该班总人数1224%50（人） E 组人数501
33、0%5，A 组人数507125917（人） ， 条形图如图所示： （2）250017%425（人） ， 答：若该校共有学生 2500 名，请估计约有 425 人选修足球 （3）画树状图为：A 表示足球，B 表示羽毛球，C 表示篮球 共有 12 种等可能的结果数，其中选出的 2 人中，至少有 1 人选修羽毛球有 10 种可能， 所以选出的 2 人至少有 1 人选修羽毛球概率 第 19 页（共 28 页） 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图与频数分布直方图的 知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （10 分）如图，一次函数 ykx+b 与反比例函数 y图象
34、交于点 A（2，m）和点 B（n， 2） （1）求此一次函数解析式及 m、n 的值； （2）结合图象求不等式kxb 的解集 【分析】 （1）把 A、B 两点坐标代入反比例函数 y可得 m、n 的值，进而可得 A、B 两点坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用函数图象可直接得到不等式kxb 的解集 【解答】解： （1）反比例函数 y图象过点 A（2，m）和点 B（n，2） ， 2m6，2n6， 解得：m3，n3； m3，n3， A（2，3）和点 B（3，2） ， 一次函数 ykx+b 过 A、B 两点， ， 解得：， 一次函数解析式为 yx+1； （2）kxb， kx+b，
35、由图象得：x3，0x2 第 20 页（共 28 页） 【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是掌握凡是函数图象 经过的点必能满足解析式 22 （12 分）钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态 化监视监测M、N 为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN 之间的距离约为 3.6km，某日， 我国一艘海监船从A点沿正北方向巡航， 在A点测得岛屿的西端点N在点A的北偏东35 方向；海监船继续航行 4km 后到达 B 点，测得岛屿的东端点 M 在点 B 的北偏东 60方 向，求点 M 距离海监船航线的最短距离（结果精确到 0.1km，tan350.7） 【分
36、析】如图，延长 MN 交 AB 于 K设 KNx，KBy，构建方程组即可解决问题； 【解答】解：如图，延长 MN 交 AB 于 K设 KNx，KBy， 在 RtMBK 中，tan60， x+3.6y 在 RtANK 中，tan35， x0.7（4+y） ， 由可得 x7.1（km） ， 第 21 页（共 28 页） MK7.1+3.610.7（km） ， 答：点 M 距离海监船航线的最短距离为 10.7km 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会根据方程组解决问题，属于 中考常考题型 23 （12 分）如图，在矩形 OABC 中，OA3，OC4，点 E 是 BC 上的
37、一个动点，CEa （a） ，过点 E 的反比例函数 y的图象与 AB 边交于点 F （1）当 a2 时求 k 的值； （2）若 OD1，设 S 为EFD 的面积，求 S 的取值范围 【分析】 （1）先确定点 E 的坐标，代入可得 k 的值； （2）根据面积差可得 S 的值，配方成顶点式，画图象，根据a，确定 S 的范围 【解答】解： （1）四边形 OABC 是矩形， BCx 轴， OC4，CEa2， E（2，4） ， k248； （2）OA3，OD1， AD2， 连接 OE、OF， SECOSOAF， 则4a3AF， AF， SS矩形OABCSADFSBEFS梯形COED， 第 2
38、2 页（共 28 页） 43ADAFBEBF（OD+CE）OC， 1224（1+a） ， +a+4， （a）2+， 如图所示，当 x时，s（）2+， S 的取值范围是S 【点评】本题为反比例函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、反比例函数图象 上的点的坐标特征、二次函数的最值及数形结合思想等知识点在（1）中求得 E 点的坐 标是解题的关键，在（2）中注意数形结合 24 （14 分）如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC， 点 E 在 AB 上，且 AECE，过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P （1）求证：AC2AEAB； （2）试
39、判断 PB 与 PE 是否相等，并说明理由； （3）设O 的半径为 4，N 为 OC 的中点，点 Q 在O 上，求线段 PQ 的最小值 【分析】 （1）先判断出AABC，进而判断出ABCACE，即可得出AEC ACB，即可得出结论； （2）先判断出PBN+OBN90，进而得出PBNCOB，再判断出PEB 第 23 页（共 28 页） COB，即可得出结论； （3）先判定OCB 为等边三角形，进而判断出当 P、Q、O 三点共线时，PQ 最小，再 判断出PBE 是等边三角形，利用勾股定理求出 AB2BN4，BEPB，即 可得出 PQ4 【解答】证明： （1）如图 1，连接 BC， CD 为O 的直
40、径，ABCD， ， AABC ECAE， AACE ABCACE AA， AECACB ， AC2AEAB； （2）PBPE 理由是：如图 2，连接 OB， PB 为O 的切线， OBPB， OBP90， PBN+OBN90 OBN+COB90， PBNCOB PEBA+ACE2A，COB2A， PEBCOB， PEBPBN PBPE； 第 24 页（共 28 页） （3）如图 3，N 为 OC 的中点， ONOCOB， RtOBN 中，OBN30， COB60， OCOB， OCB 为等边三角形， Q 为O 任意一点，连接
41、PQ、OQ， OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小， 当 P、Q、O 三点共线时，PQ 最小， Q 为 OP 与O 的交点时，PQ 最小， ACOB30， PEB2A60， ABP903060， PBE 是等边三角形， RtOBN 中，根据勾股定理得，BN2， AB2BN4， 设 AEx，则 CEx，EN2x， RtCNE 中，x222+（2x）2，解得：x BEPB4， RtOPB 中，OP， PQ4 则线段 PQ 的最小值是4 第 25 页（共 28 页） 【点评】此题圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和 性质，勾股定理，切线的性质，
42、利用勾股定理求出 AE 是解本题的关键 25 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，3） （1）求此抛物线的解析式； （2） 过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D， 如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切， 请判断抛物线的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点 P 是抛物线上的一个动点，且位于 A，C 两点之间，问：当点 P 运动到什么 位置时，PAC 的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和PAC 的最大面积 第 26 页（共 2
43、8 页） 【分析】 （1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将 A 点坐标 代入其中，即可求出此二次函数的解析式； （2） 根据抛物线的解析式，易求得对称轴 l 的解析式及 B、C 的坐标， 分别求出直线 AB、 BD、CE 的解析式，再求出 CE 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可； （3）过 P 作 y 轴的平行线，交 AC 于 Q；易求得直线 AC 的解析式，可设出 P 点的坐标， 进而可表示出 P、Q 的纵坐标，也就得出了 PQ 的长；然后根据三角形面积的计算方法， 可得出关于PAC 的面积与 P 点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出 PAC 的最
44、大面积及对应的 P 点坐标 【解答】解： （1）设抛物线为 ya（x4）21， 抛物线经过点 A（0，3） ， 3a（04）21，； 抛物线为； （2）相交 证明：连接 CE，则 CEBD， 当时，x12，x26 A（0，3） ，B（2，0） ，C（6，0） ， 对称轴 x4， OB2，AB，BC4， ABBD， OAB+OBA90，OBA+EBC90， AOBBEC， 第 27 页（共 28 页） ，即，解得 CE， 2， 故抛物线的对称轴 l 与C 相交 （3）如图，过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q； 可求出 AC 的解析式为； 设 P 点的坐标为（m，） ， 则 Q 点的坐标为（m，） ； PQm+3（m22m+3）m2+m SPACSPAQ+SPCQ（m2+m）6 （m3）2+； 当 m3 时，PAC 的面积最大为； 此时，P 点的坐标为（3，） 【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位 置关系、图形面积的求法等知识