1、集合与函数概论第3讲3.1 集合 知识点睛1集合的基本概念 集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号表示）和不属于（用符号表示） 集合中元素的特征 确定性：集合中的元素必须是确定的 互异性：集合中的任意两个元素必须是不同的无序性：集合与组成它的元素的顺序无关 集合的分类（按元素个数的多少） 有限集；无限集 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做，空集归入有限集对于空集要处处设防，时刻提高警惕警防，的错误；2集合间的关系 子集：如果集合的任意一个元
2、素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集记做 真子集：若，且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集记做对于任何集合，规定子集关系具有如下性质： 若，则若，则3集合的运算 ，用维恩图表示交集与并集， 全集与补集 全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用表示 补集：如果给定，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记做若，则 性质：；，；，经典精讲考点：集合的概念与分类【例1】 已知集合，则集合中元素个数为_个； 下列命题中，正确的为_ 集合中的最小正数是；若，则；全体高个子同学构成一个集合；小于的正整数构成一
3、个集合是有限集 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ） A B C D 下面几种表示法，能正确表示方程组的解集的是_； 【解析】 ； ； 中当时， C 选项A，B，D中集合的元素都是数，C中集合的元素是方程 表示两个方程；表示两个数；表示开区间或表示一个坐标考点：集合之间的关系与运算【例2】 下列命题中，正确的是_ 空集没有子集；空集是任何一个集合的真子集；任何一个集合都有两个或两个以上的子集如果集合，那么若元素，则必定不属于 设集合，且，则的取值集合为_； 设为全集，集合，满足，则下列集合中，一定为空集的是（ ） A B C D 已知全集，如果，是的两个子集，且满足，求，【解析】 ； 若，
4、则或；若，则，矛盾 A 画出维恩图可知A选项为空集 ，画维恩图如下：则，尖子班学案1【拓1】 设，且，则_，_ 已知全集，集合，则（ ）A B CD【解析】 ，对比两个集合的元素，有且，则 C，画维恩图可知目标班学案1【拓2】 已知集合，且，则 . 设集合，则下列选项中正确的是（ ）A B C D【解析】 或由知, 又根据集合元素的互异性, 所以有或，解得或，故或. B，考虑分子，取遍奇数，取遍所有整数【例3】 全集，不等式组的解集为若，求，；若，求实数的取值范围；设集合的整数解组成集合，试用列举法写出集合【解析】 当时，；，此时，； 由于，且，所以； ，则【备选】设全集，集合，集合，那么_【
5、解析】集合为直线上除点之外的所有点，集合为直角坐标平面上直线外的所有点，所以构成集合，则中元素的个数最多是_个，元素个数最少的集合_【解析】 ；或当且时，元素个数最多当或时元素个数最少 3.2函数概念 知识点睛1函数的概念 定义：设集合是一个非空数集，对中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数记作 定义域：其中叫做自变量，自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域 值域：如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作或，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域 因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，所以确定一个函数就只需两个
6、要素：定义域和对应法则 在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 在实际应用中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约2映射 映射：设，是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对中的任意一个元素，在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合映射象：称是在映射下的象，记作原象：称作的原象映射也可以记为：其中叫做映射的定义域，由所有象构成的集合叫做映射的值域，通常记作映射是函数概念的推广，或者说：函数是一种特殊的映射 到的映射，集合不一定是值域一一映射：如果映射是集合到集合的映射，并且对于集合中的任意一个元素，
7、在集合中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合到集合的一一映射经典精讲考点：函数概念的理解尖子班学案2【铺1】 已知函数若，则实数_； 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） 【解析】 或 若，解得，满足题意；若，解得，也满足题意，所以实数的值为或 B【例4】 在下列函数：；中，与表示同一函数的是_； 已知，则_ 已知函数，若，则的值为_； 下列和的关系式不能构成从的函数的是_； ； ； 【解析】 令，则，则 若，则，解得（舍）或， 若，则，解得（舍）， 由定义域和对应法则确定了一个函数，需满足，且，定义域为空集，所以不能构成函数
8、，中一个对应两个，不是函数目标班学案2【拓2】 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A， B，C，D， 已知函数，若，则实数_【解析】 C选项A、B、D中两个函数的定义域均不相同 或 若，则，解得， 若，则，解得【例5】 函数的定义域是_； 函数的定义域是_； 函数的定义域为_；函数的定义域为_【解析】 ，即，解得或， ； ，即，即 ，即，解得【点评】关于定义域，常考形式：分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数为正；指数，对数的底数大于且不为尖子班学案3【拓1】 函数的定义域是_； 函数的定义域是_【解析】 ，解得目标班学案3【拓2】 函数的定义域是_； 函数的定义域为_【解析】 需满足
9、，解得 需满足，解得【例6】 下列函数中值域是的是（ ）A， B C D 函数，的值域为_； 函数的值域为_； 已知，则能构成以为值域且对应法则为的函数关系有_个【解析】 D 对称轴为，所以该函数的最大值为，最小值为，所以值域为 函数，所以函数值域为 设定义域为，则中必须至少包含和中的各一个 所以集合可以为，；，；共个目标班学案4【拓2】 函数的值域为_； 函数的值域是_【解析】 因为，则 法一：，又非负所以法二：因为，则，且，所以可设，则，由于，则，所以。考点：映射的理解【例7】 是从到的映射，其中，已知，则中元素的象是_，中元素2的原象是_ 已知，设计一个集合到集合的一一映射，写出对应法则
10、_ 设，下面的对应法则能构成从到的映射是（ ）A BC D【解析】 ， 解出集合，则一一映射可以为 D 保证中每一个元素在中都有象而中的元素不一定有原象实战演练 【演练1】 设集合，且，求实数，的值【解析】 若，则有，从而，即；若，则，解得，矛盾所以，【演练2】 在下列各组函数中，与表示同一函数的是（ ）A， B，C，D，【解析】 D【演练3】 下列各选项的两个函数中定义域相同的是（ ）A，B，C，D，【解析】 C【演练4】 函数的值域为_【解析】，所以时，取到最大值，当时，取到最小值【演练5】 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合求： 集合，； 集合，【解析】 ，解得，则，解得或，则 ，大千世界 记表示不超过实数的最大整数，设，则_；如果，那么函数的值域是_【解析】当时，则；当时，所以所以当时，的值域为11第3讲尖子-目标教师版