1、第2讲 你问问函数同意不 满分晋级 导数1级导数，我们在一起吧导数3级导数的运算与几何意义导数2级你问问函数同意不新课标剖析当前形势导数及其应用在近五年北京卷（理）中考查1314分高考要求内容要求层次具体要求ABC导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第18题14分第18题13分第18题13分第18题13分第18题13分2.1利用导数分析函数的单调性知识点睛利用导数判断函数的单调性的方法如果
2、函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数；如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数【教师备案】对于函数，若，则为增函数（减函数）；反之，若为增函数（减函数），则恒成立，且不恒等于零经典精讲考点1：函数单调性与其导函数正负的关系【教师备案】选修2-2A版教材引入方式1.如下图，函数图象的切线的斜率（即导数）的正负可以反映函数的单调性 导数表示函数在点处的切线的斜率.在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减.2.已知导函数的下列信息：当时，；当或时，；当或时，试画出函数的大致形状【教师备案】选修2-2B版
3、教材引入方式函数在区间上的平均变化率为依据函数单调性的定义：若，则函数在给定区间上为增函数；若，则函数在给定区间上为减函数从导数的角度看： 若，则函数在给定区间上为增函数；若，则函数在给定区间上为减函数因此我们可以用导数作工具来研究函数的性质【铺垫】老师可以以此铺垫给学生讲解导函数的正负与原函数单调性的关系求下列函数的导函数，并画出导函数的图象，观察导函数的正负与原函数单调性的关系【解析】 导函数的图象为： 从导函数的图象我们可以看出，当导函数大于零时，原函数是单调递增的；当导函数小于零时，原函数是单调递减的.【例1】 根据导函数图象判断原函数图象（2010石景山一模文理7）已知函数的导函数的
4、图象如右图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）【解析】 A由的图象知在与上单调递减，在上单调递增考点2：从导数角度解释函数增减的快慢【教师备案】函数图象如图1、2所示，由图3、4可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数的相应增量，越来越大；函数的相应增量，越来越小图1 图2 图3 图4从导数的角度来看：，为增函数；，为减函数图象特点：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）如果一个函数在某一区间内导数的绝对值越来越大，那么对应的函数图象就越来越陡峭反之，就越来越平缓【铺垫】如图，水以恒速（即单位时间内注水的体积相同）注入
5、下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象【解析】 以容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快.反映在图象上，（）符合上述变化情况，同理可知其他三种容器的情况.B； A； D； C【例2】 函数的增长速度 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（ ） 如左图所示，液体从球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中，开始时漏斗中盛满液体，经过3 分钟漏完，已知烧杯中液面上升的速度是一个常量，是漏斗中液面下落的距离，则与下落时间（分）的函数关系用图象表示可能
6、是右图中的（） 【解析】 曲线的切线的斜率表示汽车的速度，由题意知，速度先增加，再保持不变，最后减小，故由曲线的斜率变化知选A也可根据汽车匀加速行驶，匀速行驶，减速行驶，结合函数图象得到每当增加一个单位增量，的变化开始增量越来越小，经过中截面后越来越 大，故关于的函数图象是增加先变缓后变陡，因此选D考点3：求函数的单调区间【教师备案】求可导函数单调区间的一般步骤和方法第一步：确定函数的定义域；第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；第三步：把函数在间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；第四步：确定在各个
7、小区间的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间的增减性.【注意】函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式； 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可用“，”或“和”连接.提高班学案1【铺1】 确定函数在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？【解析】 ，令，解此不等式，得或.因此，已知函数在区间和内是增函数；令，解此不等式，得.因此，已知函数在区间内是减函数.尖子班学案1【铺2】已知函数求函数的单调区间【解析】 函数的定义域为由，解得由，解得的单调递增区间为，单调递减区间为【例3】 求单调区间求下列函数的单调区间；【解析】 ，令得或，函数的单调递增
8、区间为和，令，得，函数的单调递减区间为 函数的定义域为，又，令得，的单调递增区间为，令得，的单调递减区间为. 目标班学案1【拓3】 已知函数，求函数的定义域及单调区间【解析】 函数的定义域为由，解得由，解得且的单调递增区间为，单调递减区间为和求函数的单调区间【解析】 函数的定义域为，当时，因为，所以，所以在上单调递增；当时，令，解得；令，解得此时函数的单调递增区间是，单调递减区间是综上所述：当时， 的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是提高班学案2【铺1】 若与在上都是减函数，对函数的单调性描述正确的是（ ）A在上是增函数 B在上是增函数C在上是减函数 D在上是增函数，在
9、上是减函数【解析】 C由题意知：，于是对任意成立，故选C【例4】 已知函数单调性，求参数范围设函数在其定义域内为增函数，求的取值范围【解析】 ，的定义域为若在其定义域内为增函数，所以对恒成立（）方法一：分离参量法（）可以转化为对恒成立，即，对恒成立令，故的最大值为，即方法二：分类讨论方程的判别式，当，即时，在内恒成立，此时为增函数当，即或时，要使在定义域内为增函数， 只需在内有即可，设，由得，所以 由可知，若在其定义域内为增函数，的取值范围是尖子班学案2【拓2】 已知函数，若在上是增函数，则的取值范围为 【解析】 ，若在上是增函数，只需在上，恒成立，即恒成立在上，有，故只需综上，时，函数，是增
10、函数目标班学案2【拓3】 已知函数不存在单调递减区间，求a的取值范围【追问】若改为存在单调递减区间，则a的取值范围是多少【解析】 函数的定义域为，因为函数不存在单调递减区间，所以在上无解，从而在上无解 当时，为开口向上的抛物线，总有正解，故存在单调递减区间，不符合题意； 当时，为开口向下的抛物线，要使 在上无解，则，解得综上所述，的取值范围为【追问】函数的定义域为，因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，从而有正解 当时，为开口向上的抛物线，总有正解； 当时，为开口向下的抛物线，且，要使 总有正解，只需，解得综上所述，的取值范围为2.2利用导数分析函数的极值与最值知识点睛1.利用导数研究函数的
11、极值：已知函数，设是定义域内任一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取极大值，记作并把称为函数的一个极大值点如果在附近都有，则称函数在点处取极小值，记作并把称为函数的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点【教师备案】老师可以借助经典精讲中的【铺垫】来讲解函数的极值，先让学生自己观察，然后老师再来总结极值，并总结极值中应注意的方面.我们可以从以下几个方面理解概念：极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有
12、必然的大小关系.即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小.函数的极值点的导数为，但导数为的点可能不是函数的极值点.也就是说，若存在，是在处取得极值的必要条件，但不是充分条件.比如在处，但不是函数的极值点，所以一定要注意点的左右变化趋势若在区间内有极值，那么在内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.如果函数在上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地，当函数在上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点、极小值点是交替出现的.2.求函数的极值的方法确定函数定义域求导数；求方程的根；检查在方
13、程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值【教师备案】使无意义的点也要讨论.即可先求出的根和使无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.3.求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数在内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【教师备案】老师在讲最值时，也可以继续以【铺垫】为例，问学生在一个区间上的最值，并提出需要注意
14、的几点.在理解函数最值时，需要注意以下几点：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值，比如说，某位同学在班里的成绩最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最
15、大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值.经典精讲【铺垫】如图所示，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？【解析】 以两点为例，我们可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.其它的点老师可以自由发挥，随便问学生.考点4：与极值相关的图象问题【例5】 与极值相关的图象问题函数的导函数图象如图所示，则函数在图示区间上 （ ）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两
16、个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点（2010朝阳二模6）函数的图象大致是（ ）【解析】 C因为导函数的图象与轴的四个交点处都是穿过的，所以都是极值点，根据正负变化情况知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点（从左到右），故选CA由，于是在点取得极值A，B，C，D中仅A符合另外此题也可以根据单调性和极值点来分析考点5：求函数的极值与最值【铺垫】用导数法求函数的极值【解析】 函数定义域为令，得或函数的单调递增区间为和；令，得且，函数的单调递减区间是和，的变化情况如下表：极大值极小值在时取得极大值，在时，取得极小值【例6】 求函数的极值与最值已知函数求的极
17、值；求函数在闭区间上的最值【解析】 令，解得 0极大值极小值所以的极小值为；极大值为由知在区间上的极小值为；极大值为计算得：所以函数在闭区间上的最小值为，最大值为提高班学案3【拓1】已知函数，其中求在区间上的最小值【解析】 ，令解得，则，当，即时，在区间上单调递增，最小值为；当，即时，在区间上单调递减，最小值为；当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值为，综上所述，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是尖子班学案3【拓2】已知函数，其中求在区间上的最大值和最小值【解析】 ，当时，在上单调递增，在区间上的最大值为，最小值为；当时，令解得，则， a
18、 当，即时，在区间上单调递增，最大值为，最小值为； b 当，即时，在区间上单调递减，最大值为，最小值为； c 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值为，最大值为，而，当时，最大值为，当时，最大值为；综上所述，当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是【铺垫】设函数有极值，求的取值范围【解析】 当时，为实数集上的增函数，没有极值当时， 有两个不相等的实根， 有极值所以的取值范围为【例7】 已知函数存在极值，求参数范围设函数的导函数为，若用表示；若函数在上存在极值，求的范围【追问】若函
19、数在上不存在极值，则的取值范围是多少？【解析】 ，把代入上式，得，当时，无极值，不满足假设当时，要满足存在极值，则必须有两个相异实根，故，即，得【追问】目标班学案3【拓3】 （2010北京卷18）设函数，且方程的两个根分别为， 当且曲线过原点时，求的解析式； 若在内无极值点，求的取值范围【解析】 由得因为的两个根分别为，所以 当时，由式得解得，又因为曲线过原点，所以故 由于，所以“在内无极值点”等价于“在内恒成立”由式得，又解得，即的取值范围是右图是导函数的图象，试找出函数 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.【解析】 根据导函数的正负，我们可以判断原函数的单调性，由此，我们可以得
20、到，函数在处取得极大值，即为极大值点；函数在处取得极小值，即为极小值点.【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为和分别为极值点，但是我们要审清题意，这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象；另一方面，学生也会误认为为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在一直是单调递增的，所以不是函数的极值点.所以原函数的单调性只与导函数的正负有关，与导函数的单调性无关.实战演练【演练1】 已知函数的导函数的图象如右图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ） 【解析】 A由的图象知在与上单调递增，在上单调递减【演练2】 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果
21、注水量与水深的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（） 【解析】 B因为容器中总的水量（即注水量）关于的函数图象是增加越来越缓的，即每当增加一个单位增量，的相应增量越来越小这说明容器的上升的液面越来越小，故选B【演练3】 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）【解析】 D【演练4】 函数的单调增区间为（ ）A B C D【解析】 B令，得【演练5】 已知，函数设在上是单调函数，求的取值范围【解析】 对函数求导数，得令，得，从而，解得，其中当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值当在处取到极大值，在处取到极小值解法1：因为，所以，所以在上为单调函数的充要条件是，即，解得综上，在上为单调函数的充要条件即的取值范围是解法2：因为时，所以，且在处取到极大值，而，且在处取到极小值，因此，若在上是单调函数，则在上是单调减函数在上是单调减函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立即，解得大千世界函数的最值为（ ）A， B无最小值，C，无最大值 D既无最大值也无最小值【解析】 B解法一：函数的定义域为，对原函数求导得，令得；于是时，时；故原函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，有；又由于趋向于时同样趋向于，故原函数无最小值解法二：换元，则，原函数变成，其中；而二次函数，其在上显然有最大值而无最小值17第2讲提高-尖子-目标教师版