1、第6讲 曲线与方程解析几何6级直线方程六大考点满分晋级 解析几何4级直线与圆锥曲线的位置关系初步解析几何5级曲线与方程新课标剖析 当前形势曲线与方程在近五年北京卷（理）考查510分高考要求内容要求层次具体要求ABC曲线与方程的对应关系掌握求轨迹方程的一般方法，理解曲线与方程的对应关系北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）第4题5分第19题问5分第19题问5分第19题问5分第14题5分6.1曲线与方程的概念知识点睛1坐标法：在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的方法称为坐标法2轨迹方程：一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常
2、称为满足某种条件的点的轨迹方程3在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 曲线上点的坐标都是方程的解； 以方程的解为坐标的点都在曲线上那么，曲线叫做方程的曲线，方程叫做曲线的方程即：曲线用集合的特征描述为曲线的方程和方程的曲线比较抽象，尽可能举例说明，从学过的直线、圆、圆锥曲线中挑都可以此外，还可以举反例加深理解比如过点且平行于轴的直线和方程之间的关系，只具备，不满足，因此不是直线的方程，也不是方程所表示的曲线，只是其一部分又比如满足到两个坐标轴距离之积为（）的点所成的曲线与之间的关系经典精讲考点1：曲线与方程的概念【铺垫】 若曲线上的点的坐标都是方程的解，则下面判断正确的是（ ）
3、A曲线的方程是B以方程的解为坐标的点都在曲线上C方程表示的曲线是D方程表示的曲线不一定是 如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是（ ）A曲线上的点的坐标都满足方程B坐标满足方程的点有些在上，有些不在上C坐标满足方程的点都不在曲线上D一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程【解析】 D D【例1】 下列哪组方程表示相同的曲线（ ）A与 B与C与 D与设曲线的方程为，直线的方程为，点的坐标为，那么（ ）A点在曲线C上，但不在直线上B点不在曲线C上，但在直线上C点既在曲线C上，又在直线上D点既不在曲线C上，又不在直线上方程表示的曲线是（ ）A一条直线和一双曲线 B两条直线 C
4、两个点 D以上答案都不对下列命题正确的是（ ）A到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是B已知三点，的边上的中线方程是C到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是D到轴的距离等于2的点的轨迹方程是【解析】 C B C C提高班学案1【拓1】 已知方程，判断、是否在此方程表示的曲线上；若点在此方程表示的曲线上，求【解析】 在方程表示的曲线上，不在此方程表示的曲线上 或目标班学案1【拓3】 指出方程所表示的曲线，若点，在曲线上，则_，_ 方程所表示的曲线为（ ）A圆B直线C椭圆D抛物线【解析】 ，或 D；6.2曲线的交点和性质知识点睛1已知两条曲线和的方程分别为和，则和的交点坐标对应方程组的实数解
5、2利用方程研究曲线的性质：曲线的组成和范围；曲线与坐标轴的交点；曲线的对称性质；曲线的变化情况；画出方程的曲线经典精讲考点2：曲线的交点和性质【例2】 曲线与曲线的交点的个数是_两曲线与交于两点，此两点间的距离是（ ）A小于 B等于 C等于 D大于【解析】 ； B尖子班学案1【拓2】 设，曲线和有四个交点，求的范围【解析】 【例3】 方程所表示的曲线（ ）A关于轴对称 B关于对称 C关于原点对称 D关于对称【解析】 C；提高班学案2【拓1】 已知是直线：上的一点，是直线外一点，则方程表示的直线与直线的位置关系是（ ）A平行 B重合 C垂直 D斜交【解析】 A；尖子班学案2【拓2】 已知圆的方程
6、，点在圆外，点在圆上，则表示的曲线是（ ）A就是圆B过点且与圆相交的圆C可能不是圆D过点且与圆同心的圆【解析】 D；目标班学案2【拓3】 （2011北京高考14）曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹给出下列三个结论：曲线过坐标原点；曲线关于坐标原点对称；若点在曲线上，则的面积不大于其中，所有正确结论的序号是_【解析】 ；6.3曲线方程的求解知识点睛1求曲线方程的步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；写出适合条件的点的集合；用坐标表示条件，列出方程；化方程为最简形式；证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点求曲线方程时，一般、可以省略但要注意化简前后
7、方程的解集的统一性2求曲线轨迹方程的常见方法有：直接法、相关点法、参数法直接法：指通过解读题目的条件，明确轨迹所满足的代数关系与几何性质之后，根据题目条件或曲线的定义直接写出轨迹方程，再进行化简计算的方法相关点法：有时欲求的轨迹上的动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可以先把、表示为、的式子，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程，这种方法叫做相关点法（或代入法或转移法）其实质是在设条件以后，得到方程式的关键在于“代入”参数法：动点坐标、之间的关系很隐蔽时，引入恰当的参数，利用参数求得、与参数之间的关系，然后消去参数，得、之间的直接关系运用此法的关键在于恰当的选取参数，一般的原则是：参数的变化必
8、须直接影响动点的变化；便于消去参数；常用的参数有几何参数（角度、直线的斜率和截距、点的坐标、线段的长度、有向线段的数量和定比等等）和物理参数（时间、速度、位移等等）1、求曲线的方程要注意的问题：适当建立坐标系坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁杂与难度在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中若有直角，可考虑将直角的两直角边作为坐标轴等坐标系建立得好与坏与计算的繁简以及方程的形式有关，而与轨迹无关根据条件列出方程根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一
9、环应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些相关概念、公式、性质、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式证明还应证明上面所求得的方程就是曲线的方程课本上说“一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（即证明完备性）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明”不能由此得“不需要证明”的印象，而仅仅是在同解变形的前提下，不要求证明若化简过程不是方程的同解变形，就必须注意在变形过程中是产生了增根还是减根，并在所得的方程中加以删除或补充，此时也可不必写出证明过程2、在求解曲线的方程时经常会出现的是产生多解或漏解的错误
10、，在实际求解过程中要注意：注意动点所满足的某些隐含条件；注意方程变形的同解性；注意图形可能的不同位置或字母系数可能取不同值时的讨论等3、求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等经典精讲直接法对应例5，两问分别是代数法和几何法，相关点法对应例6，参数法对应例7考点3：求轨迹方程【例4】 已知的边在轴上，若，求点的轨迹方程若直线与的斜率之积为，求点的轨迹方程若，求点的轨迹方程已知椭圆左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点则线段垂直平分线与的交点的轨迹是
11、（ ）A直线 B圆 C椭圆 D抛物线【解析】 所求轨迹方程为（），轨迹为去掉一点的直线；所求轨迹方程为（），故所求轨迹为去除两点的椭圆；所求轨迹方程为（），故所求轨迹为去除两点的圆 D；求动点的轨迹方程，如果动点坐标、之间的关系比较明显，那么可以用直接法提高班学案3【拓1】 已知的边在轴上，若直线与的斜率之积为（），求点的轨迹 等腰三角形底边上两个顶点为，则顶点的轨迹方程是_【解析】 所求轨迹方程为（）当时，点的轨迹为去除两点的双曲线；当，且时，点的轨迹为去除两点的椭圆，且当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上；当时，点的轨迹为去除两点的单位圆 【例5】 已知定点，点在圆上运动，则线段
12、的中点的轨迹方程为_已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是_【解析】 ； 相关点法也可以认为是参数法的一种特殊情况相关点法的一般步骤：1、建立坐标系，设动点坐标及其相关的点的坐标；2、写出应满足的关系式 ；3、写出与之间应满足的关系式，并解出， ；4、将代入，得动点满足的轨迹方程，并化简尖子班学案3【拓2】 点是曲线上的动点，直线是线段的中垂线，则点的轨迹方程是_【解析】 【例6】 过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程直线与圆相交于两个不同点，当取不同实数值时，则中点的轨迹为（）A线段B圆的一部分C椭圆的一部分D抛物线的一部分【解析】 的
13、轨迹方程为 B；参数法的一般步骤：1、建立坐标系，设动点坐标；2、引入若干个参数，列出比参数个数多个的独立方程；3、消去参数得到轨迹方程，并化简需要注意的是：消参后，需要注意保持由参数引起的、的取值范围的一致性轨迹问题的一个难点是轨迹的范围问题，因为等价转化很困难，所以最后的范围不好限制高中对轨迹的范围限制的要求很不明确，一般来说，只要有范围限制的意识，对形式没有太多要求很多问题很难求出或的范围，可以直接用文字说明，是某某曲线在某某曲线之间的部分，也可以用一些不等式直接表示出来目标班学案3【拓3】 已知点，分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2求线段中点的轨迹的方程【解析】 点的轨
14、迹方程为，为双曲线的一支交轨法：（选讲）当动点为某两条动曲线的交点，但不易直接找到动点坐标、之间的关系时，则可选取和两动曲线均相关的某个参变量作媒介，分别求出两动直线的含参变量的方程，然后联立消去参数即得所求轨迹方程，此法为参数法的特殊情形，使用的前提是“动点为某两条动曲线的交点”，关键是选好同时影响两条动曲线变化的参变量交轨法的一般步骤：1、建系，设动点坐标；2、选取影响两动曲变化的参变量，并求两动曲线的含参变量的方程；3、联立两动曲线的方程，消去参数即得轨迹方程【选讲】 已知直线：和：，则此两直线的交点的轨迹方程为_ 已知、，圆的一条动弦垂直于，设和交于点，求的轨迹方程； 过抛物线（）的顶
15、点作两条互相垂直的弦、过作的垂线，求垂足的轨迹方程【解析】 ；联立，消去得： 法一：设，则，直线的方程为：；直线的方程为：，两式相乘得：，又，故方程为，即（）法二：如图建系，设，则直线：，即；直线：，即；两方程相乘消参得（）为所求点的轨迹方程 设的方程为，点，则的方程为由得，由得，则的方程为，的方程为，点的坐标满足，由消去，并整理得点的轨迹方程是点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉原点）实战演练 【演练1】条件：曲线上所有点的坐标都是方程的解；条件：以方程的解为坐标的点都在曲线上则与的关系是（ ）A是的充分不必要条件 B是的必要不充分条件C是的充要条件 D既不是的充分条件也不是的必要条件【解析
16、】 D【演练2】“点在曲线上”是点的坐标满足方程的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【解析】 B；【演练3】与曲线的交点个数是_【解析】 ；【演练4】平面直角坐标系中，若定点与动点满足则点的轨迹方程是_【解析】 ；【演练5】点是曲线上的动点，点，且点为线段的中点，求动点的轨迹方程【解析】 动点的轨迹方程为【演练6】过圆外一点，作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹【解析】 点的轨迹方程为，所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在圆内的部分大千世界 （2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二竞赛）动点满足（其中是常数），那么点的轨迹是 【解析】 过点且垂直于直线的直线；动点的几何意义是到定点的距离等于到定直线：的距离，点的轨迹是过且垂直的直线75第6讲提高-尖子-目标教师版