1、函数的单调性与奇偶性第3讲 3.1函数的单调性知识点睛一般地，设函数的定义域为，区间如果取区间中的任意两个值，改变量，则当时，就称函数在区间上是增函数；当时，就称函数在区间上是减函数如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性（区间称为单调区间） 函数的单调性是定义在某个区间上的，所以我们可以说函数在区间，上单调递增，却不能说函数在区间上单调递增（其中）；对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；中学阶段所研究的函数主要是连续函数或是分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调因此
2、，在考虑它的单调区间时，包不包括端点都可以必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点经典精讲考点：单调性的判断【例1】 下列函数在上是增函数的是_；在区间上是减函数的是_ . 【解析】 ；【点评】熟悉基本初等函数的图象，它们是研究函数的性质的基础【备选】 函数的单调递减区间为 【解析】【备选】 函数的单调区间是_【解析】 和【例2】 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，判断函数在定义域内的单调性，并证明【解析】 函数在其定义域上为增函数任取，则依题意有， ，即，即，即，函数在其定义域上为增函数考点：单调性的应用【例3】 若函数（为常数）为单调递增函数，则值可为（ ）A2
3、BC0D 函数当时是单调函数，则的取值范围_； 若在区间上是增函数，则实数的取值范围是 【解析】 A 尖子班学案1【拓1】 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是 ；如果函数与函数在区间上都是减函数，那么实数的取值范围是 【解析】 ；目标班学案1【拓2】 已知函数，在上是增函数，则的取值范围是_【解析】3.2函数的奇偶性知识点睛1定义：设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，若，则这个函数叫做奇函数若，则这个函数叫做偶函数 由奇偶性的定义，可知一个函数具有奇偶性的一个必要条件是其定义域关于原点对称， 所以在研究函数的奇偶性时，一般首先确定其定义域是否关于原点对称2性质：如果一个函数
4、是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数 如果我们知道一个函数是奇函数或是偶函数，则只需要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可以得出这个函数在另一部分上的性质和图象3对于定义域内的任意一个，有成立，则为偶函数； 对于定义域内的任意一个，有成立，则为奇函数 任何一个定义域关于原点对称的函数都可以拆分成一
5、个奇函数和一个偶函数之和，事实上，其中为奇函数，为偶函数经典精讲考点：奇偶性判定【例4】 下列函数为偶函数的是_；为奇函数的是_； ； ； ； ； 【解析】 ；【备选】 判断函数的奇偶性：， 【解析】 奇函数； 奇函数；考点：奇偶性的应用【例5】 已知是定义在上的奇函数，且，则 ；的值域是 如图所示为函数的图象，是单位圆的一部分，其定义域为，则不等式的解集为_ 函数在上为奇函数，且当时，则它的解析式为 设函数为奇函数，则实数 【解析】 ； 尖子班学案2【拓1】 已知函数，则_； 设为常数，函数若为偶函数，则_【解析】 目标班学案2【拓2】 设，其中为常数若，则 如果函数是奇函数，那么_【解析】
6、 考点：奇偶性与单调性综合【例6】 已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是 函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则一定有（ ）A BC D【解析】 B尖子班学案3【拓1】 已知偶函数在上是减函数，比较与的大小【解析】 ，当时，等号成立，又是偶函数，且在上是减函数，在上是增函数，则当时，当时，目标班学案3【拓2】 设是奇函数，且在上是增函数，则的解集为_【解析】【例7】 已知定义在上的奇函数，当时， 求在上的解析式； 判断的单调性【解析】 当时，则，又函数为上的奇函数，则，所以在上的解析式为； 设，则，因为，所以，即函数在区间上单调递减，由与是奇函数，所以在区间上也是单调递减函数【
7、备选】 已知函数， 讨论函数的奇偶性； 证明：对于定义域内任意，总有成立【解析】 要使函数有意义，需，即，所以，即函数为偶函数 当时，有，即，又因为，所以； 由偶函数的性质，知当时，函数 所以，对于定义域内的任何，都有【备选】 已知函数是奇函数，且 求函数的解析式； 求证：； 判断函数在上的单调性，并加以证明【解析】 由于函数为奇函数，则，即，即其次，则，所以函数的解析式为 所以 因为，函数在上单调递减 任取，则， ， 而，所以， 即函数在上单调递减已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有 解不等式：； 若对所有、恒成立，求实数的取值范围【解析】 任取，则，由于函数为奇函数， 则， 即，为增
8、函数 所以，解得，即不等式的解集为 由知函数单调递增，则的最大值为， 对所有、恒成立 对所有恒成立 对所有恒成立 考虑函数， 则对所有恒成立 ，解得或或实战演练【演练1】 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_【解析】【演练2】 已知f (x)是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么的值域是_【解析】 ； 【演练3】 已知函数是奇函数，当时，那么当时，的解析式是 【解析】【演练4】 判断函数的奇偶性，并证明【解析】 ，即，所以函数为奇函数【演练5】 定义在实数上的函数是偶函数，当时， 求在上的表达式； 求的最大值，并写出在上的单调区间（不必证明）【解析】 当时，有，则，所以 当时，开口向下，对称轴为，所以在单调递增，在单调递减由偶函数性质，函数的最大值为；所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，大千世界设是实数，且满足，求的值【解析】 方程组可变形为，则考虑函数，可知函数为奇函数，并且在上为增函数，则，由单调性知，所以25高二文科第3讲尖子-目标教师版