1、第十讲 找规律和统计、确定位置一、知识梳理我们知道，事物发展变化具一定规律性，只有不断努力观察与深入探索，才可能逐步了解其基本规律并掌握它，从而为解决问题提供更为有效的方法与途径。在日常思维学习及数学竞赛中，会经常出现填数和简单几何图形规律题型，解答此类问题的根本策略就在于熟悉基本算理且正确辨识平面图形的特殊变化。统计是对大量数据信息进行收集整理、分析表述，阐释再应用于决策的一种经济运算活动。数理内容主要包含统计图表的使用，它能行之有效且更为直观地反映数据特征及其变化规律，帮助我们可以把数图有效结合，是最佳的数学应用科学方式之一。确定位置是指从现实生活与某一情境中通过观察、判断，分析及抽象概括
2、出物体所在的准确方向和具体位置，进一步提升数形结合和空间思维能力。1、填数规律找规律中的填数基础题型是指给予我们一些已知的残缺数据或数阵，通过深度观察和分析，逐步探寻出数列规律并完成填数运算。2、图形规律找规律中的图形复合题型是指给予我们某些已知的平面图形，通过加工操作或变形所能得出的可能变化后图形乃至图形推算边角数的规律计算。3、统计图表统计运算中将已有的统计表按照数理运算的核心要求编制成三种统计图用来展示数据特点和反馈解读信息的专有途径。4、数对用来反映横行竖列，依据先列后行的顺序以类似坐标形式体现物体方位的形式之一。5、方位角依据上北下南，左西右东的方位顺序和特殊角度、距离等来定义物体所
3、在位置的方式之一。二、例题精讲例1： 请找出下列各组数排列的规律并根据规律在括号里填上适当的数。 （1）1，5，9，13，（ ），21，25。 （2）3，6，12，24，（ ），96，192。（3）21，4，16，4，11，4，（ ），（ ）。（4）1，1，2，3，5，8，13，21，（ ）。【解析】（1）该题规律是抓住前后两数的公差相等，即等差数列的基本特征定义运算本质；5-1=4,9-5=4,13-9=4,则：（ ）-13=4（ ）=13+4=17。（2）本题规律是把握前后两数的公比（商）相等，即等比数列的基本特征定义运算本质；63=2,126=2,2412=2，则：96（ ）=2（ ）=
4、962=48。（3）该题规律是领会隔数规律，即跳数定义运算本质；21-16=5,16-11=5,11-（ ）=5（ ）=11-5=6；4,4,4( )=4。（4）本题规律是发现第三个数等于前两个数的和，即斐波拉契数列：1+1=2,1+2=3，2+3=5，3+5=8,5+8=13,8+13=21,13+21=（ ）（34）。（1）（ ）=13+4=17，（2）（ ）=962=48，（3）（ 6 ）=11-5；4,4,4( 4 )， （4）13+21=（34）变式1：1，4，9，16，25，（ ），49，64，81。【解析】 该题规律是抓住除0外的自然数的平方或后数与前数的差形成二级奇数等差数列，
5、即12=1,22=4,32=9，n2=62=36或4-1=3,9-4=5,16-9=7,25-16=9，则：（ ）-25=11,49-（ ）=13（ ）=25+11或49-13=36。( )2=62=36,（ ）=25+11或49-13=36变式2：2，3，5，8，12，17，（ ），30，38。【解析】本题规律是把握后数与前数的差形成二级自然等差数列，即3-2=1,5-3=2,8-5=3,12-8=4,17-12=5，（ ）-17=6,30-（ ）=7（ ）=17+6=30-7=23。 （ ）=17+6=30-7=23变式3：1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）。【解析】该题规律
6、是领会双重隔数规律，跳数运算形成公差为4的双层等差数列，即5-1=4,9-5=4,13-9=4，（ ）-13=4（ ）=13+4=17；10-6=4,14-10=4，（ ）-14=4（ ）=14+4=18。（ 18 ）-14=4；（ 17 ）-13=4变式4：5、5、10、15、25、40、（ ）、（ ）。【解析】该题规律是发现第三个数是前两个数的和，即斐波拉契数列，即5+5=10,5+10=15,10+15=25,15+25=40,25+40=（ ），（ ）+40=（ ）（65）+40=(105)。 25+40=（65）+40=(105)例2：（1）请依据前两个圈里三个数的关系，合理推测第三
7、个圈里的（ ）应填数。( )11( )1551218615 （2）下面每个括号内两数均按一定规律组合，请在（）内填上适当数。（9，13），（17，5），（14，8），（ ，16）。（3）根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。13207917859【解析】（1）该题规律是抓住从图圈内数的多角度进行分析运算，主要留意横行规律和斜行规律，我们对比研究，不难发现：横行规律是前数与后数构成公差是3的等差数列，即18-15=3,15-12=3，则（ ）-（ ）=3；斜行规律是左下角数及上角数构成公比是3的等比数列，即186=3,155=3，（ ）11=3（ ）=113=33，而（ 33 ）-（ ）
8、=3（ ）=33-3=30。（2）该题规律是把握括号内前后两数的和值不变定义运算本质，即9+13=17+5=14+8=（ ）+16=22（ ）=22-16=6。（3）该题规律是领会数格内第一列数与第三列数的和等于第二列数的和，即：13+7=20,9+8=17,5+9=（ 14 ）。 （1）113=（ 33 ）-（ 30 ）=3；（2）（ 22-16，16）=（6,16）；（3）5+9=（ 14 ）变式1：请依据前两个圈里三个数的关系，合理推测第三个圈里的（ ）应填数。( )25( )81816102020【解析】该题规律是抓住从图圈内数的多角度进行分析运算，主要留意横行规律和斜行规律，我们对比
9、研究，不难发现：横行规律是前数与后数构成公比是2的等比数列，即2010=2,168=2，则（ ）（ ）=2；斜行规律是上角数及左下角数构成公差是10的等差数列，即20-10=10,18-8=10，25-（ ）=10（ ）=25-10=15，而（ ）（ 15 ）=2（ ）=152=30。 25-10=（ 15 ）2=（ 30 ）变式2：下面每个括号内两数均按一定规律组合，请在（）内填上适当数。（1，3），（5，9），（7，13），（9， ）。【解析】该题规律是把握括号内前后两数的差值呈现二级递增等差数列定义运算本质，即3-1=2，,9-5=4，13-7=6，（ ）-9=8（ ）=9+8=17。（
10、 9，9+8）=（9，17）变式3：根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。2475361261416【解析】该题规律是领会数格内第一列数等于第二列和第三列数和的2倍，即：（7+5）2=24,（12+6）2=36,（14+16）2=（ 60 ）。（14+16）2=（ 60 ）例3：（1）找规律直接填写出括号内的数。19999989=222222（ ）99999（ ）9=333333（ ）99999（ ）9=444444（ ）99999（ ）9=555555（ ）99999（ ）9=666666（ ）99999（ ）9=777777（ ）99999（ ）9=888888（ ）99999（
11、）9=999999【解析】该题规律是抓住括号内应填组合而成的数等于结果的末尾数与9的乘积，即：（ 1 ）99999（ 8 ）9=222222（ 2 ）99999（ 7 ）9=333333（ 3 ）99999（ 6 ）9=444444（ 4 ）99999（ 5 ）9=555555（ 5 ）99999（ 4 ）9=666666（ 6 ）99999（ 3 ）9=777777（ 7 ）99999（ 2 ）9=888888（ 8 ）99999（ 1 ）9=999999 （ 2 ）99999（ 7 ）9=333333（ 3 ）99999（ 6 ）9=444444（ 4 ）99999（ 5 ）9=55555
12、5（ 5 ）99999（ 4 ）9=666666（ 6 ）99999（ 3 ）9=777777（ 7 ）99999（ 2 ）9=888888（ 8 ）99999（ 1 ）9=999999（2）找规律，写算式。3=3+27033=6+271333=9+27123333=33333=333333=【解析】该题规律是把握等式左边的3依次增加1个数位等于右边数第一位按列观察为以3开始公差是3的等差数列加数加上27乘以自然数列依次增加1个顺序数，即：3=3+27033=6+271333=9+27123333=12+2712333333=15+271234333333=18+27123453333=12+
13、2712333333=15+271234333333=18+2712345（3）下列每行数字是按一定规律排列下去，请找出规律并写出第六、七、八行数字。第一行 1第二行 1 1第三行 1 2 1第四行 1 3 3 1第五行 1 4 6 4 1第六行第七行第八行【解析】该题规律是领会如图类似“杨辉三角”数阵，斜侧左右均为数1，从第二行开始前后两个数的和等于下行对应的错位数，即：第一行 1第二行 1 1第三行 1 2 1第四行 1 3 3 1第五行 1 4 6 4 1第六行 1 5 10 10 5 1第七行 1 6 15 20 15 6 1第八行 1 7 21 35 35 21 7 1第六行 1 5
14、 10 10 5 1第七行 1 6 15 20 15 6 1第八行 1 7 21 35 35 21 7 1变式1：找规律直接填写出括号内的数。19+99=100118+989=10001117+9879=10000（ ）+（ ）9=10000001111114+（ ）9=（ ）【解析】该题规律是抓住等式左边包含括号内的数等于1的连续数位增加数加上从9开始倒数至4的连续自然数加上以9为首逐步倒数增加1个数位的连续自然数与9的乘积等于右边自100开头为列形成的公比为10的等比数列结果，即：19+99=100118+989=10001117+9879=10000（ 111115 ）+（ 98765
15、）9=10000001111114+（ 987654 ）9=（ 10000000 ）（ 111115 ）+（ 98765 ）9=10000001111114+（ 987654 ）9=（ 10000000 ）变式2：找规律，写算式。1111=111111=11111111=1111111111=111111111111=【解析】该题规律是把握等式左边为1的连续数位增数先试算三行，再进行演推检验，即：1111=121111111=1232111111111=12343211111111111=123454321111111111111=123456543211111=121111111=12321
16、11111111=12343211111111111=123454321111111111111=12345654321变式3：找规律，在（ ）里填上适当的数。1 2 4 3 6 9 4 8 12 165 （ ）（ ）（ ）（ ） 6 12 （ ）（ ）（ ）（ ）【解析】该题规律是领会如图类似“杨辉三角”数阵，斜侧左1-5列均为数1开始的自然数列、等差为2-4的数列，斜侧右均为数1为首的平方数，即：1 2 4 3 6 9 4 8 12 165 （10）（15）（20）（25） 6 12 （18）（24）（30）（36）例4： 1、将“猫”“狗”“兔”“鸡”“猴”“虎”六个动物名称分别写在六个
17、正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中，判断这个正方体上哪些动物名名称分别写在相对面上。2、按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？3、观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.【解析】（1）该题所给是一组立体图形翻转规律，我们对比分析将发现在这三幅图中，“兔”所在一面始终不改变位置，因此，这三个图的转化只能是前后转动；把第一幅图向前反转一次得到第二幅图，由此可知，“猫”的对面是“鸡”；把第一幅图向后翻转一次得到第三幅图，所以“狗”的对面是“猴”，那么剩下的只有“兔”和“虎”相对。（2）本题属于平面图形顺逆时针旋转规律，我们首先应先观察图中不变的部分，在整个变化过程中，图形中大小
18、两个正方形均未发生变化，因此能够确定空白处的图形一定为大小两个正方形，位置是一里一外，再通过对比分析，不难发现图形变化的主要部分为阴影部分，它在顺时针旋转，根据分析，可得空白处应填图形：（3）该题平面几何图形包含等差增数规律，我们通过图形表现在数量关系上的变化，会得出结论：图中黑三角形的个数从左到右依次增多尤其是从图（2）起，每一张图格比前面一张图格多增两个黑三角形，所以，第（4）个正方形方框中应填七个黑三角形。（1）“猫”的对面是“鸡”， “狗”的对面是“猴”， “兔”的对面是“虎”；（2）；（3）第（4）个正方形方框中应填七个黑三角形。变式1：将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体
19、的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上。【解析】 该题所给同样是一组立体几何图形转化规律。但是，我们应须注意到：由于图（a）、（b）、（c）都是同一个正方体的不同摆法，所以，（a）、（b）、（c）可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置.因此，这三个图形的转化只能是前后转动.把图（a）向后翻转一次（90）得图（b），由此可知，字母A的对面是D，把图（a）向前翻转一次（90）得图（c），所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对.所以，正方体中相对的字母分别是AD、BE、CF。正方体中相对的字母分别是AD、BE、CF变
20、式2：请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。【解析】本题平面图形规律看似复杂，但只要找到合适的方法，就可很快解答出来。仔细观察，我们发现图中阴影的三角形部分从左往右是按逆时针方向旋转90得到；涂黑的梯形部分从左往右是按逆时针方向旋转90得到；而那条线段是按顺时针方向旋转90得到。因此“?”处应画出的图形，如图所示：“?”处应画出的图形是变式3：观察下图中的点群找到规律，请予回答：(1) 方框内的点群包含多少个点？(2) 推测第10个点群中包含多少个点？(3) 前10个点群中，所有点的总数是多少？【解析】（1）数一数，前4个点群包含的点数分别是：1，4，9，16.不
21、难发现，1=11,422,933,1644,按照这个规律，第5个点群（即方框中的点群）包含的点数是：55=25（个）。（2）按发现的规律推出，第10个点群的点数是：1010=100（个）。（3）前十10个点群中，所有的点数是：。（1）第5个方框中的点群个数是25；（2）第10个点群的点数是100个。（3）前10个点群中，所有的点数是385个例5： 1、随着网络的普及，贵阳越来越多的人喜欢到网上购物。某公司对淘宝网站2005年到2008年网上商店的数量和购物顾客人次进行了调查.根据调查结果，将四年来该网站网上商店的数量和每个网上商店年平均购物顾客人次分别制成了折线统计图和条形统计图，请你根据统计
22、图提供的信息完成下列填空：(1)2005年该网站共有网上商店个数；(2)2008年该网站网上购物顾客共有多少万人次?(3)这4年该网站平均每年网上购物顾客有多少万人次?2、贵阳某中学九年级学生在社会实践中，向市区的中小学教师调查他们的学历情况，并将调查结果分别用下图的扇形统计图和折线统计图(不完整)表示.(1)求这次调查的教师总数；(2)补全折线统计图.3、如下图苹果的位置为（2，3），则梨的位置可以表示为（ ， ），西瓜的位置记为（ ， ）。A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（ ， ），C点用数对表示为（，），三角形ABC是（ ）三角形。4、小雨放学回家时，先向（ ）偏（ ）（ ）
23、的方向走到公园，再向（ ）偏（ ）（ ）的方向走到家。【解析】1、（1）由上述折线统计图观察分析可知：2005年该网站共有网上商店个数是20个。（2）2008年该网站网上购物顾客共有45万人次。（3）这4年该网站平均每年网上购物顾客有：（5+10+20+45）4=20万人次。 （1）20个；（2）45万人次；（3）20万人次 2、由上述扇形统计图观察分析可知：(1)总人数=27555=500人，(2)教师中专科学历的人数=50010=50人。(1)总人数=500人；(2)教师中专科学历的人数=50人；3、确定位置分析中，数对构成为竖排为列，横排为行，先列后行；数对的第一个数表示第几列，第二个数
24、表示第几行，从而通过观察确定数对。因此，梨的位置可以表示为（4， 4），西瓜的位置记为（5，1）。A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（5 ，1），C点用数对表示为（3，3），三角形ABC是（等腰三角形）三角形。梨（4， 4），西瓜；A点（1，1），B点（5 ，1），C点（3，3），三角形ABC是（等腰三角形）三角形 4、确定位置分析中，物体所在还可用方位角来表示，从传统上北下南，左西右东基础方位附带一定角度来初步规范定义物体方向和位置。因此，小雨放学回家时，先向（ 北 ）偏（ 东 ）（ 70 ）的方向走到公园，再向（ 南 ）偏（ 东 ）（ 50 ）的方向走到家。小雨放学回家时，先向（
25、 北 ）偏（ 东 ）（ 70 ）的方向走到公园，再向（ 南 ）偏（ 东 ）（ 50 ）的方向走到家。变式1：图，图反映的是综合商场今年15月份的商品销售额统计情况，观察图，图，解答下面问题： 商场各月销售总额统计图 服装各月销售额占商场当月销售总额的百分比 (1)来自商场财务部的报告表明，商场15月份的销售总额一共是370万元，请你写出1条由如上两图获得的信息； (2)商场服装5月份的销售额是多少万元?(3)小华观察图后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗?为什么?【解析】由上述统计图观察分析可知：（1）4月份销售总额为：370-（90+85+60+70）=65万元；(2
26、)7015=10.5(万元)；(3)不同意，因为4月份服装销售额为6516=10.4(万元)10.5(万元)，所以5月份销售额比4月份销售额应是增加了，而不是减少了。（1）4月份销售总额为65万元；(2)5月份的销售额是10.5(万元)；(3)不同意，因为4月份服装销售额为6516=10.4(万元)10.5(万元)，所以5月份销售额比4月份销售额应是增加了，而不是减少了变式2：为保护环境，节约资源，从2008年6月1日起国家禁止超市、商场、药店为顾客提供免费塑料袋，为解决顾客购物包装问题，心连心超市提供了：A.自带购物袋；8.租借购物篮；C.购买环保袋；D.徒手携带，四种方式供顾客选择.该超市
27、把6月1日、2日两天的统计结果绘成如下的条形统计图，6月1 13的统计结果绘制成扇形统计图，请根据图形解答下列问题：(1)根据统计图求6月1日在该超市购物总人次和6月1日自带购物袋的人次。(2)比较两日的条形图，你有什么发现?请用一句话表述你的发现。【解析】由上述统计图观察分析可知：(1)6月1日在该超市购物的总人次为1250(人次)，6月1日自带购物袋的有225人次。 (2)答案不惟一，如“白带购物袋的人增多”、“租借购物篮的人减少”等。(1)6月1日在该超市购物的总人次为1250(人次)而自带购物袋的有225人次。 (2) 答案不惟一，如“白带购物袋的人增多”、“租借购物篮的人减少”等。变
28、式3：如果将ABC向左平移2格，则顶点A的位置用数对表示为（ ） A、（5，1） B、（1，1） C、（7，1） D、（3，3）【解析】确定位置分析中，数对平移规律为列左减右加，行上加下减。则：顶点A的位置用数对表示为（3-2，1）=（1,1），故选A答案。顶点A的位置用数对表示为（A）变式4：学校在盼盼家的（ ）偏（ ）（ ）的方向，距离盼盼家1000米，图上距离是（ ）厘米，那么图上1厘米表示的实际距离是（ ）米，这个平面图的比例尺是（ ）。【解析】确定位置分析中，物体方位依据上北下南，左西右东顺序配合角度和比例尺定义所在。学校在盼盼家的（ 北 ）偏（ 东 ）（ 55 ）的方向，距离盼盼家
29、1000米，图上距离是（ 5 ）厘米，那么图上1厘米表示的实际距离是（ 200 ）米，这个平面图的比例尺是（ 1:20000 ）。（ 北 ）、（ 东 ）（ 55 ），5、200；（ 1:20000 ）三、课堂总结（1）找规律是小学数学和中学数学教学的基本技能，目的是让学生发现、经历、探究图形和数字简单的排列规律，通过比较，从而理解并掌握找规律的方法，培养学生初步的观察、操作、推理能力。小升初找规律奥数题型主要集中数图两个部分，主要通过数列研究、图形规律探索配合细致观察和对比分析准确寻找到突破口，才能迎刃而解。（2）统计图表,也可称为统计图或趋势图,是以统计图的呈现方式,如1柱型图,2横柱型图,
30、3曲线图,4饼图,5点图,6面积图,7雷达图等,来呈现某事物或某信息数据的发展趋势的图形，对统计图表进行系统分析，不仅可以更好地展示数据和反映信息，还能便于分析并提供决策依据。（3）确定位置着重对现实世界和生活中的各类物体所在方位进行准确定位，帮助我们更好提升感官效应和判断物体特征，数对运算、方位角清晰直观，增添数学美感。四、课后作业1、找规律填数：0，1，3，8，21，（ ）。 2、请依据前两个圈里三个数的关系，合理推测第三个圈里的（ ）应填数。830 （ ）420 8512 6 3、下面每个括号内两数均按一定规律组合，请在（）内填上适当数。（2，5），（4，11），（6，17），（ ）。
31、4、根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。31002505703007402305、 【 找规律，写得数。19 =9199 =991999 =99919999 =9999199999 =999991999999 = 6、按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？ 7、下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你是否能找到它们的排列规律？根据规律试把最后一个画出来. 8、下图表示“宝塔”，它们层数虽各不相同，但都是由同样大的小三角形摆成.仔细观察后，请回答：（1）第五层“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？ 9、下列四个统计图中，用来表示不同品
32、种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )。 10、如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )。A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大 11、如下图：如果点X的位置表示为（2，3），则点Y的位置可以表示为（ ）。A、（4，4） B、（4，5） C、（5，4） D、（3，3） 12、下图是某市旅游1号车行驶的路线图，请根据路线图填空。（1）旅游1号车从起点站出发，向（ ）行（ ）千米，到达青水公园，再向（ ）偏（ ）（ ）方向行（ ）千米到达抗战纪念碑。（2）由绿博园向南偏（ ）（ ）方向行（ ）千米到达购物中心，再向北偏（ ）（ ）方向行（ ）千米到达人民公园。