1、直线与圆锥曲线第13讲 13.1位置关系初步知识点睛1直线：（、不同时为0）与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，联立这两个曲线的方程，消去（或消去）得：若，相交；相离；相切若，再单独判断；2连结圆锥曲线上两个点的线段称为这个圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，弦长公式：两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）3涉及到直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次
2、方程根与系数的关系（韦达定理），这样可直接得到两交点的坐标之和；也可用作差方法（“点差法”）找到两交点坐标的和与差，直接建立中点坐标与弦的斜率的关系 直线与圆锥曲线的位置关系在文科课本没有单独的章节，但仍然是常考内容这类问题基本思路是联立方程，消元得到关于或的一元二次方程，再利用判别式判断相交情况与交点个数；利用韦达定理处理中点与弦长的相关问题特别简单的情况下可以直接解方程得到交点坐标，大部分情况下利用弦长公式与两根差公式更为简单易算需要注意的是：如果一条直线经过椭圆内部一点，则它与椭圆必然相交；直线与双曲线的位置关系可以直接通过双曲线的渐近线的几何关系得到；直线与抛物线的位置关系注意消元时的
3、选择，可以大大减少计算量设定直线方程时注意对斜率不存在情况的讨论；消元后得到的一元二次方程注意二次项系数经典精讲考点：交点个数问题尖子班学案1【铺1】 证明：直线：与椭圆一定有两个相异的交点【解析】 联立，消去得，此时，且，故此时此方程一定有两个相异的实根，直线与椭圆一定有两个相异的交点事实上，直线过定点，此点在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个相异的交点反之，如果过一点的所有直线都与椭圆有交点，则此点一定在椭圆内或者在椭圆上【例1】 过点作直线，使与抛物线只有一个公共点，则这样的直线有_条，写出它们的方程_ 已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是_【解析】 ；与 ；
4、目标班学案1【拓2】 过点与抛物线（）只有一个公共点的直线的条数是（ ）ABCD 若直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是_【解析】 D； 且；【备选】 过点作直线与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有_条【解析】 ；考点：抛物线的切线问题【例2】 （2010东城二模4）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）AB C D 抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）A BC D【解析】 D； A；考点：交点问题与中点问题【例3】 过抛物线的焦点，作垂直于抛物线的轴的直线，设交抛物线于、两点，则_ 直线与椭圆的公共点、的坐标为_ 一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在坐标原点，
5、则这个三角形的面积等于_【解析】 ； 与； ；【例4】 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于、两点，若直线的倾斜角为，则弦的中点坐标为（ ）ABCD 是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，则（）ABCD 以点为中点的抛物线的弦所在的直线方程为（ ）A BC D【解析】 C； B； C；目标班学案2【拓2】 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 中心在原点，一个焦点为的椭圆，被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为_【解析】 B； ；【备选】
6、斜率为的直线交椭圆于、两点，则线段的中点的坐标满足方程（ ）A B C D【解析】 B；考点：弦长问题与面积问题尖子班学案2【铺1】 已知直线：与双曲线相交于、两点，则_【解析】 ；【例5】 直线与抛物线有、两个交点，且的中点的横坐标为，则为（）ABCD 若过椭圆右焦点且倾斜角为的直线与椭圆相交所得的弦长等于，则_【解析】 C； ；目标班学案3【拓2】 （2010新课标20）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，且，成等差数列求；若直线的斜率为1，求的值【解析】 ；【例6】 直线与椭圆有两个不同的交点，记的中点为，求的取值范围；若点在直线上，求的值；若的面积为，其中为坐标原点，求
7、的值【解析】 或； ； 或；【备选】 设直线：关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）A B C D【解析】 B；13.2位置关系综合经典精讲 常见的综合问题有：垂直问题、弦长或面积的范围与最值问题、定点定值问题等；零轮复习我们只考虑第一类：对垂直问题的转化与处理对垂直条件可以通过勾股定理、斜率关系进行转化，但前者计算量比较大，后者需要讨论斜率不存在或为零情况，都会比较麻烦对于解析几何中的垂直条件，我们一般都通过向量的数量积为零进行转化即，再利用坐标运算将这样的等式整理成两根和或积的形式，得到所要的结果对于垂直关系的给出，有时也会比较隐蔽，比如
8、告诉我们某点在以某线段为直径的圆上等，更进一步的探讨我们放到以后的复习中，这里先接触一些最简单的情形考点：垂直条件转化尖子班学案3【铺1】 已知点是双曲线渐近线上的一点，、是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（ ）ABCD【解析】 C；【例7】 已知椭圆：，直线：与椭圆交于不同的两点， 求的取值范围； 为坐标原点，若，求的值【解析】 【备选】 已知抛物线：，动直线过定点，交抛物线于两点，求证：【解析】 设，要证明，只需证明当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去并化简得：于是易知异号，故，综上知，点评：这是一个一般性的结果，并且还可以证明，如
9、果直线交抛物线得到的两点满足，则直线必过定点本题消元时消去，后面的计算会更直接已知两点，给出下列直线方程：；则在直线上存在点满足的所有直线方程是_（只填序号）【解析】 ；满足的点的轨迹为双曲线的右支上，故只要判断直线与此双曲线右支的交点个数因为双曲线的渐近线方程为，直线过原点且斜率，所以直线与双曲线无交点；直线与直线平行，且在轴上的截距为，故与双曲线的右支有交点；直线的斜率，故也与双曲线的右支有交点大千世界已知直线与双曲线的左支交于点、若有另一条直线经过点及线段的中点求直线在轴上的截距的取值范围【解析】 设，、，由题意联立，消去得由已知直线与双曲线的左支交于点、，得，解得因为为线段的中点，所以点的横坐标为，纵坐标为，直线的斜率为直线的方程为令，则直线在轴上的截距为又，故二次函数的取值范围为，即或所以的取值范围为43高二文科第13讲尖子-目标教师版