1、18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。2工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。 （3）工作总量：完成一项工作的总量。一般都是把工作总量看做单位“1”。二、基本数量关系1一般公式：工作总量工作效率工作时间工作效率工作总量工作时间工作时间工作总量工作效率甲工效乙工效甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。2巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。
2、我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率1工作时间。（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。 【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115 ，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。【答案】 把这件工作总量看作单位“1”，1110+115=13+230=116=6（天）【归纳总结】 此题主
3、要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率工作量工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间工作量工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。【
4、答案】 14+15+162-15=37602-15=37120-15=13120 113120=9313（小时）答：乙单独做这件工作需9313个小时完成。【归纳总结】 此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量工作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率。【例3】 一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲、乙、丙三人合作完成此工程。在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天？【精析】 由题意可知，甲、乙、丙三人的工作效率分别为130、145、190，
5、设全部完成共用x天，则甲工作了x2天，乙工作了x3天，丙工作了x天，由此可得方程：130x-2+145x-3+190x=1，解此方程即可。【答案】 设全部完成共用x天，130x-2+145x-3+190x=1130x-115+145x-115+190x=1115x=1715x17答：这项工程前后一共用了17天。【归纳总结】 通过设未知数，根据工作效率工作时间工作量列出等量关系式是完成本题的关键。考点3 工作总量为“2”的工程问题【例4】 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向
6、帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？【精析】 据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至终都在工 作，那么用的时间是2110+112+115=8小时，在这个时间甲完成了一个仓库的1108=45，那么丙运了这个仓库的1-45=15，丙帮助甲用了15115=3小时，则帮助乙的工作用了835小时。 【答案】 三人搬完仓库用时：2110+112+115=8（小时）甲完成了一个仓库的：1108=45则丙运了这个仓库的：1-45=15丙用时15115=3（小时）丙帮助乙的工作用时：835（小时）答：丙帮助甲工作了3小时，帮助乙工作了5小时。【归纳总结】 将
7、两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关键。考点4 注水排水问题【例5】 一水池装有一个进水管和一个排水管。如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完。现在先打开进水管，2小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？【精析】 把池水总量看做整体“1”，则注水速度为15，排水速度为17；打开放水管2时后进水量为152，那么所求时间为12-15215-17，解决问题。【答案】 12-15215-17=110235=110352=134（小时）答：再过134小时池内将积有半池水。【归纳总结】 把池水总量看做整体“1”，表示
8、出注水速度和排水速度是解答的关键。名题精析【例】 （西安某交大附中入学）现有甲乙两种净化水的设备，这两种设备净化水的量m（吨）与工作时间t（时）之间的关系如图所示，现有10吨自来水需要在6小时内（包括6小时）全部净化。若先单独使用乙净水设备一段时间，再加入甲净水设备一起进行净化，问甲净水设备最少工作多长时间可以完成净化任务？【精析】 从图中可以看出，乙前两小时可净化水3吨。后面必须把各自的效率求出来，乙的效率是每小时0.5吨水，甲的效率每小时1吨水。乙在6小时净化5吨，还有5吨需要甲净化，所以需要1小时。【答案】 乙前2小时可净化水3吨，后面每小时净化（43）（42）0.5（吨）0.542（吨
9、）乙在6小时净化325（吨）甲净化设备最少需要（105）15（小时） 答：甲净水设备最少工作5小时可以完成净化任务。【归纳总结】 本题考查了工程问题结合s-t 图，根据题意理解图中所给的条件很关键。毕业升学训练一、选择题1两个修路队5天合修2500米长的一段路，乙队每天修300米，甲队每天修多少米？正确列式是（ ）。A25005300 B（2500300）5 C250030052修一条路，甲队5天修了这条路的13，乙队13天修了这条路的112，（ ）队修得快。A甲队B乙队C一样快 3一个水池装有甲、乙两个进水管，单开甲管12小时将空池注满，单开乙管15小时将空池注满，两管同时打开，几小时可以注
10、满空池？ 正确列式是（）。A1.2（120）B1.2（120） C1（10.510.2）D1.2（120）1.24小明家4天用去一瓶油的14，照这样，这瓶油能用（ ）天。A16B116C15一项工作原来10小时才能完成，现在工作效率提高了25，现在需要（）小时。A7.5 B.8 C.12.5二、填空题1一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是（ ）。2一项工程，甲队单独做需要6天完成，乙队单独做需要8天完成，两队合做1天完成这 项工程的（）。3一项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要12天，两人合做（ ）天完成。4生产同一种零件，甲要16小时，乙要17小时，丙要12分钟
11、，甲乙丙三人中工作效率最高的是（）。5一项工程，甲单独做需14天完成，乙队单独做需7天完成，丙队单独做需要6天完成。现在乙、丙两队合做3天后，剩下的由甲单独做，还要（ ）天才能完成任务。三、解决问题1甲乙两队合修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要12天完成。如果两队合修，几天能修完这条路的12?2一项工程，甲、乙两人合做8天可完成。甲单独做需12天完成。现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为 13，这个工程实际工期为多少天？3把一篇1800字的文章输入电脑，小李需要时间为30分，小王需要45分，现在是16时 10分，如果两人合作，能在16时30分下班
12、完成吗？4一批布料，如全做衣服可做20件，如全做裤子可做30条，若做同样的衣服和裤子可做多少套？5一项工程甲队单独做要20小时完成，乙队单独做要15小时完成，丙队单独做要12小时完成。现在三个队合做3小时后，剩下部分由乙、丙两队合做，还要几小时才能完成？6一项工程，甲队单独做60天完成，乙队单独做48天完成，丙队单独做40天完成。现在由甲、乙两队合做10天，余下的由乙、丙两队合做，还需多少天才能完成？冲刺提升一、选择题1王师傅加工一批零件，12小时加工了这批零件的38，全部加工完还需要（）小时。A.113 B.310 C.34 D.562（成都某中入学）一个空罐（如图）可盛9碗水或8杯水。如果
13、将3碗水和4杯水倒入空罐中，水面应到达位置（ ）。AP B. QC. R D. S3（南昌某中入学）一项工程，甲单独做要20分钟，乙单独做要15分钟，甲的工作效率比乙低（ ）。A33.3 B20 C254（临川某中入学）如图是甲、乙、丙三个工人单独完成一项工程所需的天数，工作效率最 高的是（ ）。A.甲 B.乙 C.丙5（南昌某中入学）服装加工厂加工1500套校服，5天加工了这批校服的25，离交货日期只有一周了，照这样的速度（ ）完成任务。A能 B不能 C无法确定能否二、填空题1打一份稿件，甲打字员单独打要10天，乙打字员单独打要12天。甲打字员打1天，完成这份稿件的（ ）；甲、乙两人合打1天
14、，完成这份稿件的（）；甲打字员打3天的任务，乙打字员要打（ ）天。2甲、乙合做一项工程要6天完成，甲、乙的效率比为21，甲独做（）天完成。3（西安某交大附中分班）母亲节前夕，双胞胎一茹、一诺姐妹俩用红纸折叠桃心送给母亲，一茹单独折完需要10个小时，一诺每小时折24个，她们合作6小时完成任务，则她们共折了（ ）个桃心。4（西安某铁一中分班）六年级1班准备召开毕业联欢会，小军和小强负责布置教室。若两人一起挂彩条，8分钟可以挂完；小军单独完成，则需12分钟。若两人一起摆桌椅，15分钟可以摆完；小强单独完成，则需20分钟完成。两人共同完成这两项工作，最短需要（）分钟。5（南昌某中入学）加工一批零件，如
15、果甲乙合作需12天完成，现在先由乙加工3天，接着再由甲加工2天后，还剩总数的45没有完成。已知乙比甲每天少加工4个零件，这批零件有（）个。三、解决问题1（西安某交大附中入学）加工一批零件，甲单独做30天完成，乙单独做每天完成这批零件的124，现在两人合作，甲中途休息了2天，乙也休息了若干天，这样用了17天才完成任务，求乙休息了几天？2（成都树德中学入学）甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程的天数和工资如下表。工程队单独完成工程用的天数每日总工资/万元甲1018乙1512丙208若从中选择两个工程队合作，尽快完成工程，应选择哪两个工程队？多少天可以完工？完工后这两队各得多少工资？3（西安某中入学
16、）三人合做一批零件。已知甲做了45个，是乙丙之和的59，乙和丙的工作效率比是12，乙丙各做了多少个？4（成都某中入学）一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天完成，现两人合做，完成后共得工资2200元，如果按完成工程量分配工资，甲、乙各分得多少元？5（成都某七中入学）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天，已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？18. 工程问题毕业升学训练一
17、、1. A 2. B 3. C 4. A 5. B二、1. 4:5 2. 7/24 3. 4.8 4. 乙 5. 1三、1. 【解析】1/2（1/10+1/12） =1/211/60 =2 8/11（天） 答：如果两队合修，2 8/11天能修完这条路的1/2 。2.【解析】1/8-1/2=1/24 设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程： 1/8x+1/243x=1 1/8x+1/8x=1 1/4x=1 4+43 =4+12 =16（天） 答：这个工程实际工期为16天。3.【解析】1800（180030+180045） 1800100 18（分钟） 从16时10分到16时30分共有2
18、0分钟； 18分钟20分钟；所以能完成。 答：如果两人合作，能在16时30分下班时完成。4.【解析】1（1/20+1/30） 1（3/60+2/60） 15/60 =12（套） 答：若做同样的衣服和裤子可做12套。5.【解析】设还要x小时完成 （1/20+1/15+1/12）3+（1/15+1/12）x=1 解得x=8/3 答：还需8/3小时才能做完。6.【解析】1-（1/60+1/48）101/48+1/40=13 7/11（天） 答：还需要13 7/11天才能完成。冲刺提升一、1. D 2. A 3. C 4. A 5. B二、1. 1/10 11/60 3 3/5 2. 9 3. 360
19、 4. 18 5. 240三、1.【解析】1/30（17-2） =1/3015 =1/2 （1-1/2）1/24 =1/224 =12（天） 17-12=5（天） 答：乙休息了5天。2.【解析】因为，1/101/151/20，所以选甲乙两队合做。 1（1/10+1/15） =11/6 6（天） 186=108（万元） 126=72（万元） 答：应选甲乙两队合做，6天可以完工，完工后甲队可得工资108万元，乙队可得工资72万元。3.【解析】因为乙和丙的工作效率比是1:2，他们的工作时间一定， 所以乙和丙做的零件的个数比是1:2， 乙做的零件的个数是： 455/91/1+2 =811/3 =27（
20、个） 丙做的零件的个数是： 455/9-27 =81-27 =54（个） 答：乙做了27个，丙做了54个。4.【解析】甲、乙效率比为1/10:1/12=6:5 甲：22006/6+5=1200（元） 乙：22005/6+5=1000（元） 答：甲、乙各分得1200元、1000元。5.【解析】甲乙丙整体完成 乙丙甲多1/2天。丙甲乙多1/2 （1）若中是丙最后完成，最后一次完整循环，三种情况结果一样，矛盾（舍）。 （2）若中是甲最后完成，则中丙最后完成，花1/2天，中甲最后完成1/3天。 设丙一天能完成工作的x，则由=（最后一次循环工作量相等） 1/13=x+1/131/3x=2/39 设乙一天能完成工作的y，则由=：y+x/2=113y=2/39 所以一次循环能完成工作的7/39，由此可知能进行5次循环，剩余4/39与甲最后完成1/3矛盾（舍） （3）若（1）中乙是最后完成，设丙一天能完成工作的x。乙一天能完成工作的y，则 由=：1/13+y=y+x+1/131/2=x+1/13+1/3y x=1/26，y=3/52 所以一次循环能完成9/52，由此可知能进行5次循环，剩余7/52=1/13+3/52,符合 所以甲、乙、丙三人一起做这项工作，需要52/9天。