1、第六讲 立体图形的特征及计算（一）长方体与正方体一、知识梳理1、长方体和正方体的认识 要素立体图形棱面顶点数量特征数量特征数量特征长方体12互相平行的棱长度相等6相对的面完全相同8同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12垂直于正方形面的棱长度相等6两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形8正方体12所有的棱长度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形二、例题精讲例1：（1）判断和填空： 长方体的六个面一定是长方形； ( ) 正方体的六个面面积一定相等； ( ) 一个长方体(非正方体)
2、 最多有四个面面积相等； ( ) 相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 一个长方体中，可能有4个面是正方形。（） 正方体是特殊的长方体。（ ） 有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（ ）（2） 一个长方体最多有（ 2 ）个面是正方形，最多有（ 8 ）条棱长度相等。（3） 一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（ 完全一样的长方 ）形。（4） 正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（相等 ），它的六个面都是相等的（正方 ）形。（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（ 3 ）个面。最少可以看到（ 1 ）
3、个面。2、长方体与正方体的棱长总和公式长方体棱长总和=（长+宽+高）4 长+宽+高=棱长总和4 长方体棱长总和=下面周长2+高4 长方体棱长总和=右面周长2+长4 长方体棱长总和=前面周长2+宽4 正方体棱长总和=棱长12 棱长=棱长和12 例2：（1）看图，并填空单位：厘米这个长方体长( 6 )厘米，宽(3)厘米，高(4)厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是(13 )厘米。棱长总和是(52 )厘米。上下两个面是(长方 )形。（2） 一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（ 3 ）厘米。（3） 有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用
4、铝合金包裹玻璃连接处，需要（ 4.4 ）米的铝合金（4） 把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ 16 ）厘米。（5） 至少需要（ 48 ）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。（6） 一个长方体棱长和164cm，已知长方体的底面周长为72cm，长方体的高是多少cm？ 答：长方体的高是5cm.（7）有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？3020cm20cm 答：一共需要190cm的彩带.3、长方体和正方体的表面积 长方体表面积=（长宽+长高+宽高）2 =（ab+ac+bc）2 =（前面面积+
5、上面面积+右面面积）2正方体表面积=棱长棱长6=aa6=6a2 =任意一个面的面积6 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！例3： （1） 一个正方体的棱长总和是48分米，它的棱长是（4分米），表面积是（ 96平方分米 ）。（2） 一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（24 ）平方厘米，前后两个面的面积各是（18）平方厘米，左右两个面的面积各是（ 12）平方厘米，表面积是（ 108 ）平方厘米。（3）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （48
6、）厘米，六个面中最大的面积是（24 ）平方厘米，表面积是（ 88 ）平方厘米。（4）一个正方体的底面积是64平方厘米，它的表面积是（ 384平方厘米 ）。（5）一个正方体的底面周长是8厘米，它的表面积是（ 24平方厘米 ）。4、长方体表面求法的变形：1 贴商标类型：只求四周面积。例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5cm，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？ 答：需要商标120平方厘米。2 游泳池类型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？ 答：大约需要8200块。3 抽纸盒类型：六个面
7、面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？ 答：做这款抽纸需要758平方厘米硬纸片。4 占地面积问题：只求底面面积。例如：一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？ 答：这个水池占地面积96平方米。5、棱长变化对表面积的影响： 正方体正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 长方体长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。（1）大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，则大正方体表面积是小正方体表面
8、积的（4）倍。（2）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ 扩大4倍 ）。（3）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（ 96 ）厘米，表面积为（ 384 ）平方厘米比原来扩大了（ 4倍 ）。（5）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ 8 ）倍。6、单位换算、体积和容积长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10面积单位：mm2、cm2、dm2、m2 相邻两个单位进率为100体积单位：mm3、cm3、dm3、m3 相邻两个单位进率为1000容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为1000特别的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m不是同一类型的单位，数
9、据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。高级单位进率高级单位的数低级单位低级单位的数进率大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。例4：(1) 3.2立方分米=（ 3200 ）立方厘米 9立方米500立方分米=（ 9.5 ）立方米=（ 9500 ）立方分米3.6升=（ 3600 ）毫升=（ 3600 ）立方厘米 2100毫升（2100 ）立方厘米（2.1 ）立方分米 (2) 一个水池能装水400立方米，这是指（ 水池的容积 ），占地2公顷指的是（水池的占地面积）。 一块橡皮擦的体积约是8( 立方厘米 )。 一本书的封面约是2(平方分米 )。7、长方体与正方体的体积物体所
10、占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh 宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h= Vab正方体的体积=棱长棱长棱长 V=aaa例5：（1）一个正方体棱长2厘米，体积是（8）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（64）立方厘米。（2）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 答：这个长方体的体积是960立方厘米。（3）一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，这个长方体的体积是多少？ 答：这个长方体的体积是64立方分米。（4）有一个长
11、方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？ 答：装得下，水高3.06分米.8、长方体与正方体的容积箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 容积和体积的差异相同点不同点容积计算公式相同V=shV=abh从容器内部测量容积指容器内部体积计量单位通常为L、ml体积从容器外部测量体积指容器外部体积，或所容纳物体的体积计量单位通常
12、为m、dm、cm、mm容积和体积的大小关系一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。 体积大于或等于容积例6：（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（ 34.104立方分米 ），体积是（ 37.5立方分米 ），如果鱼缸中装满水，水的体积是（ 34.104立方分米 ）。（2）一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（ 容积 ）是150立方米。9、正方体的展开图1-4-1型（4种）2-3-1型（3种）2-2-2型（1种）3-3型（1
13、种）10、表面涂色的正方体正方体的6个面涂上了红色，每条棱被平均分成了n份，则有（1） 三面涂色的小正方体有（8）个；（2） 两面涂色的小正方体有（）个；（3） 一面涂色的小正方有（）个；（4） 零面涂色的小正方体有（）个3、 课堂总结长方体和正方体学习内容主要集中侧面积、表面积和体积方面，要求学生对相关运算公式的识记运用较高，必须勤学苦练不断积累方能提升解题应答能力。四、课后作业1、求下面长方体、正方体的棱长总和，表面积和体积。5分米4厘米5分米3厘米8厘米5分米 2、24平方分米=（ ）平方米 3dm3 =( )L 528毫升=( )立方厘米=( )立方分米3、一个正方体的棱长总和是96厘
14、米，则这个正方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米4、正方体的棱长扩大2倍,表面积就扩大( )倍，体积扩大（ ）倍。A、2倍B、4倍C、8倍5、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，表面积会减少了（ ）平方厘米。6、一个长方体棱长和164cm，已知长方体的左面周长为40cm，长方体的长是多少cm？ 7、一个长方体的水池，从里面量长是7.5米，比高长2.1米，宽比高多1.4米，若水池里的水面距水池底0.82米，水池里蓄了多少升水？ 8、一个长方体水槽，长宽高分别是40厘米、30厘米、25厘米，里面装有水，水面的高度是15厘米，把一个不规则的物体放到水里，完全淹没，这时水面上升到17厘米，求这个物体的体积？ 9、一个长方体，如果沿着高减少4厘米，就变成一个正方体，这时，表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？