1、三角函数图象及性质第6讲知识点睛1 正弦函数正弦函数 图象性质定义域值域周期性最小正周期为奇偶性奇函数对称性对称轴直线对称中心单调性单调增区间单调减区间2余弦函数余弦函数 图象性质定义域值域周期性最小正周期为奇偶性偶函数对称性对称轴直线对称中心单调性单调增区间单调减区间3正切函数正切函数 图象性质定义域值域周期性最小正周期为奇偶性奇函数对称性对称中心单调性单调增区间4函数的性质 周期性：函数（其中为常数，且）的周期仅与自变量的系数有关最小正周期为 设的周期为，则，即由于的最小正周期为所以，即注意：如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期 奇偶性：当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数 对称
2、轴方程：，其中 对称中心：，其中经典精讲考点：三角函数图象及性质简单应用【例1】 函数的图象关于_中心对称； 函数的单调减区间是_； 如果函数的图象经过点，那么可以是（ ）；A BCD 函数的值域为_； 定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为_【解析】 ； ； A； ；当时，；当时，所以最大值为，最小值为 尖子班学案1【拓1】 对于函数有如下四个判断是周期函数，并且有最小正周期；有最小值；在上是增函数；是偶函数其中正确的判断有_【解析】 ；，函数图象如下图所示：所以函数的周期为，最小值为，在上单调递增，没有奇偶性；从而正确目标班学案1【拓2】 不等式的解集为_
3、【解析】，所以原不等式等价于，即，由余弦函数图象，所以【例2】 函数的最小正周期是_； 函数是（ ）A周期为的偶函数 B周期为的奇函数C周期为的偶函数 D周期为的奇函数 下列命题中，是真命题的为_； 既不是奇函数，也不是偶函数；是第一象限角，则为增函数；是三角形的内角，有最大值，最小值不存在；的最小正周期是；【解析】 ； ，所以最小正周期为 A； ，所以最小正周期为，并且为偶函数 ； ，所以正确 ，都为第一象限角，且，但，所以错误 当时，所以正确 ，最小正周期为，所以错误考点：三角函数图象变换【例3】 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个
4、长度单位D向右平移个长度单位 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）；A BCD 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）ABCD【解析】 A；， B；由先得到的图象，再向上平移个单位长度得到的图象 C；由先得到的图象，再把各点横坐标伸长到原来倍得到的图象【点评】注意在图象变换时，其本质是点的坐标的变换；不管对函数图象左右平移还是伸缩各点横坐标，所针对的对象都是尖子班学案2【拓1】 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个
5、长度单位D向右平移个长度单位【解析】 C，而，所以需将函数的图象向左平移个单位长度考点：三角函数图象及性质综合应用【例4】 函数的最小正周期为_；最大值为_； 函数的最小值为_ 同时具有性质：“最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数”的一个函数是（ ）；ABCD【解析】 ，； 所以最小正周期为，最大值为 ；法一：最小值为法二：因为，所以则最小值为 C； 由最小正周期为，则有； 图象关于直线对称，则有函数在取到最值；结合条件，检验选项知选C【例5】 已知函数的图象如图所示，则_，_ ； 已知函数的部分图象如图所示，那么函数的解析式可以是（ ）； A BC D 已知其中，且在区间有最小值，无
6、最大值，则_图 图【解析】 ，； ，所以；经过点，所以，即，又，所以 C； ，所以， 过点，则，即，对比选项，知C正确 因为，且在区间有最小值，无最大值； 所以在处取得最小值，且，即，且所以，即，从而仅当时，满足条件目标班学案3【拓2】 已知存在实数，（其中，）使得函数是奇函数，且在上是增函数 当时，的值是_ 所有符合条件的与的值为：_；_【解析】 ，；， 因为为奇函数，且在为增函数，所以在上均为增函数 从而得，则有，又，所以【备选】若函数(其中)的定义域为开区间，函数的值域是一个左闭右开的区间，则满足要求的函数的解析式可以是_（写出一个解析式即可）.【解析】依题意可知函数能取到最小值，取不到
7、最大值，则首先有，即，不妨取，则函数满足存在一个长度为的开区间，在这个区间上，能取到最小值，但取不到最大值，再通过图象平移，把这个区间平移到与区间重合即可【例6】 已知函数的图象经过点 求实数的值； 若，求函数的单调递减区间【解析】 ，又，解得； ，当时，；当，即时，函数单调递减，当时，函数的单调递减区间是函数的最小正周期为（ ）A B C D【解析】 B，定义域为，且，所以最小正周期为【点评】本题易忽略定义域直接得到最小正周期为实战演练 【演练1】 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【解析】 D，所以需将函
8、数的图象向右平移个单位长度【演练2】 函数的图象的对称轴中与轴距离最近的一条是_【解析】 ；【演练3】 函数的单调递减区间是_【解析】，解得，所以单调递减区间为，【演练4】 函数在一个周期内的图象如下图，此函数的解析式可以为（ ）A BC D【解析】 A，则，即【演练5】 设函数 求的最小正周期； 当时，求函数的最大值和最小值【解析】 最小正周期为 当，则， 当，即时，函数取到最小值为， 当，即时，函数取到最大值为大千世界 （2009年湖南省高中数学竞赛B卷）将函数的图象向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得函数的图象，则可以是（ ）A B C D【解析】 C；向平移后为，关于轴对称变换后为，于是有即，即11第6讲尖子-目标教师版