1、折叠问题与最值问题第13讲 满分晋级 立体几何11级折叠问题与最值问题立体几何10级空间向量与立体几何综合新课标剖析 当前形势立体几何在近五年北京卷（理）考查14-19分高考要求内容要求层次具体要求ABC空间线、面的位置关系理解空间中线面位置关系线、面平行或垂直的判定灵活运用平行或垂直的判定解决立体几何证明问题线、面平行或垂直的性质灵活运用平行或垂直的性质解决立体几何证明问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第16题14分第8题5分第16题14分第7题5分第16题14分第16题14分第14题5分第17题14分13.1折叠问题考
2、点1：折叠与展开中的想象力经典精讲【例1】 下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：与平行；与是异面直线；与成的角；与垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A B C D将个12cm12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如图），将这6部分接于一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图（如图），该多面体的体积为_【解析】 C 如图，所折叠成的多面体是由一个大正三棱锥切去三个小正三棱锥得到的，大三棱锥的底边边长为，侧棱长为；小三棱锥的底面边长为，侧棱长为，大三棱锥体积，小三棱锥体积，故所求几何体的体积另法：此正棱锥侧棱相等且两两垂直，从而设侧棱长为，则有考点2：折叠
3、中的垂直与距离问题知识点睛1概念：将平面图形沿某条直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题2折叠问题分析求解原则：折叠前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变，充分利用不变量和不变关系；折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变，分别位于两个半平面内但垂直于折线的直线折叠后仍然垂直于折线折叠问题的难点在于变化前后的位置关系，对于不变的部分可以在平面图形中处理，而变化的部分要在立体图形中解决如果对此类问题不是很擅长，可以将折叠前的平面图和折叠后的立体图都画出来进行对照，厘清线面关系再作解答可以举几个简单的三角形、正方形折叠的
4、例子进行说明比如，正方形沿对角线进行折叠后的边的位置关系经典精讲【例2】 如图，和都是直角三角形，把三角形沿边折起，使所在的平面与所在的平面垂直，若 求证：平面平面； 求点到平面的距离【解析】 面面，且交线为，平面，面，面，面面 面面，且交线为，过作于，则面，在中，；在中，；，点到平面的距离为提高班学案1【拓1】设、是直角梯形两腰的中点，于（如图）现将沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，求、的连线与所成角的值【解析】 连结，易知，取中点，连结、，为中位线，又，且，又为中点，且，四边形为平行四边形，即的连线与成角尖子班学案1【拓2】 如图，在中，过作，且将沿折起，使，求证：平面【解析
5、】 ，设，则由余弦定理得：平面【备选】如图，在平行四边形中，将它沿对角线折起，使与成角，求之间的距离【解析】 如图，同理，与成，或，所以或，即之间的距离为或考点3：折叠中的角度问题平面图形折叠后求角度的问题，最重要的还是厘清线面的位置关系，特别是垂直关系，为建立坐标系解决问题奠定基础经典精讲【例3】 （2011年朝阳二模理17）在长方形中，分别是，的中点（如图1）将此长方形沿对折，使二面角为直二面角，分别是，的中点（如图2）求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值【解析】 由已知，将长方形沿对折后，二面角为直二面角；在长方形中，分别是，的中点，即是二面角的平面角所以，两两垂直证法一：取中点，连接
6、、；则，从而；是平行四边形；而面，面证法二：以点为原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，且，分别是，的中点，设平面的法向量为，所以所以令，则，；又因为，又平面，平面 由证法二知，所以又由知，平面的法向量为设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为提高班学案2【拓1】如图，已知是上，下底边长分别为和，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角 证明：； 求二面角的正弦值【解析】 方法一：连结，由题设知，是所折成的直二面角的平面角，即，从而平面，面，面， 设，过点作于，连结，又，面，是二面角的平面角 由题设知，在中，又=，二面角的正弦值是方法二：以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标
7、系如图， ， ，设平面的法向量为，则，取，则，同理，设平面的法向量为，则，取，则，二面角的正弦值是目标班学案1【拓3】 （2012北京东城一模）在正中， 分别是边上的点，满足，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结 求证：平面； 求直线与平面所成角的大小； 求二面角的余弦值大小 解析图：【解析】 不妨设正的边长为 取中点，连结，而是正三角形又，折叠后图形中，为二面角的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，又，平面，即平面方法一： 在中，而，是等边三角形因此取中点，连结，则平面，平面，又面，平面平面，且为两平面交线，则过点作交于，则平面为线与平面所成角，是等边三角形，且为中点，且，根据底面可
8、知，在中，直线与平面所成的角为 过作于，连结，是正三角形，又， 平面，从而由及为公共边知，且为二面角的平面角在中，又，在中， ， ，由余弦定理得在中，二面角的余弦值为方法二：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，设，则，又，设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角为，设平面的法向量为，则，即，设，则，又，则，由图形知，二面角为钝角，二面角的余弦值为13.2最值问题立体几何中用运动变化观点处理问题的题目，如最值与范围类问题，对空间想象能力和处理动态问题的探索能力要求较高，是立体几何的难点此类问题，经常需要几何图形推理与代数（函数、不等式等）推理相结合，洞
9、察变化过程中的特殊位置（用代数方法的话就不需要了），将最值问题转化为几何或代数问题来处理考点4：立体几何中的长度最值问题经典精讲【例4】 在棱长为的正方体中，在面中取一点，使最小，则最小值为 如图已知直三棱柱，分别为线段、上的动点，两点满足，则线段长度的最小值为 【追问】的最小值为_【解析】 延长到，使，则，故，当且仅当为与平面的交点时，最小设的中点为，则，所以最小值为： 建立以为原点，所在直线为，轴的坐标系，则，；设，；则，而，均为正数，由均值不等式可知；当且仅当时等号成立，最小值为【追问】；（），可看成平面直角坐标系中点到点和点的距离之和，因此，当和的连线与轴的交点为时，取到最小值尖子班学
10、案2【拓2】 如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直点在上移动，点在上移动，若（），求的长度的最小值【解析】 作交于点，交于点，连结，依题意可得，且，即是平行四边形，由已知，由知，其中当时，取最小值；即当、分别为、的中点时，的长最小，最小值为【备选】（2013北京理14）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 解析图【解析】根据空间线面垂直关系求点到直线的距离的最小值过点作面，交直线于，连接，在平面内过作交于，连接，则即为点到直线的距离因此当点在上运动时，到距离的最小值即为到距离的最小值，即中到的高因为，所以，则所求的高为【点评】将空间中点到直线的距
11、离转化到平面图形中解决，需要一定的空间想象和构造联想力考点5：立体几何中的体积最值问题知识点睛立体几何中体积的最值问题，一般来讲，关键是引入恰当的参数，建立目标函数，然后用函数或不等式方法去求最值经典精讲【例5】 设四棱锥中，底面是边长为的正方形，且面求证：；过且垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取到最大值，求此时四棱锥的高解析图：【解析】 连接，又，平面，于是 如图建系，设，则、，而平面，于是，解得，当且仅当时，取到等号故三棱锥的体积取最大值时，四棱锥的高为【拓3】 如图已知在中，平面，交于，于，已知，当变化时，求三棱锥体积的最大值【解析】 平面，又，平面，面，又，平面，又，平面在三棱
12、锥中，当时，取得最大值为考点6：立体几何中的角度最值问题涉及到空间中的角度问题时，现在都用空间向量来解决了，需要弄清楚所求的角度与向量夹角之间的关系，选择参变量，建立函数关系仍然是角度最值的主要方法经典精讲【例6】 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点证明：；若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值【解析】 由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面，且，所以平面又平面，所以 法一：设，为上任意一点，连接由知平面，则为与平面所成的角在中，当最短时，最大，即当时，最大此时，又，因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，
13、过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为法二：与平面所成最大角的正切值为，等价于最大角的正弦值为，由知是面的法向量，因此上述条件即为由知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，设点，则，于是，解得，即，到的距离为，于是可以算出又分别为的中点，设平面的一法向量为，则，因此，取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量（也可直接设出法向量，由方程求解）又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为已知正三棱柱的底面边长为，高为，点在侧棱上移动，到底面的距离为，且与侧面所成的角为； 若在区间上变化，求的变化范围； 若为，求与所成
14、角的余弦值【解析】 设的中点为，连结、，在正中，易知，又侧面与底面互相垂直，平面，即为与侧面所成的角，在中，依题意即为点到底面的距离，且，由已知，即由，解得，即的范围是 ，即时，即与所成角的余弦值为实战演练【演练1】如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段和在原正方体中相互异面的有 对解析图：【解析】将展开图恢复成正方体后，得到与和和三对异面直线【演练2】把正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线与平面所成的角的大小为（ ） 【解析】 C当平面平面时，以为顶点的三棱锥的体积最大，平面，即为与平面所成的角【演练3】已知如图1，正三角形的边长为，是边上的高，、分别是和
15、边上的点，且满足，现将沿翻折成直二面角，如图2 试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由； 求二面角的平面角的正切值【解析】 平面在中，、分别是、上的点，且满足，平面，平面，平面 方法一：过点作于，连结，是二面角的平面角，即平面平面是二面角的平面角 在中，在中，方法二：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，所以，设平面与平面所成的角为，则，【演练4】如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积， 求的表达式； 当时，求异面直线与所成角的余弦值【解析】 ，又，且在平
16、面外，平面，所以四边形的面积，四棱锥的体积，即 如图，以点为坐标原点，向量为轴的正向建立空间直角坐标系，则，于是，与所成角的余弦为，异面直线与所成角的余弦值为大千世界如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，并连结，使得平面平面，且连结，如图2 证明：平面平面； 当，时，求直线和平面所成的角的正弦值 【解析】 平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面平面 法一：过点作于点，连结由的结论可知，平面，是和平面所成的角平面平面，平面平面，平面，平面，故，可在上取一点，使，又，四边形是矩形由题设，则所以，平面，平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成的角的正弦值是法二：由可知，平面故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），由题设，则，相关各点的坐标分别是，所以，设是平面的一个法向量，由得，故可取过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上因为，所以，设（），由，解得，所以设和平面所成的角是，则故直线和平面所成的角的正弦值是19第13讲提高-尖子-目标教师版