1、复数第1讲1.1复数的概念与几何意义知识点睛1复数的概念：设、都是实数，形如的数叫做复数，复数通常用小写字母表示，即，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，称作虚数单位2复数的分类：当时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当时，叫做虚数而当且时，叫做纯虚数 复数可分成：实数（）和虚数复数集：全体复数所构成的集合，通常用大写字母表示，实数集是复数集的真子集，即，复数集是实数集的扩充N: Natural number； Z:Zahlen（德语整数）； Q: Quotient（英语:商）； R: Real number C: Complex number3复数的几何意义：复数被一个有序实数对所惟一确
2、定，而每一个有序实数对，在平面直角坐标系中又惟一确定一点（或一个向量）即每一个复数，对应着平面直角坐标系中每一个点（或每一个向量），也对应着惟一的一个有序实数对这样我们通过有序实数对，可以建立复数和点（或向量）之间的一一对应关系点或向量是复数的几何表示复数有序实数对点复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴轴的单位是，轴的单位是实轴与虚轴的交点叫做原点，原点对应复数设（），则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作， 共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数则这两个复数叫做互为共轭复数复数的共轭复数用表示即当时，则在复平面内，表示两个共轭复
3、数的点关于实轴对称，并且它们的模相等 实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数，即任意一个实数与轴上的点一一对应，任意一个纯虚数与轴上除原点外的点一一对应 如果，则这表明复数的模是实数的绝对值的推广 当复数的虚部时，有，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身经典精讲考点：复数的概念与分类【例1】 已知复数， 取何值时，是虚数？纯虚数？ 的实部与虚部相等时，求的值【解析】 当时，为虚数；当时，为纯虚数； 由题意知：，解得：或尖子班学案1【拓1】 已知，其中，问当取何值时，是纯虚数；，是实数【解析】 ，是纯虚数，所以首先满足，解得，代入验证，知，的虚部都不为，所以当，时，是纯虚数，
4、 ，是实数，则有，解得或， 所以，当或时，是实数【例2】 如果实数满足，求的值【解析】 由两个复数相等的定义知：或考点：复数的几何意义尖子班学案2【铺1】 如果，复数在复平面上的对应点在第 象限 设，复数和在复平面内对应点分别为、，为原点，则的面积为 【解析】 三，复数的实部，虚部，表示的点在复平面的第三象限 1；在复平面内，由复数与点的对应关系知，【例3】 已知，复数，当为何值时，对应的点位于复平面第二象限；对应的点在直线上 设，满足下列条件的点的集合是什么图形？ ； 设，若对应的点在直线上求，与【解析】 当对应的点位于复平面第二象限时，则有，解得或 当对应的点在直线上时，则有，即，解得或
5、以，为顶点的四边形的内部；单位圆在第四象限内的部分，不含边界以，为顶点的四边形的内部， 由题意得：，即，也就是，解得于是，1.2复数的运算知识点睛1复数的加法与减法加法：设，定义复数的加法运算满足交换律、结合律：即对任意复数、，有，相反数：已知复数，存在惟一的复数，使，叫做的相反数在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称复数的减法法则：，复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则2复数的乘法设，、，定义复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数、，有，一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方复数的乘方也就是相同复数的乘积
6、实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数、和自然数、，有，在复数的乘方运算中，要记住以下结果：，；，记，则，与相关的题目在春季讲义中会有3复数的除法已知，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作两个复数除法的运算法则如下：经典精讲考点：复数运算的几何意义应用【例4】 在复平面内，是原点，表示的复数分别为，那么表示的复数为_ 画出关于的方程在复平面上所表示的图形【解析】 ； 该方程代表到点，的距离相等的点的轨迹，也就是到线段的端点的距离相等的点的轨迹，所以表示复平面上一条直线考点：复数的运算【例5】 若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为 是虚数单位，（ ）AB C D 设（
7、是虚数单位），则（ ）A B C D【解析】 ； D； A；【例6】 方程的一个根为，求实数，的值【解析】 法一：为方程的根，将代入方程，化简整理得，而为实数，因此法二：可以通过求根公式计算得到的值，即，故，法三：对任意复数，有若复数是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数也是该方程的根，已知实系数方程的一个根为，则方程的另一根为，由根与系数的关系可知，尖子班学案3【拓1】 若方程有实根，求出实数的值，并求出此实根【解析】 方程有实根，则，利用复数相等的定义有：；而，所以当时，；当时，目标班学案1【拓2】 关于的方程有实根，求实数的取值范围【解析】 误解：方程有实根，解得或分析：判别式只能用来判
8、定实系数一元二次方程根的情况，而该方程中与并非实数正解：设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得【例7】 已知复数，当时，求的取值范围【解析】 ，由，得，化简整理，解得，即的取值范围为目标班学案2【拓2】 如果复数，的实部与虚部互为相反数，求与的值【解析】 ，又实部与虚部互为相反数，即，解得，故，；（也可以利用），判断正误：互为共轭复数的两个复数之差是纯虚数【解析】 ，则，当时，；当时，为纯虚数，所以两个共轭复数之差为零或纯虚数【点评】容易直觉上觉得剩下的是虚部，所以是纯虚数，忽略了虚部为零实战演练 【演练1】 如果复数，问实数取何值时：为虚数？为纯虚数？【解析】 当时，为虚数
9、；当时，为纯虚数【演练2】 已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】 D，故复数表示的点在第四象限，选D【演练3】 复平面内三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对 应的复数为，求点对应的复数【解析】 对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为又，点对应的复数为【演练4】 已知关于的方程组有实数解，求实数的值【解析】 由题意得，解得将上述结果代入第二个等式中得，由复数相等得：，解得【演练5】 已知有一个根是，求另一个根及的值【解析】 因是其根，代入原方程为，由此得，设是另一根，则由根与系数的关系得，从而得【演练6】 已知，若，求的值【解析】 法一：由得：；又由得：，得法二：大千世界 已知复数，满足：，则的最小值为（ ）A B C D不能确定【解析】 C复数表示复平面上射线，复数表示复平面上圆心在，半径为的圆，而表示圆周上任一点与直线上任一点之间的距离由于圆心到直线的距离，所以距离最小值为7第1讲尖子-目标教师版