1、三角公式与计算第5讲5.1三角函数定义及诱导公式知识点睛1三角函数的定义 弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角是弧度的角，弧度记做，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制，如果圆的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，则，对应的扇形的面积 三角函数定义：若角的终边上有一点()，记点到原点的距离为，则；2同角三角函数关系，； 注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等； 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：，等3诱导公式把任意角的三角函数值化归为锐角三角函数值 终边相同的角的同一三角函数的值相等，； 角与的三角函数间的关系；，； 角与的三角函数间的关系；，； 角与
2、的三角函数间的关系；， 角与的三角函数间的关系；， 角与的三角函数间的关系， 可以利用单位圆，角的对称性，进而直接导出各种诱导公式；经典精讲考点：三角函数定义的应用【例1】 下列各角中与角终边相同的是（ ）；ABCD 若为坐标原点，是单位圆，角的终边与交于点，则_； 若，则角的终边在第_象限； 设是关于的方程的解，其中，则_【解析】 B； ； ，所以，则 四； 或 ，且，所以， 则或，即或尖子班学案1【拓1】 已知角顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边在射线，上，则_ 若，则（ ）A，且B，且C，且D，且【解析】 ； C； 因为，所以弧度位于第三象限目标班学案1【拓2】 若点是角的终边上的一
3、点，且，则的值是_ 已知角是三角形的一个内角若，则的范围是_【解析】 因为，所以，又， 则，解得 因为，结合三角函数的定义知，若，则考点：同角三角函数关系与诱导公式【例2】 已知，为第二象限角，则_；_； 已知，则_；_；_【解析】 ； ，而 ， 又为第二象限角，所以， 则 ；因为，则，则，；尖子班学案2【拓1】 求证：【解析】 原式左边，所以原等式得证 【例3】 _； _； 已知，则_【解析】 原式 ； 目标班学案2【拓2】 已知，且，则_【解析】，即，又，则，5.2三角恒等变换知识点睛1和角公式 以余弦为例，证明如下：法一：如图，在直角坐标系内作单位圆，并作出角，与，使角的始边为，交于点，
4、终边交于点；角的始边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点则，由及两点间的距离公式，得展开并整理，得 于是法二：（此时还没复习向量，老师可酌情介绍）以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角与，它们终边分别与单位圆相交于点，则，因此存在，使或成立因为所以于是2辅助角公式 ，其中点在角的终边上 ，而，3二倍角公式 公式的逆向变换及有关变形；.；经典精讲考点：公式的直接运用【例4】 若，则等于_； 若角的终边经过点，则_； 若，则_；_； 已知，且为第三象限角：求的值；分别计算的值并判断角所在的象限【解析】 ； ；依题意得，则 ，；依题意得，则， 因为为第三象限角， 因为，所以为第一象限角【备选】已知
5、求的值；求的值【解析】 ； ，考点：公式的综合运用【例5】 的值等于_； 的值为_； 设，则的大小顺序为_【解析】 ；， ； ，【例6】 已知，且、为锐角，那么的值是_； 已知，则的值为_; 已知，则_；_【解析】 ；，又，为锐角，从而， ； ，； ， ， ，因为，则， 从而，所以，由，可知尖子班学案3【拓1】 已知：角为第一象限角，且，求：，的值【解析】 法一：，即，又，所以，因为为第一象限角，即，又，所以，则，所以，则法二：因为为第一象限角，即，则，则， ， 则，所以，目标班学案3【拓2】 已知，且， 求的值； 求【解析】 ，则， 则， ，则，则， ， 【备选】已知， 求的值； 求的值【解
6、析】 ， 原式 【例7】 等腰三角形的底角的正弦与余弦的和为，则它的顶角是_； 如图，正方形中，分别为的中点，设，则_；【解析】 或 设等腰三角形的顶角为，则底角为， 所以，即， 从而，则，所以或 设正方形边长为，记，则依题意可知：， 且，； 所以已知,是方程的两根，若,，则（ ）AB或 C或D【解析】 D依题意有，则，因为，所以同号，又，所以，即所以【点评】本题易忽略缩小的范围，直接得到两个解实战演练 【演练1】 若，则_【解析】 ；【演练2】 已知，则的值为_【解析】 ；法一：，法二：，解得【演练3】 在中，若，则的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法判定【解析】 C，即，即为钝角【演练4】 _【解析】原式 【演练5】 已知为锐角，且； 求的值； 求的值【解析】 原式， （或）因为为锐角，从而所以待求式子值为大千世界 (2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛)设，则的最小值为_【解析】不妨设，则，且于是的最小值为13第5讲尖子-目标教师版