1、函数的极值和最值第7讲 知识点睛1判断函数的单调性设函数在区间内可导，若在内，有，则函数在此区间单调递增；若在内，有，则函数在此区间单调递减 上面的条件只是函数单调性的充分条件，不是必要条件即若知道可导函数单调递增（减），不一定能得到，在该区间上可能存在导数为零的点2研究函数的极值和最值极值的概念已知函数及其定义域内一点，若存在一个包含的开区间，对于该开区间内除外的所有点，如果都有，则称函数在点处取极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有，则称函数在点处取极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点 最值的概念 函数的最大（小）值是函
2、数在指定区间的最大（小）值 极值针对的是一个开区间内的函数值的情况，最值只是在指定的区间上，对区间的端点不限制可导函数极值的分析方法在处，若在左侧，在右侧则是的极大值点；若在左侧，在右侧，则是的极小值点 只是为极值点的必要条件，不是充分条件如果在的两侧导数符号不变，则不是极值，当然也就不是极值点如，在处 求可导函数的极值的步骤：找函数的定义域；求导数；求方程的所有实数根；对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右两侧，导函数的符号如何变化 求指定区间上函数的最值的步骤：求函数在该区间上的极值；把极值与端点的函数值作比较，最大的为最大值，最小的为最小值经典精讲考点：函数的单调性【例1】 函数的单调
3、增区间为_； 函数的单调递减区间为_； 函数的单调递减区间为_【解析】 尖子班学案1【拓1】 函数单调递增区间是_ 函数，其中为实数，当时，（ ）A是增函数 B是减函数 C是常数函数 D即不是单调函数，也不是常函数【解析】 A目标班学案1【拓2】 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A BC D 已知是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ） A B C D【解析】 D D考点：函数的极值与最值【例2】 设函数，讨论的单调性和极值【解析】 的定义域为，当时，；当时，；当时，+极小值极大值由单调性和极值可以画出函数的大致图象，如下：尖子班学案2【拓1】设函数，已知是奇函数 求
4、、的值； 求函数的单调区间与极值【解析】 ，是奇函数，则，即，即，所以对任意成立，即， 由知，令，解得，当取值变化时，变化情况列表如下：极大值极小值所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；在时取到极大值；在时取到极小值目标班学案2【拓2】设函数讨论的单调性与极值【解析】 的定义域为当时，；当时，；当时， +极大值极小值在区间，上单调递增；在上单调递减极大值为，极小值为根据的极值点和单调区间，以及在定义域边缘的趋势：时，；时，可得的大致图象如下：【例3】 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为 求，的值； 求函数的单调区间，并求函数在上的最大值和最小值【解析】 为奇函
5、数，即，的最小值为，又直线的斜率为， 由知，令，解得或，当取值变化时，变化情况列表如下：极大值极小值所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；，函数在区间上的最大值是，最小值是【例4】 已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程； 当时，讨论的单调性【解析】 当时，所以，因此，即曲线在点处的切线斜率为又，所以曲线在点处的切线方程为，即 因为，所以，由解得当时，的变化如下表即时，函数单调递减；时，函数单调递增；时，函数单调递减综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减【例5】 已知是实数，函数 若，求的值及曲线在点处的切线方程； 求在区间上的最大值【解析】 ，因为，所以又当时，所
6、以曲线在处的切线方程为 令，解得，当，即时，在上单调递增，从而；当，即时，在上单调递减，从而；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以综上所述，尖子班学案3【拓 1】（2012北京高考文）已知函数， 若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； 当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值【解析】 由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得： ，设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为目标班学案3【拓2】已知，若在上的最小值是，求的值【解析】 ，当时，
7、时，函数单调递减，时，函数单调递增，最小值为；时，函数在上有，单调递减，最小值为，不合题意；时，函数在上单调递减，最小值，不合题意综上，的值为【例6】 已知函数 当时，求函数的极小值； 若，试讨论曲线与轴公共点的个数【解析】 ，极小值为 若，则，的图像与轴只有一个交点；若，则极大值为，的极小值，且时，；时，图象大致如下的图像与轴有三个交点若，类似的，极大值为，极小值，的图像与轴只有一个交点；另外，若，则，单调增，的图像与轴只有一个交点；若，同样的，的图像与轴只有一个交点；综上知，若的图像与轴只有一个交点；若，的图像与轴有三个交点已知函数在区间，内各有一个极值点 求的最大值； 当时，设函数在点处
8、的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式【解析】 ，则，依题意可知在区间，上有两根， 设为的两根，则有，又，即，所以的最大值为； 依题意，函数的切线在点穿过函数图象，则函数的切线的斜率在点单调性改变，即导函数在区间，的单调性不同，即，即，即，又，则，所以函数的解析式为实战演练【演练1】 下列函数存在极值的是（ ）A B C D 函数有（ ）A极小值，极大值 B极小值，极大值 C极小值，极大值 D极小值，极大值 下列说法正确的是（ ） A函数在闭区间上的极大值一定比极小值大； B函数在闭区间上的最大值一定是极大值；C对于，若，则无
9、极值；D函数在区间上一定存在最值【解析】 B D C【演练2】 函数在区间上的最大值是 【解析】【演练3】 函数在区间上的最大值是_； 已知（为常数），在上有最大值，那么函数在上的最小值为_【解析】 【演练4】 （2010年高考安徽卷文科）设函数，求函数的单调区间与极值【解析】 由已知有，令，解得，当变化时，变化如下极大值极小值由表可知，的单调递增区间是和，单调递减区间是极大值是，极小值是【演练5】 已知函数 求的单调减区间； 若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值【解析】 ，令，解得， 当或时，均有， 即函数的单调递减区间为，； 当变化时，的变化情况如下表：极小值 ，所以最大值为， 即，最小值为大千世界（全国高中数学联赛辽宁省初赛试题）已知函数 若，证明：对于任意两个正数，总有成立； 若对任意，不等式恒成立，求的取值范围【解析】 ，因为，所以，又，故，所以，； 因为对恒成立，故，因为，所以，因而，设，因为当时，所以，又因为在和处连续，所以在为增函数，所以57高二文科第7讲尖子-目标教师版