1、复数第1讲 新课标剖析 当前形式复数在近五年北京卷考查5分高考要求内容要求层次具体要求ABC复数的基本概念了解数系的扩充的基本过程与复数的概念复数的几何意义与运算掌握复数的几何意义与复数的代数形式的四则运算法则北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第1题5分第2题5分第2题5分第2题5分第4题5分1.1复数的概念知识点睛1复数的概念：设、都是实数，形如的数叫做复数，复数通常用小写字母表示，即，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，称作虚数单位2复数的分类：当时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当时，叫做虚数而当且时，叫做纯虚数
2、复数可分成：实数()和虚数复数集：全体复数所构成的集合；通常用大写字母表示，实数集是复数集的真子集，即，复数集是实数集的扩充N: Natural number； Z:Zahlen（德语整数）； Q: Quotient（英语:商）； R: Real number C: Complex number3复数的几何意义：复数被一个有序实数对所惟一确定，而每一个有序实数对，在平面直角坐标系中又惟一确定一点（或一个向量）即每一个复数，对应着平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着惟一的一个有序实数对这样我们通过有序实数对，可以建立复数和点（或向量）之间的一一对应关系点或向量是复数的几何表示复数有
3、序实数对点复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴轴的单位是，轴的单位是实轴与虚轴的交点叫做原点，原点对应复数设（），则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作， 共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数则这两个复数叫做互为共轭复数复数的共轭复数用表示即当时，则在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等 实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数，即任意一个实数与轴上的点一一对应，任意一个纯虚数与轴上除原点外的点一一对应 如果，则这表明复数的模是实数的绝对值的推广 当复数的虚部时，有，也就是说，任一实数的共
4、轭复数仍是它本身经典精讲考点：复数概念的理解【例1】 已知复数，求实数分别取什么值时，分别为:实数; 虚数; 纯虚数.【解析】 易知 若为实数，则，解得（舍）或，当时为实数 若为虚数，则，解得且，当且时为虚数 若为纯虚数，则，不存在这样的使为纯虚数目标班学案1【拓2】 实数分别取什么数值时？复数， 与复数相等； 与复数互为共轭； 对应的点在轴上方【解析】 根据复数相等的充要条件得解得 根据共轭复数的定义得解得 根据复数对应点在轴上方可得，解得或【例2】 在下列命题中，正确的命题为_两个复数不能比较大小；若是纯虚数，则实数；是虚数的一个充要条件是；若是两个相等的实数，则是纯虚数；的一个充要条件是
5、的充要条件是【解析】 【备选】 已知，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围【解析】 1.2复数的运算知识点睛1复数的加法与减法加法：设，定义复数的加法运算满足交换律、结合律相反数：已知复数，存在惟一的复数，使，叫做的相反数在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称复数的减法法则：，复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则2复数的乘法设，、，定义复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方复数的乘方也就是相同复数的乘积实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数、和自然数、，有，
6、在复数的乘方运算中，要记住以下结果：，；，记，则，3复数的除法已知，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作两个复数除法的运算法则如下：经典精讲考点：复数的运算【例3】 集合，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A BC D 已知虚数为的一个立方根，即，且对应的点在第二象限，则_，_ _； _【解析】 A ； 尖子班学案1【铺1】 已知复数的共轭复数是，且满足求【解析】 或【例4】 设，且，求证：为实数【解析】 法一：设，依题意，有，则，所以为实数法二：因为，且，所以可设，则为实数法三：由条件可知，则，所以，则，所以为实数【点评】 复数的共轭与模长的相关运算性质：设的共轭复数为，则；为实数；为
7、纯虚数；对任意复数有；，特别地有；，以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明目标班学案2【拓2】 设复数满足，求的最值【解析】 由题意，则设，则当时，此时；当时，此时【例5】 设方程的根分别为，且，求实数的值 解关于的方程【解析】 或 错解：由复数相等的定义得分析：“且成立”的前提条件是，但本题并未告诉是否为实数法一：原方程变形为，由一元二次方程求根公式得，原方程的解为，法二：设，则有，由得：，代入中解得：或，故方程的根为考点：复数的几何意义尖子班学案2【铺1】 已知平行四边形的三个顶点、对应的复数分别为0，试求： 表示的复数； 表示的复数； 点对应的复数【解析】 表示的复数为，即
8、表示的复数为 点对应的复数为【例6】 如果复数满足，那么的最小值是（ ）A1 B C2 D 复数分别满足，则的最小值为_【解析】 A； ；【点评】 的几何意义为点到点的距离；中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点尖子班学案3【拓1】 满足及的复数的集合是（ ）A BC D【解析】 D目标班学案3【拓2】 已知复数的模为，则的最大值为_【解析】 的最大值为【备选】 已知复数满足，且，求证：【解析】 设复数在复平面上对应的点为，由条件知，即以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为该正方形的一条对角线，所以 1、 复数，满足，证明：【解析】 法一：设复数，在复平面上对
9、应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，设，则由向量垂直可得，即，则，所以法二：设，则有即，化简知：，故 2、 已知复数，满足，且，求与的值【解析】 设复数，在复平面上对应的点为，由于，故，故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；设，则由向量垂直可得，其中，即，则实战演练【演练1】 (2010陕西文数)复数在复平面上对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】 A【演练2】 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A B4 C D6【解析】 C【演练3】 设，则下列命题中一定正确的是（）A的对应点在第一象限 B的对应点在第四象限C不是纯虚数 D是虚数【解析】 D【演练4】 已知复数，则的最大值为（）A B C D3【解析】 A；【演练5】 若复数，求实数使（其中为的共轭复数）【解析】 由，可知，代入得：，即则，解得或【演练6】 已知关于的方程有实数根，求复数的模的最小值【解析】 设且，则，当且仅当，即时取等号，故大千世界（全国高中数学联合竞赛湖北省预赛）已知复数满足，则 【解析】显然有，于是，9高二文科第1讲尖子-目标教师版