1、导数小题知识点综合第4讲 知识结构图知识梳理1导数的概念平均变化率瞬时变化率某点的导数在一点可导在区间上可导导函数2导数的几何意义：曲线过点的切线的斜率等于3常见函数的导数公式：（为常数）；（，且） 4两个函数的和、差、积、商的求导法则：法则1 法则2 法则3 复合函数的求导法则：5导数的应用利用导数判断单调性；利用导数研究函数的极值与最值6定积分定积分的概念：曲边梯形面积的极限，为的最大值微积分基本定理：，其中真题再现（2013年北京）直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（ ）AB2 CD【解析】 C小题热身 1、 设，若，则（ ）A B CD【解析】 B； 2、 若函数
2、满足，则（ ）A B C2 D0【解析】 B； 3、 观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则（ ）ABC D【解析】 D； 4、 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）【解析】 A； 5、 设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）A B C D【解析】 B； 6、 已知函数是偶函数，在上导数图象如图所示，则（ ）A BC D【解析】 B； 7、 设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）ABCD【解析】 B； 8、 已知定义在上的可导函数满足，则（ ）A B C D【解析】 C 9、 已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（
3、）A BCD 【解析】 B 10、 由曲线和直线，所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（ ）ABCD【解析】 D；经典精讲考点1：导数的概念与运算【例1】 设，则 ；求下列函数的导数：； ；已知函数，则的值为 ，则的值为_【解析】 ；略； ；【拓1】 已知函数的导函数的部分图象如图所示，且导函数有最小值，则 ， 【解析】 ；考点2：导数的几何意义【铺垫】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（ ）【解析】 A；【例2】 函数在点处的切线方程为 若曲线在点处的切线方程是，则_； 过原点作曲线的切线，则切点的坐标为_，切线的
4、斜率为_； 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线方程为_；【解析】 ； ；，； ；【拓2】 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 直线（为自然对数的底数）与两个函数，的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是_曲线过点的切线方程是_【解析】 ；或考点3：导函数的图象【例3】 已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） 函数的图象大致是（ ）已知函数的图象如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）ABCD已知函数，则的图象大致为（ ）A B C D【解析】 A；A；B；B【拓3】 若偶函数定义域为，在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）A BC D【解析
5、】 B；【例4】 如图为函数的导函数的图象，则函数的极大值点为 ，极小值点为 已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么 ；函数在的极大值点为_；极小值点为 设函数，若当时，有极值为，则 【解析】 ，；，； ；考点4：求导公式的逆用【例5】 设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有（ ）A BC D已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：（）；若，则使成立的的取值范围是（ ）A B C D 是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则必有（ ）A B C D【解析】 A；B；A；考点5：定积分【铺垫】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）
6、行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是（ ）A在时刻，甲车在乙车前面B时刻后，甲车在乙车后面C在时刻，两车的位置相同D时刻后，乙车在甲车前面【解析】 A；【例6】 计算下列定积分的值：；（2010年宣武一模理8）设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，的值为（ ）A B C D【解析】 ； D；课后习题一、选择题 1、 设，函数的导函数是，且是奇函数若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）A B C D【解析】 D； 2、 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）A1 B2 C D【解析】 B； 3、 设，若函数（）有大于
7、零的极值点，则（ ）ABCD【解析】 A； 4、 由直线，曲线及轴所围图形的面积是（ ）ABCD【解析】 D；二、填空题 5、 （2010丰台一模文12）函数的图象在点处的切线方程是 【解析】 ； 6、 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为 【解析】 ； 7、 已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_【解析】 ； 8、 设函数若，则的值为_【解析】 ；三、解答题 9、 已知定义在上的可导函数满足，且，求证：【解析】（其中为常数）而，于是，从而 10、 已知函数与函数 若，的图象在点处有公共的切线，求实数的值； 设，求函数的极值【解析】 综上，当时，函数在上无极值；当时，函数在处取得极小值9