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著名机构高二数学文科春季班讲义第4讲 函数的周期性与对称性 删解析版

1、函数的周期性与对称性第4讲 4.1函数的周期性知识点睛一般地,对于函数,如果存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期对于一个周期函数,如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做它的最小正周期 今后涉及到的周期,如果不加特殊说明,均指最小正周期 并不是任何周期函数都有最小正周期,如常量函数.周期函数的定义域是无界的,若为的周期,则(且)均为的周期常见周期函数形式(其中):,最小正周期为,最小正周期为,最小正周期为,最小正周期为经典精讲考点:周期性的应用【例1】 设函数是周期为,且在区间内单调递减,则的大小关系为_ 已

2、知函数是周期为的函数,当时,当时, 的解析式是_; 设函数()是以为周期的奇函数,且,则( ) A B C D 定义在上的偶函数,满足,且在区间上单调递减,则( )ABCD【解析】 D A 【例2】 已知定义在上的奇函数满足,则_ 已知是定义在上的奇函数,且满足,当时,则使的值等于( )A B C D 设定义在上的函数满足,若,则_【解析】 A 尖子班学案1【拓1】 设的定义域为且,且,如果为奇函数,当时,则_;当时,_【解析】 ;目标班学案1【拓2】 设函数是定义在上的奇函数,对于任意的,都有,当时,则_ 【解析】 ; 4.2函数的对称性知识点睛 由奇偶性引入对称性1轴对称的图象关于直线对称

3、;的图象关于直线对称;的图象关于直线对称 证明:以为例,利用点的对称性证明函数图象的对称性设点为函数图象上任意一点,则该点关于直线的对称点为,而,所以,即点在函数的图象上,即函数的图象关于直线对称2中心对称 的图象关于点中心对称; 的图象关于点中心对称; 的图象关于点中心对称; 证明:以为例,利用点的对称性证明函数图象的对称性设点为函数图象上任意一点,则该点关于点的对称点为,而,即,即点在函数的图象上,也就是说函数的图象关于点对称经典精讲考点:对称性的应用【例3】 若函数的图象关于直线对称,当时,则当时, 二次函数的最小值为,则,的大小关系是_; 如果函数是偶函数,那么函数的图象关于_对称.

4、若函数是奇函数,那么函数的图象关于_对称【解析】 直线 点 尖子班学案2【拓1】 函数在上是增函数,是偶函数,则,的大小关系是_【解析】目标班学案2【拓2】 函数的定义域为,且,已知为奇函数,当时,那么,当时,的递减区间是_【解析】考点:对称性与周期性综合应用【例4】 设是定义在上以为周期的函数,在内单调递减,且的图象关于直线对称,则下面正确的结论是( )A; B;C; D 定义在上的函数,其图象关于点对称,且,则_【解析】 B; 4.3函数的图象变换知识点睛1平移变换:向左平移个单位得到函数的图象;向右平移个单位得到函数的图象;向上平移个单位得到函数的图象;向下平移个单位得到函数的图象简记为

5、“左加右减,上加下减”2对称变换:函数与的图象关于轴对称;函数与的图象关于轴对称;函数与的图象关于原点对称;3翻折变换:的图象:可将的图象在轴下方的部分对应翻折到轴上方,其余部分不变;的图象:可先作出的图象,再利用偶函数的图象关于轴对称的性质,作出的图象经典精讲【例5】 设为常数,函数若为偶函数,则等于_; 已知,并且,是方程的两根,实数,的大小关系可能是( ); A BC D【解析】 D【例6】 若函数则不等式的解集为_; 若函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是_ 【解析】 【备选】 函数单调减区间是 【解析】 ,【例7】 对于定义在上的函数,有下述命题:若是奇函数,则的图象关于点对称若对

6、,有,则的图象关于直线对称若函数的图象关于直线对称,则为偶函数函数与函数的图象关于直线对称其中正确命题的序号为_.【解析】 函数的定义域为,且满足:是偶函数,是奇函数,若,则_【解析】【点评】当函数具有双对称性时,可推导出函数具有周期性 函数有对称轴,则函数的周期为 , 则 函数具有对称轴,对称中心,则函数的周期为实战演练【演练1】 函数既是定义域为的偶函数,又是以为周期的周期函数,若在上是减函数,那么在上是( )A增函数 B减函数 C先增后减函数 D先减后增函数【解析】 A【演练2】 已知是周期为的奇函数,当时,设,,则( )ABCD【解析】 D; 【演练3】 设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则_【解析】【演练4】 若函数满足,且时,则函数的图象与函数图象的交点的个数为_【解析】大千世界(湖南省高中数学竞赛)函数的定义域为,若与都是奇函数,则( )A是偶函数 B是奇函数 C是奇函数 D是偶函数【解析】 C为奇函数;为奇函数;,周期为,为奇函数33高二文科第4讲尖子-目标教师版