1、简易逻辑第5讲 新课标剖析 当前形势简易逻辑在近五年北京卷（理）考查5分高考要求内容要求层次具体要求ABC“若，则”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题了解命题的逆命题、否命题与逆否命题四种命题的相互关系；简单的逻辑联结词；全称量词与存在量词会分析四种命题的相互关系；了解“或”、“且”、“非”逻辑联结词的含义；理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定充要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义北京高考解读2009年2010年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第5题5分第6题5分第3题5分第3题5分暑期知识回顾1下列命题中是真命题的是（ ）A，B，C
2、，D，【解析】 C2命题“，”的否定是（ ）A不存在，B存在，C存在，D对任意的，【解析】 C3已知命题：，；命题：，则下列命题为真命题的是（ ）A BC D【解析】 C4已知函数是上的增函数，对命题“若，则”，写出其逆命题和逆否命题，并判断其真假【解析】 逆命题：若，则，是真命题；逆否命题：若，则，是真命题5下列说法中，正确的是（ ）A命题“若，则”的逆命题是真命题B命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”C命题“”为真命题，则命题和命题均为真命题D已知，则“”是“”的充分不必要条件【解析】 B6（2013陕西）设，为向量，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既
3、不充分也不必要条件【解析】 C7（2013北京）“”是“曲线过坐标原点”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】 A8（2013上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A充分条件B必要条件C充分必要条件D即不充分也不必要条件【解析】 B暑期简易逻辑知识的回顾，15为逻辑联结词与命题，68为充要条件5.1逻辑联结词与四种命题考点1：命题的判断知识点睛命题与量词：1命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题2
4、全称量词：短语“所有”、“一切”、“每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示全称命题：含有全称量词的命题全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题一般地，设是某集合的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对中所有，”的命题，用符号简记为：，3存在量词：短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题存在性命题就是陈述在集合中有（存在）一些元素具有某性质的命题一般地，设是某集合的有些元素具有的某种性质，那么存在性命题就是
5、形如“存在集合 中的元素，”的命题，用符号简记为：，命题的“真”或“假”是唯一确定的，在证明一个命题为真时，要由条件通过严密的逻辑推理得到结论，而确定一个命题为假时，一般只需要举一个反例即可经典精讲【例1】 命题：奇函数一定有；命题：函数的单调递减区间是则下列四个判断中正确的是（ ）A真真 B真假 C假真 D假假给出下列三个命题若，则若正整数和满足，则设是圆上的任意一点，圆以为圆心，且半径为1当时，圆与圆相切其中假命题的个数为（ ）A B C D（2013湖南）设函数，其中，若是的三边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号），；，使不能构成一个三角形的三条边长；若为钝角三角形，则，使
6、【解析】 D B 提高班学案1【拓1】 命题：在锐角三角形中，成立是_命题（填“真”或“假”）【解析】 真；尖子班学案1【拓2】 对于四面体，下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）相对棱与所在的直线是异面直线；由顶点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；若分别作和的边上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱【解析】 ；目标班学案1【拓3】 设直线系，对于下列四个命题：A中所有直线均经过一个定点B存在定点不在中的任一条直线上C对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上D中的直线
7、所能围成的正三角形面积都相等，其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）【解析】 B、C；考点2：逻辑联结词知识点睛基本逻辑联结词：1且：一般地，用逻辑联结词“且”把命题和联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“且”可以用“且”定义集合的交集：2或：一般地，用逻辑联结词“或”把命题和联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“或”可以用“或”定义集合的并集：3非：一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作，读作“非”或“的否定”可以用“非”来定义集合在全集中的补集：4不含逻辑联结词的命题称为简单命题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题复合命题的真值表：真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真
8、5存在性命题的否定：存在性命题 ：，；它的否定是 ：，6全称命题的否定：全称命题 ：，；它的否定是 ：，1在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；命题“的倍数的末位数字不是就是”的字面上无“或”，但它们都是复合命题2对联言命题与选言命题的否定比较容易出错，它符合德摩根定律：，即： 联言命题：；否定：； 选言命题：；否定：如：或的否定是：且；全为零的否定是：且对于“至少有”，“至多有”类型的命题的否定：“至少有两个解”的否定是“至多有一个解”，注意有些命题的否
9、定容易出错，需要考虑全面一些，如方程有且只有一根的否定为：方程无根或至少有两根3存在性命题和全称命题的否定比较公式化，在暑假已经学过，本讲不再放例题我们一般不研究“若，则”形式的命题的否定，只研究这类命题的四种命题形式因为“若，则”命题的否定比较复杂，有两类问题： 命题：若实数，则它的否定：若，则这类命题的否定就是直接否定结论即可命题：若实数，则这是一个假命题，它的否定是：若实数，则吗？显然不是，因为这也是一个假命题，而一个命题与它的否定的真假一定相反问题出在哪里？命题其实是一个全称命题，它想表达的意思是：对任意的实数，有，所以它的否定是：存在，对于程度比较好的学生，可以对此进行介绍，但一般来
10、说，我们不需要研究“若则”类命题的否定，只研究这类问题的否命题如果出现对这类问题的否定的真假的判断，我们也更倾向于通过原来的命题的真假来推导它的否定的真假，如例2后面的拓1经典精讲【例2】 已知全集，如果命题：，则命题“”是（）AB C D（2013湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A B C D若关于的不等式的解集是；：函数的定义域为如果为假，为真，求实数的取值范围【追问】如果为假，为真，求实数的取值范围【解析】 DA的取值范围是或【追问】等价于真，故提高班学案2【拓1】
11、 已知命题：若实数满足，则全为；命题：若，则，给出下列四个复合命题：且，或，其中真命题的个数为（ ）A BCD【解析】 B尖子班学案2【拓2】 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：至少有一个是；否定：至少有两个或两个以上是；最多有一个是否定：最少有一个是；全部都是否定：全部的都不是【解析】 对结论的否定都不正确，正确的否定为：没有一个是至少有两个是存在一个不是考点3：四种命题知识点睛命题的四种形式命题“如果，则”是由条件和结论组成的，对进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题原命题：如果，则；原命题的逆命题：如果，则；原命题的否命题：如果非，则非
12、；原命题的逆否命题：如果非，则非 注意命题的否定与否命题之间的区别命题的否定是命题的反面，只否定命题的结论，不改变命题的条件，且与命题的真假恰好相反；命题的否定通常是对简单命题而言的，特别是全称命题与存在性命题否命题是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系否命题通常是对“若则”形式的命题进行的，所以通常遇不到同时写出否命题与命题的否定的问题，下面给出两个同时写出否命题与命题的否定例子，供老师选用（对于这类命题的否定，前面的教师备案有详细讲解说明）例：写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断其真假 若，则关于的方程有实数根 若，都是奇数，则是奇数【解析】 否命题：若，
13、则关于的方程无实数根，是假命题；命题的否定：存在，关于的方程无实数根，假命题 否命题：若、不都是奇数，则不是奇数，是假命题；命题的否定：存在、都是奇数，不是奇数，是真命题经典精讲【例3】 下列命题中，真命题有_“若，则、互为倒数”的逆命题“面积相等的三角形一定全等”的否命题“若，则方程有实根”的逆否命题“若，则”的逆否命题“若，则，全为”的否命题；“全等三角形是相似三角形”的逆命题；“圆内接四边形对角互补”的逆否命题已知命题“如果，那么关于的不等式的解集为”它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（）A0个 B2个C3个 D4个【解析】 ； B；目标班学案2【拓3】 已知等比数列的
14、前项和为若，成等差数列，证明，成等差数列；写出的逆命题，判断它的真伪，并给出证明【解析】 ，由已知，即数列的公比，成等差数列 的逆命题是：若，成等差数列，则，成等差数列设数列的公比为，由题设，即，即，或当时，不成等差数列故逆命题为假5.2充要条件考点4：充分必要条件知识点睛1对于“如果，则”形式的命题，称为命题的条件，称为命题的结论当命题“如果，则”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则可以推出，记作，读作“推出”2如果可推出，则称是的充分条件，是的必要条件一般地，如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作，显然也是的充要条件，此时又常说“当且仅当”或“与等价”如果，且，则称是的
15、充分不必要条件，称为的必要不充分条件 在数学上，找到一个“事物”的充分必要条件是特别重要的一件事情，它可以帮助我们从不同的角度，全面地反映同一个“事物”的面貌在数学上有很多非常重要的充分必要条件的结果一个事物的充分必要条件会给我们讨论问题带来很大的方便，给我们提供了全面刻画事物的另外一个角度，甚至可以帮助我们开拓新的研究方向勾股定理勾股定理中就是直角三角形的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以通过边的长度之间的关系来研究几何中的直角三角形一元二次方程有实数根的充分必要条件判别式是一元二次方程有实数根的充分必要条件，有了这个条件，我们就可以定性地研究一元二次方程的实数根很多命题直接证明不容易，
16、我们会转化成它的等价命题这种等价关系及其使用，可以简化原来的命题，得到一个更容易证明的结论经典精讲【例4】 设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件若数列满足（为常数，），则称为“等方比数列”甲：数列 是等方比数列；乙：数列是等比数列则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件设命题甲：或；乙：且则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D非充分非必要条件设有集合，则点的条件是点；点是点的条件【解析】 B
17、 B A 充分不必要；必要不充分【点评】 充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题语句陈述与理解是这里的一个难点：如“是的充分不必要条件”可以转化成“是的充分不必要条件”；“是的必要不充分条件”等价于“是的充分不必要条件”通过这些转化，我们寻找更容易解决的方向提高班学案3【拓1】 命题：；命题：，使得则是的_条件（2013山东）给定两个命题，若是的必要而不充分条件，则是的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 必要不充
18、分； A尖子班学案3【拓2】 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数例如，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 A【备选】已知，则满足关于的方程的充要条件是（ ）A， B，C， D，【解析】 C【例5】 对任意实数，给出下列命题：“”是“”的充要条件；“是无理数”是“是无理数”的充要条件；“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件其中真命题的个数是（ ）A B C D集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围可以是（ ）AB CD命题：若，则是的充分条件，命题：函数 的定义域是，则（ ）A或为假 B且为真 C真假 D假真【解
19、析】 B D； D；【例6】 已知数列的前项和，求数列是等比数列的充要条件【追问】数列是单调增的等比数列的充要条件【解析】 当时，若为等比数列，则，这是为等比数列的必要条件下面证明是为等比数列的充分条件当时，当时，为常数时，数列为等比数列即数列是等比数列的充要条件为【追问】由例题结论知，是等比数列的必要条件是，单调增时，时，则，只能时，成立反之，且时，由例题知是等比数列，又，因此单调增综上，是单调增的等比数列的充要条件是且目标班学案3【拓3】 已知数列、满足：，求数列是等差数列的充要条件【解析】 设是等差数列，公差为，则，上面两式相减得：，从而得为常数，故是等差数列这是为等差数列的必要条件下面
20、证明这也是充分条件，设成等差数列，公差为，则，从而为常数故是等差数列，公差为综上所述，数列成等差数列的充要条件是数列也是等差数列【备选】 已知，函数，当时，若对任意都有，证明：；当时，证明：对任意，的充要条件是；当时，讨论对任意，都有的充要条件【解析】 ，当时，有，于是，对都有， 先证必要性：，再证充分性：，又，且，综上知，命题成立当，对任意都有，其次，若对任意都有，则反之，若，则对任意都有综上所述，当，时，对任意都有的充要条件是1求实数满足的充要条件【解析】 ，又，从而即而， ，即充要条件为其中之一为，2已知向量，且，其中、分别是的三边、所对的角 求的大小 证明：的充分必要条件是【解析】 于
21、是，； 必要性：由，；充分性：，于是，充分性得证综上，命题成立实战演练【演练1】 已知命题，当时，；命题，恒成立，则下列命题是假命题的是（ ）A B C D 有四个关于三角函数的命题： ， ， 其中假命题的是（ ）A， B， C， D，（2010年宣武一模文10）命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 【解析】 B；由基本不等式可得：，故命题为假命题，为真命题；，故命题为真命题，为假命题，为假命题，故选B A对，恒有，因此不存在，使得，故为假命题；当时，所以为真命题；当时，所以为真命题；由，不一定推出，还可以得出（）等，故为假命题 存在一个常数列不是等比数列【演练2】 设方程有两个不相等的
22、正根；方程无实根则使为真，为假的实数的取值范围是 【解析】由题意，必有真假或假真若真，则，即，若真，则，即，记，若真假，则对应的集合为若假真，则对应的集合为综上，使真，假的实数的取值范围为【演练3】 “在中，若，则、都是锐角”的否命题为_； 命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A若，则或 B若，则C若或，则 D若或，则 命题“若函数在其定义域内是减函数，则”的逆否命题是（ ）A若，则函数在其定义域内不是减函数B若，则函数在其定义域内不是减函数C若，则函数在其定义域内是减函数D若，则函数在其定义域内是减函数【解析】 在中，若，则不都是锐角 D A【演练4】 设表示直线，表示平面，则的充分条件是（
23、）A BC D 已知是实数，则“且”是“且”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 A C【演练5】已知数列、，其中、是等比数列对于任意正整数，、都成等差数列，且试证明：“数列成等比数列”的充要条件是“数列与 公比相等”【解析】 充分性：设数列与的公比都是，则，而，又，故是公比为的等比数列充分性得证必要性： 若数列是等比数列，设数列、的公比分别为，则，由得： 将的两边平方得 比较两式得，故，即数列与公比相等必要性得证大千世界（第16届希望杯数学邀请赛高一第2试）已知等差数列中，则的充要条件为_【解析】 或若，使得，则由为等差数列，可设公差为，则，而，所以，从而整除，而，所以或所以若有，则只能为或，所以若要，则或，即或75第5讲提高-尖子-目标教师版