1、6.混合运算和简便运算知识要点梳理一、四则混合运算的顺序同级运算(只含有加减，或只含有乘除)，从左到右依次计算；含有两级的运算，先算二级(乘除)，后算一级(加减)；算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号，最后算中括号外面的。二、四则混合运算定律1.加法交换律:a+b=b+a，即交换两个加数的位置，和不变。2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)，即先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变。3.乘法交换律:ab=ba，即交换两个因数的位置，积不变。4.乘法结合律:(ab)c=a(bc)，即前两个数先乘，或后两个数先乘积不变。5.乘法分配律:(ab)c=acbc，即两个数的和与一个
2、数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。逆运算:abac=a(bc)。6.减法性质:a-b-c=a-(b+c)，即一个数连续减去两个数可用这个数减去这两个数的和。7.除法性质:abc=a(bc)，即一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个除数的积。三、分数运算几种常用的间算方法1.裂项公式:这是对分配律的逆向运用，常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式:(1)分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时：n+n+1nn+1=1n+1n+1(2)分母为两个相邻自然数的积时:1nn+1=1n-1n+1(3)分母是差为a（a0）的两个自然数的积时：1nn+a=1n-1n+11a2.数字变形法
3、:这是一种从数字特点出发，创新变形，巧妙地运用运算性质，根据规律达到简算目的的方法，如:19971998较接近1，可将其转化为1-11998，然后根据情况运用适当的方法。考点精讲分析典例精讲考点1四则混合运算顺序的运用【例1】计算：223216-1.61.25135【精析】本题含有小括号中括号，按照运算顺序，先算小括号里面的乘法后算减法，再算中括号，最后算中括号外面的除法。此外要掌握小数分数的互化。【答案】223216-1.61.25135=223216-2135 =2231685 =83154 =10 【归纳总结】掌握有括号的混合运算顺序是解题的关键，其次要会小数与分数的互化。考点2应用加法
4、运算律的简便运算【例2】计算:4.75-9.63+(8.25-1.37)【精析】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质:a-b-c=a-(b+c),使运算过程简便。【答案】原式=4.75+8.25-9.63-1.37=13-(9.63+1.37)=13-11=2【归纳总结】熟练掌握去括号和减法的性质是解本题的关键。考点3 应用乘法运算律的简便运算【例3】计算：3333871279+7906666114【精析】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。【答案】原式=333387.579+79066661.25 =33338.75790+79066661.2
5、5 =(33338.75+66661.25)790 =100000790 =79000000 【归纳总结】做此类题，先把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。考点4 拆分法计算分数运算【例4】计算:99+9716+95112+93120+91130+89142+87156+85172+83190+811110【精析】本题属于典型的带分数计算，一般分成分数加整数，整数部分99+97+95+利用等差数列求和公式，分数部分是典型的列项公式的应用，分项计算再合并即可。【答案】99+97+95+85+83+81+16+112+120+130+190+1110=99+81102+12-1
6、3+13-13+14-14+15-19+110-111 =900+12-111 =900922 【归纳总结】根据各项的特点，把分数拆开，把通项公式写成前后能消去的形式，消去中间部分。考点5 混合简便运算【例5】计算：（1）2356235623562357（2）122+142-1+162-1+11002-1（3）1+12+13+1412+13+14+151+12+13+14+1512+13+14【精析】(1)此题构思巧妙，新颖别致。要仔细观察，抓住特点，巧妙解答，若按常规算法太复杂，这里面把除数化为假分数时，分子不必算出来，其分子部分23562357+2356=23562358，其中2356可与
7、被除数中的2356约分。(2)本题难点忽略12=1，将其中一项利用平方差公式展开再利用裂项公式：1nn+a=1n-1n+11a得：122-1=12-12+1=113=1-1212以此类推本题就解出来了。(3)这道题算式都较长，要进行简算，就得整体观察，寻找规律，合理分组变换。数字可分为四个数群，将每一数群中相同的几个数可用一个字母来表示，使算式相同。【答案】（1）2356235623562357=235623562357+23562357 =2356235723562357+2356 =2356235723562357+1 =23572358 （2）122+142-1+162-1+11002-
8、1=12-12+1+14-14+1+16-16+1+1100-1100+1=113+135+157+199101 =121-13+13-13+15-17+199-1101 =121-1101 =50101 （3）设12+13+14=a，12+13+14+15=b，原式=1+ab-1+ba =b+ab-a-ab =b-a=15【归纳总结】熟练掌握常用方法:变形约分法，裂项消项法，整体代换法。名题精析【例】(西安某铁一中分班)934+9934+99934+999934【精析】本题不难看出，碰到9要凑整十整百数，将934写成10-14即可，以此类推，都可以写成一个整数减一个分数14，然后整数与整数结
9、合分数与分数结合。【答案】934+9934+99934+999934=10-14+100-14+1000-14+10000-14 =11110-1 =11109 【归纳总结】本题凑整法比较实用，把一个分数写成一个整数减另一个分数。毕业升学训练一、填空题1.用字母表示加法结合律是（ ），乘法分配律是( )。2.根据运算定律填写。680-173-27=680-(173 27 )(28 )4=28(25 )12599=125(100- )18a-a8= .3.在横线上填上合适的数，在切里填上合适的运算符号。316+58+42=316+（ ）298-35+165=298-（ ）100254=100（
10、）5619+4419=（ ）4.指出下列各题的简便运算运用了什么运算定律或运算性质。(1)436+(564+329)=1000+329 ( )(2)78101=78(100+1)=7800+78 ( )5.在里填上适当的数。（1）1(6-2.8)=0.125（2）145-15=36.算式1476523875=825中有一个运算符号写错了，把他改成正确的算式是：（ ）。7.若A45B=C75%=E23=D32,则A，B，C，D，E从小到大依次是（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）。8.小明在计算5.a+b.9时，错算成了8.a+b.6，结果是10，那么5.a+b.9=( )。9.在下面式子中的里填上合
11、适的运算符号，使等式成立。(1)50.8-(20+9.60.4)5=34(2)16.2417-1200700127=8.1(3)14.7(1.6+1.9)1.4=3(4)78-100=(204.5) 2(5)122318+14=2(6)81542531015=623二、判断题1.ABC=A(BC)( )2.7899=78100-99 ( )3.24+42+76+58=(24+76)+(42+58)( )4.整数乘法运算律，对小数乘法也同样适用。（ ）三、计算题1.计算。(1)123+35+367 (2)30143(3)12548 (4)5632+68562.脱式计算(能简算的要简算)(1)42
12、-613-713 (2)14+16-1312(3)1-413-1.7523.5(4)844191.375+1055190.93.求711667+611556+511445+411334+311223-1的值。冲刺提升一、填空题1.(西安高新某中入学)计算:714114=（ ）2.(西安某工大附中分班)1与一个数的倒数的差是57，这个数是（ ）。3.(西安某工大附中分班)用4.02乘以一个两位数，得到的乘积是一个整数，那么这个乘积的10倍是( )。4.(西安高新某中入学)如果201520162017=2017-a，则a=（ ）。5. (西安某铁一中分班)小英比小明小5岁，今年他们的年龄和是老师年
13、龄的一半，再过巧年，他们的年龄和等于老师的年龄，今年小英的年龄是( )岁。二、(西安某交大附中入学)计算题1.99989+9989+989+132.212016534+7201520165.7557123.131+3023131+121212313131+17171717313131314.8457.8+142.75+1.255. 1+12+1201512+13+12016-1+12+1201612+13+120155.混合运算和简便运算毕业升学训练一、1.(a+b)+c=a+(b+c) (a+b)c=ac+bc 2.+ 25 4 1 a 10 3.58 + 42 35 - 165 25 4
14、56 + 44 4.加法结合律 乘法分配律 5.（1）2.5 （2）23 6. 1476523875=825 7. E A B C D 8.7.3 9. - + 二、1. 2. 3. 4.三、1.【解析】(1) 123 +35+367 =123+367+35 =490+35 = 525 (2)30143 =(300+1) 43 =30043+143 =12900+43 =12943 (3)12548 =12586 = 10006 =6000 （4）5632+6856 =56（32+68） =56100 =5600 2.【解析】（1）42-613-713 =42-（613+713） =42-1
15、=41（2）（14+16 - 13）12=1412+1612-1312=3+2-4=1（3）1-(413 -1.752)3.5 =1-(413 -3.5)3.5 =1+3.5-41327 =121（4）844191.375+1055190.9 =（84+419）118+（105+519）910 =115.5+1138 +94.5+938 =115.5+94.5+（1138+938） =210+1019 =2101019 3.【解析】711667+611556+511445+411334311223 -1 =（70+76）67 +（60+65）56+（30+32）23 1 =7067+7667+
16、6056 + 6556+3023+3223-1 =60+50+40+30+20+15-1 =204冲刺提升一、1. 128 2. 72或712 3.2010 4. 20172016 5.5二、1.【解析】原式=99989+19+9989+19+989+19 =1000+100+10 =11102.【解析】原式=5.751057.5=13.【解析】原式=131+101331101 +12101013110101 + 171010101311010101 =131+331+1231+1731 =33314.【解析】原式=8.8（7.8+144） =8.88.8 =1 5.【解析】设12+12015=B 12+13+12016 =A 原式=（1+B）A-(1+A)B = A+AB-B-AB =A-B =12016三、【解析】由题意得甲数=153550%=18