1、10.比和比例知识要点梳理一、比的意义和性质1.比的意义两个数相除又叫做两个数的比。比的写法和读法:表示数a与数b(b不能为零)的比，写作a:b，也可以写作ab。“:”是比号，读作“比”，所以a:b读作a比b。比的前项和后项:比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。前项除以后项所得的商是比的结果，叫做比值。例如:4 ： 5=45=0.8 前项 比号 后项 比值2.比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变。二、比、分数和除法比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线。比可以写成分数形式，如7:4可读作:七比四。
2、比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:名称比分数除法联系前项分子被除法：（比号）一（分数线）（除号）后项分母除数比值分数值商区别同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。分数是一种数除法是一种运算三、求比值与化简比1.求比值前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。同类量的比，其比值没有单位名称;不同类量的比，其比值有单位名称。例如:100千米:5时=20千米/时2.化简比比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比
3、或比的化简。四、比例的意义和性质1.比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比便的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例配外项，中间的两项叫做比例的内项。例如:2.比例的基本性质在比例单，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。例如:15:60=12:48可得:6012=1548如果把比例写成分数形式，等号两边的分子和分母分别交叉相乘，所得的积相等。五、比和比例的区别名称比比例意义两个数的比表示两个数相除表示两个比相等的式子各部分名称组成比由两个数组成，后项不能为0。一般包含两种情况:表示两个同类量的倍数关系两个不同类量的比产生新的量比例由四个数组成，四个数都不能为0。基本性
4、质比的前项和后项同时除以相同的数(0除外).比值不变。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。六、解比例根据比例的基本性质，如果已经知道比例中的任何三项，就可求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。解比例时，先根据比例的基本性质把原比例改写成两个外项乘积与两个内项乘积相等形式的方程，再用已知的两项的乘积除以另一个已知项求出未知项。七、比例尺1.比例尺的意义图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即，图上距离：实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺2.比例尺的分类数值比例尺：1:200000或1200000线段比例尺：八、比的应用在生活和生产实践中，常常需要把一个量
5、按照一定的比来进行分配。这种分配方式叫做按比例分配。按比例分配应用题的解答步骤:(1)找出或求出要分的总数；(2)根据已知的比求出总分数；(3)按照要分配的各部分占总数的几分之几，分别求出侮一部分是多少。九、正比例和反比例1.成正比例的量两种相关联的笙，一种41变化，另一种里也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数比值(商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。例如，汽车的速度一定，那么它所行驶的路程与所用的时间就成正比例。用字母表达式表示为：yx=k（一定）2.成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种la中相对应的两个数的积一定，这两种量
6、就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例如，火车行驶的路程一定，那么它行驶的时间与行驶的速度就成反比例。用字母表达式表示为:xy=k(一定)口诀:商正积反。即两个量若商(或比值)一定则成正比例关系，若乘积一定则成反比例关系。考点精讲分析典例精讲考点1 比的意义和性质【例1】一个比的前项是8，如果前项增加16,要使比值不变，后项应该( )。A.增加16 B.乘以2 C.乘以3【精析】前项增加16相当于把前项扩大到原来的3倍，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也要扩大到原来的3倍。【答案】C【归纳总结】比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变。考点2 比、分
7、数和除法【例2】9:36=（ ）%=（ ）：（ ）=（ ）（小数）【精析】根据除法与比的关系及比的基本性质，9:36 =1:4;根据比的基本性质及与分数的关系；求出的商用小数表示是0.25，再把小数化成百分数25%。【答案】25、1、4、0.25。【归纳总结】比、分数和除法的关系。比与分数:比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法:比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，比值相当于商，比号相当于除号。考点3 求比值与化简比【例3】化简比和求比值。（1）12:32 （2）2.5:0.45 （3）20分：34时【精析】化简比和求比值。求比值就是用比的前
8、项除以后项所得的商;化简比就是根据比的基本性质，化成最简整数比。【答案】（1）12：32=3:8=38（2）2.5：0.45=250:45=50:9=509（3）20分：34时=20分：45分=4:9=49【归纳总结】求比值是得到一个数值，它可以是整数、分数或小数;化简比得到一个比。不同单位要首先化成相同的单位，再求比值或化简比。考点4 比例的意义和性质【例4】甲数的34等于乙数的23，甲数：乙数=（ ）：（ ）。【精析】比例的基本性质。根据已知条件可得等式:甲数34=乙数23，再根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积来解答。甲数34=乙数23，则甲数:乙数=8:9【答案】8、9【归纳总结】
9、根据等式写比例式，注意相乘的两个数要么同时作为内项，要么同时作为外项。考点5 解比例【例5】解比例。（1）12:18=15:x （2）3.5:x=0.7:5（3）x1+20%=23 【精析】解比例。根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程；再依据等式的基本性质“等号两边同时除以(或乘以)相同的数(0除外)，等式仍然成立”来解答。【答案】(1)12:18=15:x 12x=1815 x=22.5(2)3.5:x=0.7:50.7x=3.55x=25（3）x1+20%=23 3x=21.2 x=0.8【归纳总结】比例方程根据比例的基本性质和等式的性质来解，同时注意“=”上下要对齐。考点
10、6 比例尺【例6】在一副比例尺为1:6000000的地图上，甲、乙两地的距离为3厘米，甲、乙两地的实际距离为( )千米。【精析】已知比例尺、图上距离，求实际距离316000000=18000000【答案】180【归纳总结】已知比例尺、图上距离，求实际距离。厘米化成千米，小数点向左移动5位；千米化成厘米，小数点向右移动5位。考点7 比的应用【例7】水是由氢和氧按1:8的重量化合而成的，90千克水中，含氢和氧( )。A.1千克，89千克 B.8千克，82千克C.10千克，80千克 D.80千克，10千克【精析】比的应用一按比例分配问题。因为氢和氧按1:8化合成水，氢占水的九分之一，氧占水的九分之八
11、，然后用乘法解答。9019=10（千克），9089=80（千克）。【答案】C【归纳总结】本题的关键是分别求出氢和氧占水的几分之几，然后再根据一个数的几分之几的意义，用乘法解答。考点8正比例和反比例【例8】下面每组的两个量中，成反比例的量是( )。A.汽车行驶的时间一定，行驶的速度和路程B.长方形的周长一定，长和宽C.圆珠笔的单价一定，购买的本数和总价D.圆柱体的体积一定，它的底面积和高【精析】辨识正、反比例。判断两种量是否成反比例，要看这两种量相对的数是否乘积一定。A:路程:时间=速度(一定)，是商一定，成正比例关系。B:长+宽=周长:2(一定)，是和一定，不成比例。C:总价:数量=单价(一定
12、)，是商一定，成正比例关系。D:圆柱的底面积x高=体积(一定)，是乘积一定，成反比例关系。【答案】D【归纳总结】两个量，商(或比值)一定成正比例，乘积一定成反比例，和或差一定，不成比例。名题精析【例】(西安某铁一中分班)甲、乙、丙三批货物总价值是2580万元，甲、乙、丙三批货物的数量比为3:4:6，单位质量的价格比为5:4:2，则这批货物中甲值( )万元。【精析】比和比例应用。根据关系式:数量单价=总价，可得这三批货物每种货物的总价比为:(35):(44):(62)=15:16: 12。甲的价值为1515+16+122580=900。【答案】900【归纳总结】本题的关键是求出三批货物的总价值比
13、，再根据按比例分配的方法解答。毕业升学训练一、填空题1.1025=2:5= %= (小数)。2.在一个比例里，两个内项互为倒数，其中一个外项是34，另外一个外项是( )。3.在比例尺为1:2000地图上量得甲、乙两地的距离是36厘米，甲、乙两地的实际距离是( )米。4.根据下面的条件写出最简整数比。已知大圆的直径是4厘米，小圆的直径是2厘米。大圆半径与小圆半径的比是（ ）。大圆周长与小圆周长的比是（ ）。大圆面积与小圆面积的比是( )。5.从学校到家，点点用9分，笑笑用10分，点点和笑笑的速度比是( )。6.A的23等于B的34，A：B=（ ）：（ ）。7.六(1)班女生人数是男生的78，也就
14、是说这个班女生人数与男生人数的比是( )，女生人数与全班人数的比是( )，男生人数与全班人数的比是( )。二、选择题1.把25克糖溶解在100克水中，糖与糖水的质量比是( )。A.1:5 B.1:4 C.4:5 D.不能确定2.下面各组的两个比不能组成比例的是( )。A.7:8和14:16 B.0.6：0.2和3:1C.19:110和10:93.生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效比是( )。A.4:6 B.6:4 C.2:3 D.3:24.化简比的依据是( )。A.比的意义 B.比的基本性质C.比例的基本性质 D.商不变规律5.车轮的直径一定，所行驶的路程和车轮的
15、转数成( )。A.正比例 B.反比例 C.不成比例6.在一幅地图上，用3厘米表示实际距离12千米，这幅地图的比例尺为( )。A.1:4 B.1:40000C.1:4000 D.1:400000三、计算题1.化简求值(1)143:11 (2)300千克:1.2吨(3)0.9:0.6 (4)38：9162.解比例(1)3.5:x=5:4.2 (2)12:x=0.6:4.8(3)0.375:x=120:60% (4)34:56=x:23四、解决问题1.在一个比例尺是1:60的地图上，量得一个正方形花圃的边长是3厘米，这个花圃的实际面积是多少平方米?2.一块长方形草坪的周长是810米，长和宽的比是5:
16、4，这块草坪的面积是多少平方米?3.一台机器3小时加工480个零件，照这样计算，再工作4小时，一共加工多少个零件?(用比例解答)4.一间教室用边长是0.4米的正方形地砖铺地面，需要300块，如果改用边长是0.5米的正方形地砖铺地面，需要多少块?(用比例解答)冲刺提升一、填空题1.(西安某工大附中分班)甲数的34等于乙数的43，乙数与甲数的比值是( )。2.(成都某一中入学)如果x:y=7122，那么x和y,成( )比例。3.(西安某工大附中分班)在比例尺为1:5000000的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是4.5厘米，如果一辆汽车的速度是90千米/时，那么从甲城到乙城需用( )小时。4.(西
17、安某工大附中分班)一个长方体的棱长总和是216厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2，长方体的体积是( )立方厘米。5.(西安高新某中入学)甲厂和乙厂生产的汽车配件数量之比为5:6，汽车配件价格之比为10: 9，两厂的总产值为6240万元，则甲厂的产值为( )。二、选择题1. (成都某一中入学)12a=23b，则a与h的最简整数比是（ ）。A.4:3 B.3:4 C.23:12 D. 12:232.(成都某七中入学)甲比乙多2倍，乙比丙多则甲:乙:丙=( )。A.3:1:2 B.2:1:3 C.3:1:6 D.9:3:23.(西安某工大附中分班)一个圆柱和圆锥的底面直径的比是2: 3，体积比是3
18、:2，则圆柱和圆锥的高之比是( )。A.1:1 B.9:8 C.8:9 D.4:94.(西安某铁一中分班)一个正方形广场占地面积约为2250000平方米，若按照比例尺1: 12000缩小后，其面积比较接近( )。A.一个篮球场的面积B.一张乒乓球台面的面积C.华商报一个版面的面积D.数学课本封面的面积5.(西安某工大附中分班)一个长方形操场长110米，宽65米，画在练习本上，应该选比例尺为( )。A.1:2000 B.1:200 C.1:10000 D.1:4000006. (西安某铁一中入学)下列各题中，两种量成反比例关系的是( )。A.工作效率一定，工作是时间和工作总量B.长方形面积一定，
19、它的长和宽C一段路程一定，已走路程和剩下路程D.三角形的高一定，这个三角形的面积和底7.(西安某交大附中入学)甲的工作量比乙多14，而乙用的时间比甲多15，那么甲、乙两人工作效率的比是（ ）。A.5:4 B.3:2 C.25:24 D.8:5三、解比例1. (西安高新某中入学)118：29=x：6132.(西安某铁一中分班)4x:13=3-x:0.75四、解决问题1.(西安高新某中入学)下表是有关正方体钢块的一些量，哪两种量是成正比例的量，并说明理由。棱长/cm123456底面积/cm2149162536表面积/cm26245496150216体积/cm3182764125216重量/g7.8
20、62.4210.6499.29751684.82. (成都某一中树棵树的入学)甲乙丙三队共植树763棵，已知甲队植树棵树的14等于乙队棵树的15，丙队植树棵树的17等于甲队植树棵树的19，问甲乙丙三队各植树多少棵?10.比和比例毕业升学训练一、1.40 0.4 2.43 3.720 4.2:1 2:1 4:1 5.10:9 6.9 7.7:8 7:15 8:15二、1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D三、1.(1)【解析】原式=(14311)：(1111) =13:1 =13(2)【解析】原式=300千克：1200千克 =1:4 =0.25(3)【解析】原式=(0.90.6):(0.
21、6:0.6) =32：1 =1.5(4)【解析】原式=(38 916)：（916916）=（38169 ）：（916169）=23：1=232.(1)【解析】5x=4.2 x=2.94(2)【解析】0.6x=124.8 x=96(3)【解析】120 x=60%0.3750.05x=0.60.375 x=4.5(4)【解析】56x=3423 x=35四、1.【解析】比例尺是1:60,则正方形花圃的图上边:实际边长=1:60实际边长= 180 厘米实际面积180180= 32400 平方厘米= 3.24 平方米答:这个花圃的实际面积是3.24 平方米。2.【解析】长+宽=8102=405(米)长:
22、40555+4 =225( 米)宽:40555+4 =180(米)面积:225180 =40500( 平方米)答:这块草坪的面积是40500平方米。3.【解析】机器的工效一定,那么工作量和工作时间成正比例。设一共可加工x 个零件。480:3=x:(4+3)3x=480x7x=1120答:一共加工1120个零件。4.【解析】面积一定,那么每块砖的面可积和需要的数量成反比例。设需要x 块边长为0.5 米的地砖。0.42300 = 0.52xx=192答:需要192块边长为0.5 米的地砖。冲刺提升一、1.9: 16 2.正 3.2.5 4.5184 5.3000 万元二、1.A 2.D 3.B 4
23、.D 5.A 6.B 7.B三、1.118：29=x: 613解：29x=118613 29x=139x=3262.4x: 13 =(3-x)：0.75解：1-13x=4x34 1-13x=3 x 103x=1 x=310 四、1.【解析】表面积和底面积成正比例，因为它们的比值定是6。重量和体积成正比例，因为它们的比值一定是7.8g/cm2.【解析】甲队:乙队=4:5，丙队: 甲队=7:9,则甲队:乙队:丙队=36:45:28。甲队:7633636+45+28=252(棵)乙队:7634536+45+28 =315(棵)丙队:7632836+45+28 =196(棵)答:甲队植树252 棵，乙队植树315 棵,丙队植树196 棵。