1、简易逻辑第1讲新课标剖析 当前形势简易逻辑在近五年北京卷(理)考查5分高考要求内容要求层次具体要求ABC“若，则“形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题了解命题的逆命题、否命题与逆否命题四种命题的相互关系；简单的逻辑联结词；全称量词与存在量词会分析四种命题的相互关系；了解“或”、“且”、 “非”逻辑联结词的含义；理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定充要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2012年（新课标）第3题5分第5题5分第6题5分第3题5分 本讲侧重于将简易逻辑中的概念与原理讲明白，对于讲解概念涉及到
2、的其它数学背景知识尽量选择简单的，以集合、方程与不等式为主，绕开了学生不太熟悉的向量与三角函数等知识对于一些比较复杂的问题，我们留到同步去讲，比如命题的否定与否命题之间的区别、对充要条件的转化等1.1命题与量词考点1：命题命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是数学意义上的命题在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断数学上的命题就是指可以判断真假的陈述句：如明天会下
3、雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛街等等都是命题知识点睛1命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题 1含有变量的语句，可以用符号，等表示，这类语句无法判断真假，不是命题又称为开句或条件命题当赋予变量某个值或一定的条件时，这些含有变量的语句就变成命题了，如：是正数，不是命题；：是正数是命题；对任意实数，是正数，是命题2一般来说，命题是陈述句，祈使句与疑问句都不是命题例：下面是命题的有_求证：是无理数；你是高一的学生吗？一个正整数不是质数就是合数解：祈使句，
4、不是命题不是命题；加上若，则，就是命题了是疑问句，不涉及真假，不是命题是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数经典精讲【例1】 判断下列命题的真假 两个无理数的乘积一定是无理数； 若，则； 若，则方程无实数根； 已知，若且，则； 已知，若或，则【解析】 假命题； 真命题； 真命题； 假命题； 真命题命题分类及量词引入对命题可以有各种形式的分类，按照结构分类命题可以分成简单命题与复合命题其中简单命题只有六种形式： 所有的是； 所有的不是； 有的是； 有的不是 a(或某个S)是P； a(或某个S)不是P；其中与是单称命题；与是全称命题，陈述某集合所有元素都具有某种性质；与是特称命题（又称存在性命题
5、），陈述某集合中有（存在）一些元素具有某性质全称命题与特称命题都有特定的量词全称量词与存在量词表示“所有”的量词是全称量词，用符号表示（英文单词any的首字母倒着写）；表示“有的”的量词是存在量词，并用符号表示（英文单词exist的首字母倒着写）考点2：量词知识点睛1全称量词：短语“所有”、 “一切”、 “每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示全称命题：含有全称量词的命题如：一切反动派都是纸老虎；每一个人都是独一无二的；所有的矩形都是正方形全称命题的符号：”对集合中所有，“记为：，其中表示含有变量的语句，如，等如：，；， 只要是表示全体的量词，不管怎么叙
6、述，都是全称量词省略量词的如果是对某一群体进行描述的，一般都是全称命题如山下的女人是老虎、人应该好好学习、实数的平方非负等等2存在量词：短语“有一个”、 “有些”、 “至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题如：有些人活着，他已经死了；至少有一种鱼不是用腮呼吸的存在性命题的符号：“存在集合中的元素，”记为：，如：，；， 注意数学中的“有一些”、“有些”只表示存在，不表示“多于一”如有些实数没有倒数是真命题，虽然只有一个数零没有倒数经典精讲【铺垫】用量词符号“”表示下列命题，并判断下列命题的
7、真假 存在一对实数，使成立； 有理数的平方仍为有理数； 实数的平方大于【解析】 ，；真命题；，；真命题；，；假命题【例2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假 时，是整数； 对所有的实数，； 单位向量都相等； 末位是的整数，可以被整除； 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 对任意一个整数，为奇数； 有的实数是无限不循环小数； 有些三角形不是等腰三角形； 有的菱形是正方形【解析】 是全称命题，是存在性命题，是真命题，是假命题提高班学案1【拓1】 命题“，恒成立”是假命题，则实数的取值范围是( )A或 B或 C或 D【解析】 A提高班学案2【拓1】判断下列命题是全称命题还是存在
8、性命题，并判断真假 且，时，； 是无理数，是无理数； 存在一对实数，使成立； 对任意实数，有成立【解析】 全称命题，假命题； 存在性命题，真命题； 存在性命题，真命题； 全称命题，真命题复合命题上一节我们说过简单命题只有六种形式，简单命题是指不包含其他命题作为其组成部分的命题，即在结构上不能再分解出其他命题的命题它可以分成两类，一类是性质命题，如：金属是导电的；有些花是红的；所有的自然数都是非负数；另一类是关系命题，这类命题不限于一个主项，谓项反映的是主动之间存在的关系，如：武汉位于北京与长沙之间；张三和李四是同学；所有的单位向量模长都相等；简单命题的真假判断不能依靠命题逻辑推理，只能依据客观
9、事实或生活经验自行判断通过一些联结词把一些简单命题组成为更复合的命题，在日常语言中，这类联结词有：并且，然后，不但而且，虽然但是，既不也不；或者或者，也许也许，要么要么；如果那么，只要就，一旦就，只有才，不就不，除非；当且仅当，如果那么并且只有才；并非，并不是因为它们联结的是命题，故我们称它们为命题联结词，也称为逻辑联结词为简单起见，我们用“且”作为第一类联结词的代表，用“或”作为第二类联结词的代表；用“如果（或若），则”作为第三类联结词的代表；用“当且仅当”作为第四类联结词的代表；用“非”表示第五类联结词的代表通过这些联结词，我们可以由一个个命题，如“樱桃红了”、“芭蕉绿了”，组成更复合的命
10、题，例如：樱桃红了并且芭蕉绿了樱桃红了或者芭蕉绿了如果樱桃红了，那么芭蕉绿了只有樱桃红了，才芭蕉绿了樱桃红了，当且仅当，芭蕉绿了并非樱桃红了我们先看对应的逻辑联结词，下一板块我们再学习对应的命题的四种命题形式；最后我们看对应的充要条件的相关知识1.2逻辑联结词考点3：逻辑联结词知识点睛“且”的引入看下面的命题：鲁迅既是文学家，又是思想家天下雨，路又滑他大发一通脾气，然后气冲冲地走了李逵不但没有跪下，反而把腰杆挺得更直这些分别表示并列、承接、转折、递进关系的复合命题，都被称为联言命题，有时，在自然语言中，表示对偶、对比、排比关系的句子也常常省略掉联结词，如：红了樱桃，绿了芭蕉；鸟宿池边树，僧敲月
11、下门；富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈这些都是自然语言中的联言命题我们把“且”看作它的标准表示形式，并称为支命题对于两个命题，用“且”联结起来，就得到一个新的命题，记为，读作“且”在自然语言中，联言命题表达了支命题之间在内容、意义、甚至语气上的相互关联，逻辑不能处理这些相互关联，只研究支命题与复合命题在真假方面的相互关联对于联言命题，只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；如果有一个支命题为假，则联言命题为假即只有都是真命题时，才是真命题只要中有假命题，就是假命题例如：小张既高又胖，只有在小张高和小张胖都真的情况下才是真的，在其余情况下都是假的一、逻辑联结词：且()、或()、非()1且：
12、用逻辑联结词”且”把命题和联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“且”可以用“且”定义集合的交集： 逻辑联结词“且”是由日常语言中的“并且”、 “及”与”和”抽象出来的，但含义并不完全相同在日常语言中，这些联结词联结起来的语句中，明显为假的支语句会被排斥，而且往往它的顺序是不能随意颠倒的，而且常常有一些联系，如“他获得了奥运会的金牌，并且参加了奥运会”在逻辑上可接受的命题，但它对日常思维来说却是不恰当的同样地，“他参加了亚运会，并且雪是白的”在逻辑上可以为真，但是在日常生活中不会被使用如果被使用起来，往往蕴含深意有一个故事说的是德国诗人海涅，他因为是犹太人，在当时常常遭人耻笑和攻击一次，一位学
13、者对他说：“我最近刚从塔希提岛旅行回来，你猜最使我惊讶的是什么？这个岛上既没有犹太人，也没有驴子！”海涅立即回敬道：“我俩一起到那岛上去，那就既有犹太人，又有驴子了！”“或”的引入看下面的命题：一个三角形，要么是直角三角形，要么是斜三角形不是老虎吃掉武松，就是武松打死老虎艺术作品质量差，也许由于内容不好，也许由于形式不好小张学习成绩不理想或因学习方法不对，或因不努力 病人或失业者可以停付保险费这些命题是借助“或者”这类联结词联结两个支命题，称为选言命题选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题两类如上面的是不相容选言命题，两个支命题（又称选言支）互相排斥，不能同时为真，且二者必居其一是相容选言命
14、题，至少有一种存在，也可以同时存在在数学上，我们研究相容选言命题，各个选言支并不相互排斥，可以同时为真只要有一个选言支为真，相容选言命题就为真；如果所有选言支都假，则相容选言命题为假对于两个命题，用“或”联结起来，就得到一个选言命题，记为，读作”或”如果两个命题中，至少有一个是真命题（包括：对错，错对，对对），则是真命题如果是假命题，则一定都是假命题如：自然数或者是偶数或者是奇数只有在自然数既不是偶数与不是奇数的情况下才是假的所以这个命题一定是恒真的2或：用逻辑联结词“或”把命题或联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“或”可以用“或”定义集合的并集：“非”的引入除了联言命题与选言命题外，还有
15、一类命题称之为负命题，是由否定一个命题而得到的命题用联结词(读作“非”或“否定”)表示，对命题的否定记作“非”的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象而来非命题满足：与的真假性一定不同真，则假；假，则真成立，即双重否定等于肯定如：他不可能不是帅哥，意思是他是帅哥例：命题表示：甲是帅哥；则表示：甲不是帅哥；命题：所有的男人都很勇敢；：不是所有男人都很勇敢，也就是有些男人不勇敢命题：不是所有的牛奶都叫特仑苏：所有牛奶都叫特仑苏3非：一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作，读作“非”或“的否定”可以用“非”来定义集合在全集中的补集：4不含逻辑联结词的命题称为简单命
16、题，含有逻辑联结词的命题称为复合命题1复合命题的真假判断有真值表如下：真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2常用的下面词语与它的否定词：正面词语等于大于小于是都是都不是至少有一个至多有一个否定不等于不大于不小于不是不都是至少有一个是一个也没有至少有两个3对联言命题与选言命题的否定我们放到同步再讲二、全称命题与存在性命题的否定：1存在性命题的否定：存在性命题 ：，；它的否定是：，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质2全称命题的否定：全称命题 ：，；它的否定是：，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质练习1：给出下列命题的否定：，；，有些三角形不是直角三角形；有些三角形是直角三角形；所有的质
17、数都是奇数；质数不都是奇数答案：，；，所有三角形都是直角三角形所有的三角形都不是直角三角形存在一些质数不是奇数所有质数都是奇数 我们只研究前面提到的简单命题的六种形式的否定即以下六种命题的否定 所有的是； 所有的不是； 有的是； 有的不是 a(或某个S)是P； a(或某个S)不是P有些全称命题会省略全称量词，如女人爱逛街，指得是：所有的女人都爱逛街；所以它的否定为：有些女人不爱逛街再如：若，则；可以转化为：对，有，再否定就简单了经典精讲【例3】 下列各组命题中，满足“或”为真、“且”为假，“非”为真的是()A：；：B：在中，若，则；：在上是增函数C：；：不等式的解集是D：对任意实数，有成立；：
18、甲、乙两人参加一次竞赛，设命题是“甲获奖”，命题是“乙获奖”，试用及逻辑联结词“且”、 “或”、 “非”表示：两人都获奖；两人都未获奖；至少有一人获奖；恰有一人获奖【解析】 C ；【点评】 也是对中情况的否定，故也可表示为，故容易知道，也即尖子班学案1【拓2】在下边的横线上填上真命题或假命题 若命题“”与命题“”都是真命题，那么是_；是_； 若命题“或”是假命题，那么是_；是_；是_【解析】 假命题，真命题； 真命题，真命题，假命题目标班学案1【拓3】已知命题：关于的不等式恒成立；命题：关于的函数在上是减函数若为真命题，为假命题，则实数的取值范围是_【解析】 ；上面我们看了由“或”、“且”、“
19、非”三种逻辑联结词构成的三类复合命题：联言命题、选言命题与负命题下面我们研究一类由“如果则”联结起来的复合命题，我们称之为条件命题（又称为假言命题）这类命题中有条件与结论，条件命题断定了条件与结论之间的某种关系，记为板块1.3研究对条件与结论进行否定以及互换后对应的四种命题形式；板块1.4研究条件与结论之间的关系，将条件命题分为充分条件、必要条件与充要条件三类条件命题在自然语言中的表述形式非常多，指出下面条件命题的条件与结论：只要勤奋耕耘，就会有所收获；如果这个玻璃杯从我手中滑落，那么它会摔得粉碎；一见到美女，他就脸红；除非你找到证据，我才相信你说的话；你只有脸皮够厚，才能克服胆怯的毛病给我们
20、一个命题：如果一个人是女生，那么她爱逛街你能把这些命题的条件与结论互换，得到的命题是什么样的？命题：如果一个人爱逛街，那么她是女生如果把这些命题的条件与结论同时否定，得到的命题是什么样的？命题：如果一个人不是女生，那么她不爱逛街如果把这些命题的条件与结论同时否定，再将否定后的条件与结论互换，得到的命题是什么的？命题：如果一个人不爱逛街，那么她不是女生我们把最开始的命题称为原命题，将它的条件与结论互换，得到的命题称为的逆命题；将这个命题的条件与结论同时否定，得到的命题称为的否命题；将这个命题的条件与结论同时否定，并将否定后的结论当成条件，条件当成结论，得到的命题称为命题的逆否命题本节中我们只讨论
21、形式的命题（即若则形式的命题），不讨论条件与结论不明确的命题的四种命题形式的逆命题为：；否命题为：；逆否命题为：四种命题是一种相互关系，不能单纯地说某个命题是逆命题，只能说谁是谁的逆命题，谁是谁的否命题1.3四种命题形式考点4：四种命题知识点睛1命题的四种形式：命题“如果，则”是由条件和结论组成的，对进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题原命题：如果，则；原命题的逆命题：如果，则；原命题的否命题：如果非，则非；原命题的逆否命题：如果非，则非练习2：写出命题“若，则是周期函数”的逆命题，否命题，逆否命题并判断这四个命题的真假答案：原命题：真；逆命题：若是周期函数，则；假否命
22、题：若，则不是周期函数；假；逆否命题：若不是周期函数，则真练习3：写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四个命题的真假答案：原命题：真；逆命题：若，则，真；否命题：若，则，真；逆否命题：若，则，真有时我们会遇到有大前提的命题，对于这类命题，写它的逆命题，否命题与逆否命题时，大前提不变所以对于一个命题，我们需要区分大前提与命题的条件如：命题：已知是实数，若，则它的逆命题为：已知是实数，若，则否命题为：已知是实数，若，则；逆否命题：已知是实数，若，则这四个命题都是假命题命题的四种形式的真假有什么联系呢？2命题“如果，则”的四种形式之间有如下关系：逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命
23、题的两个命题等价（同真或同假）因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题互逆或互否的两个命题不等价原命题与它的逆命题以及否命题的真假都没有关系，但在现实生活中，我们有时却会错用推理，把否命题的真假或者逆命题的真假与原命题建立起联系来：如：有人想反驳“钱不是万能的”给出的理由是：没有钱是万万不能的这个逻辑对吗？应该怎样给出理由呢？如果直接反驳，前提是某人有钱，但是有办不到的事情再如：有人想讨论：科技能不能带来社会发展思考方向是：没有科技的时候社会发展很慢再如：我们都知道如果小亮对小雪有意思，则小亮会对小雪好现在小雪寻思：小亮对我挺好的，他应该对我有意思，这个推理有问题吗？因为原命题与它的逆否命题等价
24、，所以要论证原命题正确，可以通过论证它的逆否命题正确，但不能通过论证它的逆命题正确，或者论证它的否命题的正确或错误比如，如果小亮对小雪不好，那么一定能推出小亮对小雪没有意思3注意命题的否定与否命题之间的区别命题的否定与原来命题的真假一定是不同的，而否命题与原命题之间的真假没有关系这一部分内容我们到同步再展开讲解经典精讲【例4】 若，写出命题”若，则有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假【解析】 逆命题：，若有两个不相等的实数根，则；假命题否命题：，若，则方程没有两个不相等的实数根；假命题逆否命题：，若没有两个不相等的实数根，则；真命题尖子班学案2【拓2】给出以
25、下四个命题：“若，则互为相反数”的逆命题；“如果两个三角形全等，则它们的面积相等”的否命题；“若，则有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题其中真命题是（ ）A B C D【解析】 C目标班学案2【拓3】原命题：设，若，则，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个A0 B1 C2 D4命题“已知，则或”是_（填“真”或“假”）命题【解析】 C；真命题“充分必要条件”引入2013北约人文科学基础科目考了这样一道选择题：如果你是明智的牛奶厂家，你会采用下面哪一句广告词：(）A只要喝“飞鹿”牛奶，就有好身体B一喝“飞鹿”牛奶，就好身体C只有喝“飞鹿”牛奶，才有好身体分析
26、：我们看与：对于选项来说，喝了“飞鹿”牛奶就足以保证有好身体了，在这里，有了“飞鹿”牛奶这个条件，就能保证好身体这个结论，这个条件是足够的，充分的；对于选项来说，想要有好身体必须有“飞鹿”牛奶，但有了“飞鹿”牛奶，能不能保证有好身体不知道在这里，想有好身体，必须要喝“飞鹿”牛奶，这是必要的，这个说法明显是虚假的而且，喝了是不是能保证有好身体呢，还不好说，这样的条件是必要的条件B选项也是充分条件，但是“一就”时间上的紧迫性太强，容易被质疑，而A强调的是效果，所以A更合适1.4充分必要条件考点5：充分必要条件知识点睛1当命题“如果，则”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则可以推出，记作，读作“推
27、出”2如果可推出，则称是的充分条件，是的必要条件一般地，如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作，显然也是的充要条件，此时又常说“当且仅当“或“与等价”如果，且，则称是的充分不必要条件，称为的必要不充分条件充分必要条件是一种相互关系，只能说谁是谁的充分或必要条件，不能直接说谁是充分或必要条件必要性是排外的，在集合的问题中，如果A是B的必要条件，一般来说A的范围更广、更基础，才可能是必要的如：是的必要条件；再比如是动物与是人谁是必要呢，一定是是动物更必要，也就是说甲是动物是甲是人的必要条件因为动物的范围更大又因为必要条件是基础，所以必要条件往往不能推出什么，我们不能由甲是动物推出
28、甲是人，也不能由推出而充分的条件呢，不一定全面，含义是只要有就行了，弱水三千，只取一瓢饮比如 是的充分条件，充分条件是更严格的，范围更小的条件经典精讲【例5】 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空 ：，：向量与向量垂直，则是的_条件已知，是的_条件；：，：，则是成立的 条件；：，：，则是成立的_条件【解析】 充分不必要；充分不必要；必要不充分；充分不必要；提高班学案3【拓1】用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空 对于实数，“”是“或”的_条件 是的_条件【解析】 充分不必要条件； 充要条件；尖子班学案3【拓2】 （2010陕西卷理
29、9）对于数列，“是“为递增数列”的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件（2010山东卷文7）设是首项大于零的等比数列，则“是“数列是递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】 B C目标班学案3【拓3】已知命题；，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围【解析】 的取值范围为也可以先将题目条件转化为是的必要非充分条件，再求解【例6】 在下列结论中，正确的有_“为真”是“为真”的充分不必要条件；“为假”是“为真”的充分不必要条件；“为真”是“为真”的充分不必要条件；“为真”是“为假”的必要不充分条件；“为真”
30、是“为假”的必要不充分条件【解析】 ；充要条件这一块要特别注意题目的写法，通常的写法是是的充分必要条件，在出现另一种写法：的充分必要条件是时，这可以通过分析句子主干得到，转化为谁是谁的条件如：的充分条件是，主干是条件是，即是的充分条件，故为同样：的必要条件是，主干是条件是，即是的必要条件，故为也可以借助直观的例子去加深理解：如：是的爸爸：表示是爸爸；的爸爸是：表示是爸爸这两种说法是不一样的如何转化一目了然给出以下四个条件：；或；且其中可以单独作为“若，则“的充分而不必要条件的是 【解析】 实战演练 【演练1】 “至多四个”的否定为（ ）A至少有四个B至少有五个C有四个D有五个【解析】 B【演练
31、2】用量词符号“”表示下列命题，并判断下列命题的真假 任意实数都有，； 存在实数，【解析】 ，；假命题；，；假命题【演练3】写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题 若，则全为0 若是偶数，则都是偶数 若，则【解析】 逆命题：若全为0，则否命题：若，则不全为0 逆否命题：若不全为0，则 逆命题：若都是偶数，则是偶数否命题：若不是偶数，则不都是偶数逆否命题：若不都是偶数，则不是偶数 逆命题：若，则或否命题：若且，则逆否命题：若，则且【演练4】下列命题中正确的是（ ）“若，则不全为零”的否命题“如果两个多边形是正多边形，则它们相似”的逆命题“若，则有实根”的逆否命题“若是有理数，则是无理数”的逆否命题A B C D【解析】 B【演练5】设集合，则是的真子集的一个充分不必要的条件是（ ）A B CD【解析】 D大千世界 “”是“方程有个不同实根”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 C方程有个不同实根方程有两个不等正根17第1讲提高-尖子-目标教师版