1、 1 / 15 一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第 2 章第 4 节的内容， 主要考察 方程的思想方法之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解 应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题 列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数 对于含有两个未知数的应用 题一般采用列二元一次方程组求解； 对于含有三个未知数的应用题一般采用列三 元一次方程组求解 本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题， 有利于培养学生 利用数学知识解决实际问题的能力 1、 列方程组解应用题的一般步骤列方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了
2、解已知量和所求量 之间的数量关系； （2）设未知数（元） ； （3）列方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答 一次方程组的应用 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：二元一次方程组的应用 知识知识精讲精讲 2 / 15 【例1】 笔记本每本 3 元，钢笔每支 4 元，共 15 件用去 50 元，设买笔记本 x 本，钢笔 y 支，可列出方程组：_ 【难度】 【答案】 【解析】 【例2】 已知某年级共有学生 568 人， 其中男生人数比女生人数的 2 倍少 5 人 设男生人数 为 x，女生人数为 y，根据题意，可列出方程组为_ 【难度】 【答案】 【解析】 【例3】 某班同学参加运土活
3、动， 女同学抬土， 每两人抬一筐； 男同学挑土， 每人挑两筐 全 班同学共用箩筐 59 只，扁担 36 根设该班女同学有 x 人，男同学 y 人，根据题意，可 列出方程组（ ） A 1 259 2 1 36 2 xy xy B 1 259 2 1 36 2 xy xy C 236 1 259 2 xy xy D 259 236 xy xy 【难度】 【答案】 【解析】 例题解析例题解析 3 / 15 【例4】 汽车从甲地到乙地， 如每小时行驶 40 千米， 则要迟到 3 小时， 每小时行驶 50 千米， 则可早到 2 小时，设甲、乙两地距离 x 千米，原规定时间为 y 小时，可列出方程组： _
4、 【难度】 【答案】 【解析】 【例5】 六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐 45 人，则 15 人没有座位；如果每辆车坐 60 人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例6】 某车间 51 名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件 16 个， 或加工乙种零件 21 个，而一辆轿车需要 5 个甲种零件和 3 个乙种零件才可以配套，为 了每天能配套生产应如何安排工人？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例7】 六年级（1）班、 （2）班各有 44 人，两个班都有一些同学参加课外天文小组， （1） 班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加
5、天文小组的人数的三分之一， （2）班参 加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一问六年级（1） 班、 （2）班没有参加天文小组各有多少人？ 【难度】 【答案】 【解析】 4 / 15 【例8】 山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说： “如果你 的羊跑下来 4 只，那么我们两个人的羊恰好相等 ”山上牧童说： “如果你的羊跑上来 4 只，那么我的羊恰好是你的羊的 3 倍 ”他们到底各赶多少只羊？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例9】 把 48 升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌 满第一个容器和第二个容器各二分之一，求
6、每个容器的容量 【难度】 【答案】 【解析】 【例10】 甲对乙说： “当我的岁数是你现在的岁数时，你才 4 岁 ” 乙对甲说：“当我的 岁数是你的岁数时，你将 61 岁”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例11】 某船顺流下行 36 千米用 3 小时，逆流上行 24 千米用 3 小时，求水流速度和船在 静水中的速度 【难度】 【答案】 【解析】 5 / 15 【例12】 用长方形和正方形纸板作侧面和底面， 做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸 盒， 现在仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板， 问两种纸盒各做多少只， 恰好使库存的纸板用完
7、？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例13】 一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务， 如果他每小时做10个零件， 就可超过任务 3 个，如果每小时做 11 个零件，就可提前 1 小时完成，他加工的零件使 多少个？规定时间是多少小时？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例14】 一批零件 190 个，如甲先做 2 天，然后乙加入合作 3 天正好完成；如果乙先做 3 天，然后甲加入合作 2 天也正好完成问甲、乙两人每天各能做多少个零件？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例15】 小红家去年结余 5000 元，估计今年可结余 9500 元，并且今年收入比去年收入高 15%，支出比去年低 10%
8、，求去年的收入和支出各是多少元？ 【难度】 【答案】 【解析】 6 / 15 【例16】 电信局现有 600 部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申 请的电话数相同如果安排 3 个装机小组，60 天恰好装完，如果安排 5 个装机小组， 20 天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例17】 甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行如果甲比乙先走 2 小时，那么他们 在乙出发后 2.5 小时相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发后 3 小时相遇； 求甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【难度】 【答案】 【解
9、析】 【例18】 甲、乙两人相距 28 千米，若同时同向而行，则甲在 14 小时后追上乙；若相向而 行，乙先出发 2 小时，则在甲出发 2 小时 45 分后相遇，求甲、乙两人的速度 【难度】 【答案】 【解析】 【例19】 两个两位数的和是 68， 在较大的两位数右边接着写上较小的两位数， 得到一个四 位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位 数少 2178，求这两个两位数 【难度】 【答案】 【解析】 7 / 15 【例20】 一商贩第一天卖出鲫鱼 30 千克、草鱼 50 千克，共获利 310 元；第二天卖出鲫鱼 25 千克、草鱼 45 千克，共获利 267
10、 元照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼 700 千克、草鱼 1200 千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例21】 已知某电脑公司有 A 型、 B 型、 C 型三种型号的电脑， 其价格分别为 A 型每台 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元某中学计划将 100500 元全部用于从该电脑 公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选 择，并说明理由 【难度】 【答案】 【解析】 【例22】 从甲地到乙地，先下山然后走平路某人骑自行车从甲地以每小时 12 千米的速 度下山，再以每小时 9 千米
11、的速度通过平路，到乙地共用去 1 小时他回来时以每小 时 8 千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去 1 小时 15 分钟，问甲乙 两地距离多远？ 【难度】 【答案】 【解析】 8 / 15 列方程组解应用题的一般步骤列方程组解应用题的一般步骤 （1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量 之间的数量关系； （2）设未知数（元） ； （3）列方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答 【例23】 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的 7 倍比个位、十位上的数字的和大 2，个位、十位、百位上的数字的和是 14，求这个三
12、 个数 【难度】 【答案】 【解析】 【例24】 小明有 12 张面额分别为 1 元，5 元，10 元的纸币，共计 38 元，其中 1 元纸币的 数量是 5 元元纸币数量的 4 倍，求 1 元，5 元，10 元纸币各多少张？ 【难度】 【答案】 【解析】 模块二：三元一次方程组的应用 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 9 / 15 【例25】 某人某天能加工甲种零件 12 个或乙种零件 10 个或丙种零件 20 个，而甲、乙、丙 三种零件分别取 3 个、2 个、1 个能配成一套要在 10 天内加工最多的成套产品，甲、 乙、丙三种产品各应加工几天？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例26】 某
13、单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树 50 株，乙组植树的株树 是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三 个小组分别植树多少株？ 【难度】 【答案】 【解析】 【例27】 某足球队共参加了 11 场比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，该 队所负场次是所胜场次的一半，结果共得 20 分求该队胜、平、负各几场 【难度】 【答案】 【解析】 【例28】 某同学有 1 元、5 角、1 角硬币共 23 枚，共计 10.10 元，问三种硬币各有多少枚？ 【难度】 【答案】 【解析】 10 / 15 【例29】 汽车在平路上每小时行 30
14、 公里，上坡路每小时行 28 公里，下坡路每小时行 35 公 里，现在去某地有 142 公里的路程，去的时候用 4 小时 30 分钟，回来时用 4 小时 42 分钟那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题1】 甲、乙两人在植树节那天共植树 30 棵，甲的植树数是乙的 1.5 倍若设甲、乙各 值 x 棵，y 棵，则可列方程组为_ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题2】 一个两位数， 个位数字比十位数字的 2 倍大 2， 如果把个位数字与十位数字对调， 所得的两位数比原数大 45，设个位数字是 x，十位数字是 y，可列出方程组 _ 【难度】
15、【答案】 【解析】 【习题3】 22 名工人按定额完成了 1400 件产品，其中高级工每人定额 200 件，初级工每人 定额 50 件，若这 22 名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？ 【难度】 【答案】 【解析】 随堂检测随堂检测 11 / 15 【习题4】 为改善某河的周围环境， 政府决定， 将该河上游的一部分牧场改为林场 改变后， 预计林场和牧场共有 162 公顷，牧场面积是林场面积的 20%请你算一算，完成后林 场和牧场的面积各有多少公顷？ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题5】 已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个 数的和是 8
16、7，且后两数和的 2 倍比第一个数的 7 倍多 3，求这三个数 【难度】 【答案】 【解析】 【习题6】 某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的 2 3 后，由徒工接着完成其余的部分 后，共需 6 小时 40 分钟，如果技术工人完成任务的 1 3 后，由徒工接着完成其余的部分 后，共需 1 7 2 小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？ 【难度】 【答案】 【解析】 【习题7】 用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为 1 : 3 : 2，在乙中 为 2 : 1 : 1，在丙中为 1 : 2 : 5，三种合金共用锌 5.5 千克，铝 8 千克，锡 9.5 千克，求 甲、乙
17、、丙三种合金各自的重量 【难度】 【答案】 【解析】 12 / 15 【习题8】 某个三位数除以它各数位上的数字的和的 9 倍，得到的商为 3，已知百位上的 数字与个位上的数字的和比十位上的数字大 1如果把数位上的数字颠倒，则所得的新 数比原数大 99，求这个三位数 【难度】 【答案】 【解析】 【习题9】 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等如果用 两台抽水机抽水，40 分钟内可抽完；如果用 4 台抽水机抽水，16 分钟可抽完如果要 在 10 分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业1】 甲、乙两班有 88 名学生，如从乙班调
18、25 人到甲班，则甲班人数是乙班人数的 3 倍，设甲班 x 人，乙班 y 人，可列出方程组：_ 【难度】 【答案】 【解析】 课后作业课后作业 13 / 15 【作业2】 某车间有 90 名工人，每人每天平均能生产螺栓 15 个或螺帽 24 个，要使一个螺 栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业3】 小兰在玩具厂劳动，做 4 只小狗、7 辆小汽车用去 3 小时 42 分，做 5 只小狗、6 辆小汽车用去 3 小时 37 分钟平均做 1 只小狗与 1 辆小汽车各用多少时间？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业4】 有甲乙两桶水，若将甲桶中
19、的水倒 2 千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的 3 倍；若将乙桶中的水倒入 1 千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多 8 倍问甲 乙两桶中各有水多少千克？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业5】 一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两 次租用这两种货车情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计运货吨数（单位：吨） 15.5 35 现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货物， 如果按每吨付运费 30 元计算，问：货主应付运费多少元？ 【难度】 【答案】 【解析】 14 /
20、15 【作业6】 某车间有工人 30 人， 生产甲、 乙、 丙三种零件， 每人每小时能生产零件甲 30 个， 或零件乙 25 个，或零件丙 20 个，现用零件甲 3 个、乙 5 个、丙 4 个装配成某种机件， 如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业7】 某厂去年总产值比总支出多 500 万元，而今年计划的总产值比总支出多 950 万 元已知今年计划总产值比去年增加 15%，而计划总支出比去年减少 10%，求今年计 划的总产值与总支出分别为多少万元？ 【难度】 【答案】 【解析】 【作业8】 一个三位数的数字之和为 11， 如果把百位数上的数字与个
21、位上的数字对调， 那么 所成的数比原来的数大 693；如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数 比原数大 54，求原数 【难度】 【答案】 【解析】 【作业9】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶已 知船在静水中的速度为每小时 8 千米，平时逆水行驶和顺水行驶单程所用的时间比为 2 : 1某天恰逢暴雨，水流速度为原来的 2 倍，这条船往返共用 9 小时，问甲、乙两港 相距多少千米？ 【难度】 【答案】 【解析】 15 / 15 【作业10】 甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行当一列火 车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为 42 秒和 34 秒，且在 整列火车通过时两人各自走了 68 米和 44 米，求火车的速度 【难度】 【答案】 【解析】