1、函数的周期性与对称性第4讲 4.1函数的周期性知识点睛一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期 今后涉及到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期 并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数.周期函数的定义域是无界的，若为的周期，则(且)均为的周期常见周期函数形式（其中）：，最小正周期为，最小正周期为，最小正周期为，最小正周期为经典精讲考点：周期性的应用【例1】 设函数是周期为，且在区间内单调递减，则的大小关系为_ 已
2、知函数是周期为的函数，当时，当时， 的解析式是_； 设函数()是以为周期的奇函数，且，则（ ） A B C D 定义在上的偶函数，满足，且在区间上单调递减，则（ ）ABCD【解析】 D A 【例2】 已知定义在上的奇函数满足，则_ 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，则使的值等于（ ）A B C D 设定义在上的函数满足，若，则_【解析】 A 尖子班学案1【拓1】 设的定义域为且，且，如果为奇函数，当时，则_；当时，_【解析】 ；目标班学案1【拓2】 设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当时，则_ 【解析】 ； 4.2函数的对称性知识点睛 由奇偶性引入对称性1轴对称的图象关于直线对称
3、；的图象关于直线对称；的图象关于直线对称 证明：以为例，利用点的对称性证明函数图象的对称性设点为函数图象上任意一点，则该点关于直线的对称点为，而，所以，即点在函数的图象上，即函数的图象关于直线对称2中心对称 的图象关于点中心对称； 的图象关于点中心对称； 的图象关于点中心对称； 证明：以为例，利用点的对称性证明函数图象的对称性设点为函数图象上任意一点，则该点关于点的对称点为，而，即，即点在函数的图象上，也就是说函数的图象关于点对称经典精讲考点：对称性的应用【例3】 若函数的图象关于直线对称，当时，则当时， 二次函数的最小值为，则，的大小关系是_； 如果函数是偶函数，那么函数的图象关于_对称.
4、若函数是奇函数，那么函数的图象关于_对称【解析】 直线 点 尖子班学案2【拓1】 函数在上是增函数，是偶函数，则，的大小关系是_【解析】目标班学案2【拓2】 函数的定义域为，且，已知为奇函数，当时，那么，当时，的递减区间是_【解析】考点：对称性与周期性综合应用【例4】 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）A； B；C； D 定义在上的函数，其图象关于点对称，且，则_【解析】 B； 4.3函数的图象变换知识点睛1平移变换：向左平移个单位得到函数的图象；向右平移个单位得到函数的图象；向上平移个单位得到函数的图象；向下平移个单位得到函数的图象简记为
5、“左加右减，上加下减”2对称变换：函数与的图象关于轴对称；函数与的图象关于轴对称；函数与的图象关于原点对称；3翻折变换：的图象：可将的图象在轴下方的部分对应翻折到轴上方，其余部分不变；的图象：可先作出的图象，再利用偶函数的图象关于轴对称的性质，作出的图象经典精讲【例5】 设为常数，函数若为偶函数，则等于_； 已知，并且，是方程的两根，实数，的大小关系可能是（ ）； A BC D【解析】 D【例6】 若函数则不等式的解集为_； 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是_ 【解析】 【备选】 函数单调减区间是 【解析】 ，【例7】 对于定义在上的函数，有下述命题：若是奇函数，则的图象关于点对称若对
6、，有，则的图象关于直线对称若函数的图象关于直线对称，则为偶函数函数与函数的图象关于直线对称其中正确命题的序号为_.【解析】 函数的定义域为，且满足：是偶函数，是奇函数，若，则_【解析】【点评】当函数具有双对称性时，可推导出函数具有周期性 函数有对称轴，则函数的周期为 ， 则 函数具有对称轴，对称中心，则函数的周期为实战演练【演练1】 函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上是减函数，那么在上是（ ）A增函数 B减函数 C先增后减函数 D先减后增函数【解析】 A【演练2】 已知是周期为的奇函数，当时，设,，则（ ）ABCD【解析】 D； 【演练3】 设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称，则_【解析】【演练4】 若函数满足，且时，则函数的图象与函数图象的交点的个数为_【解析】大千世界（湖南省高中数学竞赛）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）A是偶函数 B是奇函数 C是奇函数 D是偶函数【解析】 C为奇函数；为奇函数；，周期为，为奇函数33高二文科第4讲尖子-目标教师版