1、第一讲 数与式1、 知识梳理第一部分 数的意义、分类与性质一、数的意义和分类1、数的意义（1）自然数：0、1、2、3、4都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。（2）0：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。0既不是正数，也不是负数。（4）小数：分母是10、100、1000的分数可以写成小数。（5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商
2、可以用分数表示。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。（6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。二、数的联系1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000的十进分数，小数是特殊的分数。3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表
3、示一个具体的数量。4、正数与负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。0既不是正数，也不是负数。三、数的性质1、整除（1）整除与除尽整除：整数a除以整数b(b0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。除尽：数a除以数b(b0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.（2）因数和倍数如果数a能被数b整除(b0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.因数
4、：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.因数和倍数是相互依存的（3）能被2.3.5整除的数的特征能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,:能被3整除的数的特征：个位上是0或5能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除能同时被2、5整除的数的特征：个位是0能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.（4）偶数和奇数一个自然数,不是奇数就是偶数偶数：能被2整除的数。最小的偶数是0奇数：不能被2整除的数.最小的奇数是1.（5）质数和合数质数（素数）：只有1和它本身两个因数。最小的质数是2.合数：除了1和它本身还有别的因
5、数。最小的合数是4.1：既不是质数也不是合数一个自然数根据因数的个数，可以分为1、质数和合数。（6）最大公约数和最小公倍数公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.互质数的几种特殊情况：两个数都是质数,这两个数一定互质.相邻的两个数互质.1和任何数都互质.求最大公约数和最小公倍数如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的最小公倍数.如果两个数互质,它们的
6、最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积.一般情况：可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找，也可以利用短除法去找。2、小数的基本性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。根据小数的基本性质，可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数。3、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。根据分数的基本性质，可以化简分数和通分。第二部分 式与方程一、用字母表示数1、 用字母表示数的意义用字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知量；不仅可以表示特定的数，还可以表示一定范围内变化着的数。含有字母的式子可以看作数量间的关系，也可以看做运算的结果。2、
7、用字母表示数的规则3、 数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“ ”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。当1与任何字母相乘时，1省略不写。在一个问题中，不同的量用不同的字母来表示，而不能用同一个字母表示。用含有字母的式子表示问题的答案时，除法结果一般要写成分数形式；如果式子中有加、减、乘、除运算时，要先进行适当的运算，再用括号把含有字母的式子括起来，并在括号后面写上单位名称。具体问题中，字母表示的数总是有一定范围的。3、用字母表示常见的数量关系如路程、速度和时间的关系（s、v、t）和总价、单价和数量的关系（a、b、c）等4、 用字母表示运算定律和运算性质加法交换律、结合律；乘法交换律、结
8、合律和分配律等5、 用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式。二、简易方程1、方程和等式等式：表示相等关系的式子叫做等式。方程：含有未知数的等式叫做方程。2、解方程。解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。解方程的依据：等式的性质。 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。3、列方程法解决问题的一般步骤弄清题意，确定未知数并用x表示（也可以用其他字母表示）。找出题中的数量之间的相等关系。列方程，解方程。检查或验算，写出答案。2、 例题精讲例1：如果把平均成绩记为0分,12分表示比平均成绩（12），25分表示（比零
9、少25分），比平均成绩少6分，记作（-6 ）。解析：此题是对负数的概念的理解及掌握，以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。变式1：某班学生平均成绩为89分，如果把平均成绩记作0分，小明得了92分应记作（+3分），小军得了86分应记作（-3分），小兰得了95分应记作（+6分）。变式2：如果把公交车上车人数记作正数，下车人数记作负数，公交车经过第一、二、三、四站时分别记作+3、-4、+5、-3、+2，问公交车过了第四站后车上的人数比原来的人数多了还是少了？为什么？ 解： （3+5+2）-（4+3） = 10-7 =3（人） 答：公交车过了第四站后车上的人数比原来的人数多了3人。例2
10、：由5个十分之一，7个千分之一组成一个小数，这个小数是（ 0.57 ），18个10和25个0.01组成的数是（180.25）。 解析：主要是对小数的定义的运用，小数就是分母是10、100、1000的十进分数，小数是特殊的分数变式1：2个十、3个十分之一和5个千分之一组成的数是（20.35 ），读作（二十点三五）。变式2：一个数的十位上是3，十分位上是3，千分位上是8，其余各位上都是0，这个数是（ 30.38 ）。例3：1. 某小学参加课外小组的同学有100人，参加各个小组的人数如下表。 美工组音乐组舞蹈组体育组人数15352624占课外小组总人数的百分比15%35%26%24%解析：百分数的定
11、义应用，表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。变式1：我们学校进行团体操表演，女生人数占55%。（1）如果有100人参加表演，女生有（ 55 ）人，男生有（ 45 ）人。（2）如果有200人参加表演，女生有（ 110 ）人，男生有（ 90 ）人。（3）如果女生有220人参加表演，男生有（ 180 ）人参加表演。变式2：说一说下面这些百分数的意义。（1）一件毛衣， 100%是山羊绒。 答：100%是指山羊绒占整件毛衣总量的百分之一百。（2）空气中氧气体积约占20%。 答： 20%是指氧气体积占空气体积总量的百分之二十。（3）我校女教师人数约占全校总人数的150
12、%。 答： 150%是指我校女教师人数约占全校总人数的百分之一百五十。（4）一种黄酒的酒精度12.1%。 答： 12.1%是指酒精占这种黄酒总量的百分之十二点一。例4：试一试。(1)比x多5的数是(x+5)；x的6倍是(6x)；比x的7倍多4的数是(7x+4)。(2)小华买8本书，每本x元，付出45元，应找回(45-8x)元。解析：把x看作已知数，搞清x与数的关系用运算符号连起来，特别注意x与数相乘时数要写在字母前，而且数与字母中间的乘号省略不写。变式1：用字母式子表示下面的数 1、一本书X元,买10本同样的书应付多少元？ 答：10x 2、搭一个正方形要4根小棒，搭n个正方形要多少根小棒？ 答
13、：4n 3、仓库里有一批水泥，运走5车，每车n吨，一共运了多少吨水泥？ 答：5n变式2：用字母式子表示下面的数量关系 1、 从100里减去a加上b的和。 2、x除以5的商加上n。 答：100-a+b 答：5+n 3、320减去12的m倍的差。 4、80加上b的和乘以5。 答：320-12m 答：（80+b）5例5：解方程 X X= 2X + = 70%X + 20%X = 3.6解： 解： 2x= 解： 0.7x+0.2x=3.6 2x= 0.9x=3.6 x= x=4 解析：解方程的依据：等式的性质。 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的
14、数，所得结果仍然是等式。变式1：解方程 X=20 25% + 10X = X - 15%X = 68 解：x= 解：0.25+10x=0.8 解：x-x=68 X=5 10x=0.8+0.25 x=68 X= X=0.105 x=80变式2：解方程 XX121 5X3 X1解： 解： 5x-= 解： X=121 5x= x= X=88 x= x= 例6：鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚170只，鸡兔各有几只？（用列方程的方法解答) 解：设兔子有x只，则鸡有x+25只 4x+2（x+25）=170 4x+2x+50=170 6x=120 X=20 鸡的只数：20+25=45（只） 答：笼中鸡有
15、45只，兔子有20只。 解析：列方程法解决问题的一般步骤弄清题意，确定未知数并用x表示（也可以用其他字母表示）。找出题中的数量之间的相等关系。列方程，解方程。检查或验算，写出答案。设兔子有x只，则鸡有x+25只，鸡的脚的只数加上兔子的脚的只数等于170只，列出方程4x+2（x+25）=170解出x即可。变式1：鸡兔同笼，共52只，鸡的脚比兔的脚多32，问鸡兔各几只？（用列方程的方法解答) 解：设鸡有x只，则兔子有52-x只 2x-4（52-x)=32 2x-208+4x=32 6x=240 X=40 兔子的只数：52-40=12（只） 答：鸡有40只，兔子有12只。变式2：今有鸡、兔共居一笼，
16、已知鸡头和兔头共35个，鸡腿和兔腿共94只，问鸡兔各多少只？（用列方程的方法解答) 解：设兔子有x只，则鸡有35-x只 4x+2（35-x）=94 4x+70-2x=94 2x=94-70 x=12 鸡的只数：35-12=23（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。三、课堂总结1、或根据题意正确用字母表达式，找出字母与数之间的关系；2、能解复杂的方程，正确找出应用题中的等量关系，列方程并解方程。四、课后作业1、在足球比赛中会出现2:0的情况，说明我的比的后项可以为0 ，这种说法对吗？为什么？ 答：错，比的后项不能为0，比是指两个数相除，除数不能为0，比赛中的2:0是表示足球比赛的进行情况，清楚的
17、反应比赛的进度。2、 一根绳子分成两段，第一段为米，第二段为，问这两段绳子哪段长？ （ A ） A、第一段长 B、第二段长 C、两段一样长 D、无法比较3、 两段绳子，第一段剪下米，第二段剪下，问剪下的两段绳子哪段长？ （ D ) A、第一段长 B、第二段长 C、两段一样长 D、无法比较4、甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨，以后甲仓每天存人4吨，乙仓每天存人9吨几天后乙仓存粮是甲仓的2倍? 解：设X天后，乙仓存粮是甲仓的2倍 （32+4X）2=57+9X 64+8x=57+9x X=7 答：7 天后乙仓存粮是甲仓的2倍。5、一把直尺和一把小刀共1.9元，4把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和每把小刀各多少元? 解：设直尺每把x元，小刀每把就是(1.9-x)元 4X+6(1.9-X)=9 4x+11.4-6x=9 2.4=2x X=1.2 小刀：1.9-1.2=0.7（元） 答：一把小刀0.7元，一把直尺1.2元。6、甲、乙两个粮仓存粮数相等，从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后，甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍，原来每个粮仓各存粮多少吨? 解：设原来每个粮仓各存粮X吨 X-130=（X-230）3 X-130=3x-690 690-130=3x-x 560=2x X=280 答：原来每个粮仓各存280吨。