1、2018 年浙江省嘉兴市秀洲区中考数学二模试卷年浙江省嘉兴市秀洲区中考数学二模试卷 一、选择题一、选择题 1 （3 分）2018 的相反数是（ ） A B C2018 D2018 2 （3 分）下列是手机中部分软件的图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）根据嘉兴市统计局的人口统计，截至 2017 年末，嘉兴全市常住人口约为 4656000 人， “4656000 用科学记数法可表示为（ ） A4.656105 B46.56105 C4.656106 D0.4656107 4 （3 分）某个不等式的解集在数轴上如图所示，这个不等式可以是（ ） A2x13 B2x13
2、C2x13 D2x13 5 （3 分）在学校开展的“美德少年”评选活动中，编号 1，2，3，4，5 的五位同学的最终 成绩如下表所示： 参赛者编号 1 2 3 4 5 成绩/分 93 88 90 91 90 这五位同学最终成绩的众数和中位数依次是（ ） A88，90 B90，90 C91，90 D90，91 6 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） A三角形的内心到这个三角形三边的距离相等 B有一个内角为 60的等腰三角形是等边三角形 C直角坐标系中，点（a，b）关于原点成中心对称的点的坐标为（b，a） D有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形 7 （
3、3 分）在九章算术 “勾股”章里有求方程 x2+34x710000 的正根才能解答的题目， 以上方程用配方法变形正确的是（ ） A （x+17）270711 B （x+17）271289 C （x17）270711 D （x17）271289 第 2 页（共 26 页） 8 （3 分）某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（O 直径）为 10cm，弧 AB 的度数约为 90，则弓形铁片 ACB（阴影部分） 的面积约为（ ） A （）cm2 B （25）cm2 C （）cm2 D （25）cm2 9 （3 分）如图，ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，
4、CDBE 于点 F当 AB8， AC6 时，BC 的长度为（ ） A4 B3 C2 D5 10 （3 分）如图，平面直角坐标系中，抛物线 yx22x+3 交 x 轴于点 B，C，交 y 轴于 点 A，点 P（x，y）是抛物线上的一个动点，连接 PA，AC，PC，记ACP 面积为 S当 y3 时，S 随 x 变化的图象大致是（ ） A B C D 第 3 页（共 26 页） 二、填空题二、填空题 11 （3 分）9 的算术平方根是 12 （3 分）分解因式：a34a 13 （3 分）在长度为 3，6，8，10 的四条线段中，任意选择一条线段，使它与已知线段
5、 4 和 7 能组成三角形的概率为 14 （3 分）平面直角坐标系中，菱形 AOBC 的位置如图所示，点 A 在 x 轴负半轴上，B（1， ） ，反比例函数 y在第二象限的图象经过点 C，则 k 15 （3 分）农贸市场拟建两间长方形储藏室，储藏室的一面靠墙（墙长 30m） ，中间用一面 墙隔开，如图所示，已知建筑材料可建墙的长度为 42m，则这两间长方形储藏室的总占 地面积的最大值为 m2 16 （3 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，AB2，C，D 为半圆上两个动点（D 在 C 右侧） ， 且满足COD60，连结 AD，BC 相交于点 P 若点
6、C 从 A 出发按顺时针方向运动，当 点 D 与 B 重合时运动停止，则点 P 所经过的路径长为 三、解答题三、解答题 17 （1）计算：+（）02cos60 （2）化简：m（m+4）+（m2）2 18解方程：1 第 4 页（共 26 页） 小嘉同学的解题过程如下： 将方程两边同乘以（x+1） ， 得：x1+1x 所以，x1 判断小嘉同学的解题过程是否正确，若不正确，请给出正确的解题过程 19已知：如图，RtABC 中，ACB90 （1）用直尺和圆规作ABC 的平分线，交 AC 于点 O； （2）在（1）的条件下，若 BC3，AC4，求点 O 到 AB 的距离 20为深化课改，落
7、实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A数学思维， B文学鉴赏，C红船课程，D.3D 打印，规定每位学生选报一门为了解学生的报名情 况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问 题： （1）求这次被调查的学生人数； （2）请将条形统计图补充完整； （3）假如全校有学生 1000 人，请估计选报“红船课程”的学生人数 21为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的 高清摄像头如图所示，立杆 MA 与地面 AB 垂直，斜拉杆 CD 与 AM 交于点 C，横杆 DE AB，摄像头 EFDE 于点 E，AC5.5 米，CD3
8、米，EF0.4 米，CDE162 第 5 页（共 26 页） （1）求MCD 的度数； （2）求摄像头下端点 F 到地面 AB 的距离 （精确到百分位） （参考数据；sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin180.31，cos18 0.95，tan180.32） 22购物广场内甲、乙两家商店对 A、B 两种商品均有优惠促销活动； 甲商店的促销方案是：A 商品打八折，B 商品打七五折； 乙商店的促销方案是：购买一件 A 商品，赠送一件 B 商品，多买多送 请你结合小明和小华的对话，解答下列问题： （1）求 A、B 两种商品促销前的单价； （2）假设在同一家商店购买 A、
9、B 两种商品共 100 件，且 A 不超过 50 件，请说明选择 哪家商店购买更合算 23我们把有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做友好三角形如图，在 ABC 和ABD 中，ABAB，ADAC，ABCABD，则ABC 和ABD 是友好三角 形 （1）如图 1，已知 ADAC，请写出图中的友好三角形； 第 6 页（共 26 页） （2）如图 2，在ABC 和ABD 中，ADAC，BDABCA，且BDA90，求 证：ABCABD； （4）如图 3，ABC 内接于圆，ABC30，BAC45，BC4D 是圆上一点， 若ABD 和ABC 是友好三角形，且 BDAD，求 AD 的长 24如图，
10、平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 ya（x+1） （x9）经过 A，B 两点，四边形 OABC 矩形，已知点 A 坐标为（0，6） （1）求抛物线解析式； （2）点 E 在线段 AC 上移动（不与 C 重合） ，过点 E 作 EFBE，交 x 轴于点 F请判断 的值是否变化；若不变，求出它的值；若变化，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若 E 在直线 AC 上移动，当点 E 关于直线 BF 的对称点 E在抛 物线对称轴上时，请求出 BE 的长度 第 7 页（共 26 页） 2018 年浙江省嘉兴市年浙江省嘉兴市秀洲区中考数学二模试卷秀洲区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解
11、析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）2018 的相反数是（ ） A B C2018 D2018 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 【解答】解：2018 的相反数是：2018 故选：D 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2 （3 分）下列是手机中部分软件的图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴
12、对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 3 （3 分）根据嘉兴市统计局的人口统计，截至 2017 年末，嘉兴全市常住人口约为 4656000 人， “4656000 用科学记数法可表示为（ ） A4.656105 B46.56105 C4.656106 D0.4656107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解： “4656000”用科学记数法表示为 4.656106
13、 故选：C 第 8 页（共 26 页） 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）某个不等式的解集在数轴上如图所示，这个不等式可以是（ ） A2x13 B2x13 C2x13 D2x13 【分析】根据解不等式，不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左 画） ，可得答案 【解答】解：A、2x13 的解集为 x2，符合题意； B、2x13 的解集为 x2，不符合题意； C、2x13 的解集为 x2，不符合题意； D、2x13 的解集为 x2，不符合题意； 故选：A
14、【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集在数轴上表示出来 （，向右画；，向左画）是解题关键 5 （3 分）在学校开展的“美德少年”评选活动中，编号 1，2，3，4，5 的五位同学的最终 成绩如下表所示： 参赛者编号 1 2 3 4 5 成绩/分 93 88 90 91 90 这五位同学最终成绩的众数和中位数依次是（ ） A88，90 B90，90 C91，90 D90，91 【分析】找出五位同学演讲成绩出现次数最多的分数即为众数，将分数按照从小到大的 顺序排列，找出中位数即可 【解答】解：这 5 位同学成绩出现次数最多的是 90 分， 所以众数为 90 分， 将 5 个得分
15、重新排列为 88、90、90、91、93， 所以中位数为 90 分， 故选：B 【点评】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 6 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） 第 9 页（共 26 页） A三角形的内心到这个三角形三边的距离相等 B有一个内角为 60的等腰三角形是等边三角形 C直角坐标系中，点（a，b）关于原点成中心对称的点的坐标为（b，a） D有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形 【分析】根据三角形内切圆、等边三角形的判定、关于原点对称点的性质、正方形的判 定进行分析即可 【解答】解：A、三角形的内心到这个三角形三边的距
16、离相等，是真命题，故此选项错误； B、有一个内角为 60的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故此选项错误； C、直角坐标系中，点（a，b）关于原点成中心对称的点的坐标为（b，a） ，是假命 题，故此选项正确； D、有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形，是真命题，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题是真命题，错误的命题是 假命题 7 （3 分）在九章算术 “勾股”章里有求方程 x2+34x710000 的正根才能解答的题目， 以上方程用配方法变形正确的是（ ） A （x+17）270711 B （x+17）271289
17、C （x17）270711 D （x17）271289 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得 【解答】解：x2+34x710000 x2+34x71000 x2+34x+17271000+172 （x+17）271289 故选：B 【点评】题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项 移动方程右边，二次项系数化为 1，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，方 程左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求 解 8 （3 分）某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（O 直径）为 10cm，弧 AB 的度数约为 90，则
18、弓形铁片 ACB（阴影部分） 的面积约为（ ） 第 10 页（共 26 页） A （）cm2 B （25）cm2 C （）cm2 D （25）cm2 【分析】连接 OA、OB，根据已知求出 OAOB5cm，BOA90，分别求出扇形 BOA 和BOA 的面积即可 【解答】解： 连接 OA、OB， 品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（O 直径）为 10cm，弧 AB 的度 数约为 90， OAOB5cm，BOA90， 阴影部分的面积 SS扇形BOASBOA（）cm2， 故选：A 【点评】本题考查了扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面 积是解此
19、题的关键 9 （3 分）如图，ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，CDBE 于点 F当 AB8， AC6 时，BC 的长度为（ ） A4 B3 C2 D5 【分析】依据 F 是ABC 的重心，设 DFx，BFy，则 CF2x，EFy，利用勾股 定理可得，RtBDF 中，x2+y216，RtCEF 中， （y） 2+（2x）29，进而得到 x2 ， 第 11 页（共 26 页） y2，再根据勾股定理可得 RtBCF 中，BC2 【解答】解：D，E 分别为 AB，AC 的中点，AB8，AC6， F 是ABC 的重心，BD4，CE3， 设 DFx，BFy，则 CF2x，EFy， CDBE
20、， RtBDF 中，x2+y216， RtCEF 中， （y）2+（2x）29， 解得 x2，y2， RtBCF 中，BC2， 故选：C 【点评】本题主要考查了三角形重心性质以及勾股定理的综合运用，重心到顶点的距离 与重心到对边中点的距离之比为 2：1 解决问题的关键是利用勾股定理列方程组求解 10 （3 分）如图，平面直角坐标系中，抛物线 yx22x+3 交 x 轴于点 B，C，交 y 轴于 点 A，点 P（x，y）是抛物线上的一个动点，连接 PA，AC，PC，记ACP 面积为 S当 y3 时，S 随 x 变化的图象大致是（ ） A B C D 【分析】解方程x22x
21、+30 得 B（2，0） ，C（6，0） ；易得点 A 的坐标为（0，3） ，利 第 12 页（共 26 页） 用对称性得到抛物线与直线 y3 的另一个交点坐标为（8，3） ，利用待定系数法可求出 直线 AC 的解析式为 yx+3，过点 P 作 PDy 轴交 AC 于点 D，如图，设点 P 的坐 标为 （x， x22x+3） ， 则点 D 的坐标为 （x， x+3） ， 讨论： 当 0x6 时， Sx2+x， 当 6x8 时，Sx2x，然后利用这两个解析式对各选项进行判断 【解答】解：当 y0 时，x22x+30，解得 x12，x26， 点 B 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（6，0）
22、 ； 当 x0 时，yx22x+33，则点 A 的坐标为（0，3） 抛物线的对称轴为直线 x4， 点 A 关于直线 x4 的对称点为（8，3） ， 利用待定系数法可求出直线 AC 的解析式为 yx+3 过点 P 作 PDy 轴交 AC 于点 D，如图，设点 P 的坐标为（x，x22x+3） ，则点 D 的 坐标为（x，x+3） ， 当 0x6 时， DPx+3（x22x+3）x2+x， SOCDPx2+x， 当 6x8 时，DPx22x+3（x+3）x2x， SOCDPx2x 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与
23、x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程 二、填空题二、填空题 第 13 页（共 26 页） 11 （3 分）9 的算术平方根是 3 【分析】9 的平方根为3，算术平方根为非负，从而得出结论 【解答】解：（3）29， 9 的算术平方根是|3|3 故答案为：3 【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负 12 （3 分）分解因式：a34a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解
24、的方法是解本 题的关键 13 （3 分）在长度为 3，6，8，10 的四条线段中，任意选择一条线段，使它与已知线段 4 和 7 能组成三角形的概率为 【分析】根据四条线段中与已知线段 4 和 7 能组成三角形的有 6，8，10 这 3 种结果，利 用概率公式计算可得 【解答】解：从 3，6，8，10 的四条线段中选取一条有 4 种等可能结果，其中与已知 线段 4 和 7 能组成三角形的有 6，8，10 这 3 种结果， 与已知线段 4 和 7 能组成三角形的概率为， 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用注意概率所求情况数与总情况数之比 14 （3 分）平面直角坐标系中，菱形 AOBC
25、的位置如图所示，点 A 在 x 轴负半轴上，B（1， ） ，反比例函数 y在第二象限的图象经过点 C，则 k 第 14 页（共 26 页） 【分析】根据菱形的性质可以求得点 C 的坐标，再根据点 C 在反比例函数图象上，从而 可以求得 k 的值 【解答】解：点 A 在 x 轴负半轴上，B（1，） ， OB2，点 C 的纵坐标是， OA2， 四边形 AOBC 是菱形，点 A 在 x 轴的负半轴， 点 C 的坐标为（1，） ， 反比例函数 y在第二象限的图象经过点 C， ，得 k， 故答案为： 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明 确题意，利用数形结合的思想
26、解答 15 （3 分）农贸市场拟建两间长方形储藏室，储藏室的一面靠墙（墙长 30m） ，中间用一面 墙隔开，如图所示，已知建筑材料可建墙的长度为 42m，则这两间长方形储藏室的总占 地面积的最大值为 147 m2 【分析】设中间隔开的墙 EF 的长为 xm，建成的储藏室总占地面积为 Sm2，根据题意可 知 AD 的长度等于 BC 的长度，列出式子 AD2+3x28，得出用 x 的代数式表示 AD 的 长，再根据矩形的面积ADAB 得出 S 关于 x 的解析式，再利用二次函数的性质即可求 解 【解答】解：设中间隔开的墙 EF 的长为 xm2，建成的储藏室总占地面积为 Sm2，根据题 意得 AD+
27、3x42，解得 AD423x， 则 Sx（423x）3x2+42x3（x7）2+147， 故这两间长方形储藏室的总占地面积的最大值为 147m2 故答案为：147 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题考查二次函数的应用，配方法，矩形的面积，有一定难度，解答本题的关 键是得到建成的储藏室的总占地面积的解析式 16 （3 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，AB2，C，D 为半圆上两个动点（D 在 C 右侧） ， 且满足COD60，连结 AD，BC 相交于点 P 若点 C 从 A 出发按顺时针方向运动，当 点 D 与 B 重合时运动停止，则点 P 所经过的路径长为 【分析】作过点 P、A、B
28、 的E，在E 上任意取点 F，则F120，从而可求得 AEB 的度数，然后连接 OE，接下来，求得 AE 的长，然后依据扇形的弧长公式求解即可 【解答】解：如图所示：作过点 P、A、B 的E，在E 上任意取点 F，连接 OE COD60 AOC+BOD120 DABDOB，CBAAOC， DAB+CBA（AOC+BOD）60， APB120 点 P 在以 AB 为弦的E 上 第 16 页（共 26 页） APB120， AFB60 AEB120 O 是 AB 的中点， OEAB，AEO60 AE P 所经过的路径长 故答案为： 【点评】本题主要考查的是轨迹问题、垂径定理、圆周角定理
29、、扇形的弧长公式，发现 点 P 在以 AB 为弦的E 上是解题的关键 三、解答题三、解答题 17 （1）计算：+（）02cos60 （2）化简：m（m+4）+（m2）2 【分析】 （1）直接利用立方根以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出 答案； （2）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式化简，再合并同类项即可 【解答】解： （1）原式3+12 3+11 3； （2）原式m2+4m+m24m+4 2m2+4 【点评】此题主要考查了实数运算以及单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关 键 18解方程：1 小嘉同学的解题过程如下： 将方程两边同乘以（x+1） ， 第 17 页（共
30、 26 页） 得：x1+1x 所以，x1 判断小嘉同学的解题过程是否正确，若不正确，请给出正确的解题过程 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案 【解答】解：过程不正确， 正确解题过程：去分母得 xx+1+1x x2， 经检验：x2 是原分式方程的根 【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验分 式方程的根 19已知：如图，RtABC 中，ACB90 （1）用直尺和圆规作ABC 的平分线，交 AC 于点 O； （2）在（1）的条件下，若 BC3，AC4，求点 O 到 AB 的距离 【分析】 （1）利用基本作法作 OB 平分ABC； （2）
31、过点 O 作 ODAB 于点 D，如图，根据角平分线的性质得 OCOD，则 BDBC 3，再利用勾股定理计算出 AB5，则 AD2，设 ODx，则 OCx，OA4x，利 用勾股定理得到 x2+（4x）222，然后解方程求出 x 即可 【解答】解： （1）如图，BO 为所求作； （2）过点 O 作 ODAB 于点 D，如图， BO 平分ABC，OCBC，ODAB， OCOD， BDBC3， 在 RtABC 中，AB5， AD2， 设 ODx，则 OCx，OA4x， 第 18 页（共 26 页） 在 RtAOD 中，x2+（4x）222，解得 x， 即点 O 到 AB 的距离为 【点评】本题考查了
32、作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线） 也考查了勾股定理 20为深化课改，落实立德树人目标，某学校设置了以下四门拓展性课程：A数学思维， B文学鉴赏，C红船课程，D.3D 打印，规定每位学生选报一门为了解学生的报名情 况，随机抽取了部分学生进行调查，并制作成如下两幅不完整的统计图，请回答下列问 题： （1）求这次被调查的学生人数； （2）请将条形统计图补充完整； （3）假如全校有学生 1000 人，请估计选报“红船课程”的学生人数 【分析】 （1）根据 B 的人数除以占的百分比，求出调
33、查的学生总数即可； （2）先求出 D 的人数，再求出 A 的人数，即可补全条形统计图； （3）求出 C 占的百分比，乘以 1000 即可得到结果 【解答】解： （1）1620%80（人） 即这次被调查的学生人数为 80 人； 第 19 页（共 26 页） （2）选报 D 的学生有：8014（人） ， 选报 A 的学生有：8016301420（人） 条形图补充如图所示； （3）1000375（人） 则估计选报“红船课程”的学生人数是 375 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据
34、； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体 21为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的 高清摄像头如图所示，立杆 MA 与地面 AB 垂直，斜拉杆 CD 与 AM 交于点 C，横杆 DE AB，摄像头 EFDE 于点 E，AC5.5 米，CD3 米，EF0.4 米，CDE162 （1）求MCD 的度数； （2）求摄像头下端点 F 到地面 AB 的距离 （精确到百分位） （参考数据；sin720.95，cos720.31，tan723.08，sin180.31，cos18 0.95，tan180.32） 【分析】 （1）延长 ED，A
35、M 交于点 P，利用垂直的定义解答即可； 第 20 页（共 26 页） （2）根据直角三角形的性质解答即可 【解答】（1） 如图， 延长ED， AM交于点P， DEAB，MAAB EPMA，即MPD90 CDE162 MCD1629072； （2）如图，在 RtPCD 中，CD3 米，MCD72， PCCDcosMCD3cos7230.310.93 米 AC5.5 米，EF0.4 米， PC+ACEF0.93+5.50.46.03 米 答：摄像头下端点 F 到地面 AB 的距离为 6.03 米 【点评】 此题主要考查了解直角三角形， 根据题意得出MCD72是解决问题的关键 22购物
36、广场内甲、乙两家商店对 A、B 两种商品均有优惠促销活动； 甲商店的促销方案是：A 商品打八折，B 商品打七五折； 乙商店的促销方案是：购买一件 A 商品，赠送一件 B 商品，多买多送 请你结合小明和小华的对话，解答下列问题： （1）求 A、B 两种商品促销前的单价； （2）假设在同一家商店购买 A、B 两种商品共 100 件，且 A 不超过 50 件，请说明选择 哪家商店购买更合算 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）A 商品促销前的单价为 x 元/件，B 商品促销前的单价为 y 元/件，根据“小 明在甲商店购买 5 件 A 商品、2 件 B 商品，共花 150 元；小华在乙商店购
37、买 3 件 A 商品、 6 件 B 商品，共花 150 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 A 商品 m 件，B 商品（100m）件；甲，乙两家商店所花费用分别为 w1， w2元，根据两商店的优惠政策及总价单价数量，可得出 w1，w2关于 m 的一次函数 关系式，令 w1w2可求出 m 的值，再结合一次函数的性质即可找出购买方案 【解答】解： （1）设 A 商品促销前的单价为 x 元/件，B 商品促销前的单价为 y 元/件， 根据题意得：， 解得： 答：A 商品促销前的单价为 30 元/件，B 商品促销前的单价为 20 元/件 （2）设
38、购买 A 商品 m 件，B 商品（100m）件；甲，乙两家商店所花费用分别为 w1， w2元 由题意得：w10.830m+0.7520（100m）9m+1500，w230m+20（100mm） 10m+2000 当 w1w2时，9m+150010m+2000， 解得：m26， 当 0m26 时，w1w2，选择甲商店合算；当 27m50 时，w1w2，选择乙商店 合算 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是： （1） 找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据数量关系，找出出 w1，w2关于 m 的一次函数关系式 23我们把有两条边和其中一边的对角对应相等
39、的两个三角形叫做友好三角形如图，在 ABC 和ABD 中，ABAB，ADAC，ABCABD，则ABC 和ABD 是友好三角 形 （1）如图 1，已知 ADAC，请写出图中的友好三角形； 第 22 页（共 26 页） （2）如图 2，在ABC 和ABD 中，ADAC，BDABCA，且BDA90，求 证：ABCABD； （4）如图 3，ABC 内接于圆，ABC30，BAC45，BC4D 是圆上一点， 若ABD 和ABC 是友好三角形，且 BDAD，求 AD 的长 【分析】 （1）直接利用友好三角形的意义即可得出结论； （2）先判断出ADCACD，进而判断出BDCBCD，即可得出结论； （3）分三种
40、情况，利用友好三角形的意义和勾股定理即可得出结论 【解答】解： （1）ABAB，ADAC，BB， ABC 和ABD 好三角形； （2）如图 2，连结 CD， ADAC， ADCACD ADBACB， ADBADCACBACD， 即BDCBCD BDCD ABAB， ABCABD （SSS） ； （3） 如图 3，当 ABAB，ADBC 时，ADBACB，ABD 和ABC 是友好三角形 AD4， 如图 4，当 ABAB，DBAC 时，DABABC30，ABD 和ABC 是友好三 角形 过 C 作 CEAB 于点 E ABC30，BC4， CE2，BE2， CAE45， 第 23 页（
41、共 26 页） AE2，AC2， ABBE+AE2+2 ABC30，BAC45， DABC+BAC75 ABD180307575， 即ABDD， ADAB2+2， 如图 5，当 ABAB，BDBC 时，BADBAC45，ABD 和ABC 是友好三 角形 过 D 作 DFBA 于点 F BDBC4， BADBAC45，DAC90 DBC90，DBA60， EF2，DF2，AF2 ADAF2， 综上所述：AD 的长度为 4 或 2+2或 2 第 24 页（共 26 页） 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，全等三角形的判定和性 质，圆周角定理，勾股定理，作出图形是解本题的关键
42、24如图，平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 ya（x+1） （x9）经过 A，B 两点，四边形 OABC 矩形，已知点 A 坐标为（0，6） （1）求抛物线解析式； （2）点 E 在线段 AC 上移动（不与 C 重合） ，过点 E 作 EFBE，交 x 轴于点 F请判断 的值是否变化；若不变，求出它的值；若变化，请说明理由 （3）在（2）的条件下，若 E 在直线 AC 上移动，当点 E 关于直线 BF 的对称点 E在抛 物线对称轴上时，请求出 BE 的长度 【分析】 （1）利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）过点 E 作 DGAB 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 G，构造相似三角形
43、BDEEGF， 由该相似三角形的对应边成比例推知从而得到 （3）过点 E作 PQx，FPPQ，CQPQ易证FPEBQE可知 QE4， 结合勾股定理求得 BEBE 第 25 页（共 26 页） 【解答】解： （1）将 A（0，6）代入 ya（x+1） （x9） ，得：a 抛物线解析式为 y（x+1） （x9） ， 整理得：yx 2+ x+6 （2）的值不变 如图所示：过点 E 作 DGAB 交 AB 于点 D，交 x 轴于点 G 四边形 OABC 为矩形， DGOC，BDGC BEEF， DEB+GEF90， GEF+EFG90， DEBEFG 又EDBEGF90， BDEEGF， 将 x0 代入抛物线的解析式得：y6， OA6 由 A（0，6） ，抛物线对称轴为直线 x4，得 B（8，6） ， OC6 第 26 页（共 26 页） （3） 过点 E作 PQx，FPPQ，CQPQ 易证FPEBQE 可知 QE4， FP3则 CQ3，BQ9 BEBE 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要 会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长 度，从而求出线段之间的关系