1、立体几何初步第1讲 满分晋级 立体几何5级空间向量与立体几何立体几何7级立体几何之平行问题立体几何6级立体几何初步新课标剖析 当前形势立体几何在近五年北京卷（文）考查1924分高考要求内容要求层次具体要求ABC柱、锥、台、球及其简单组合体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构三视图，斜二测法画简单空间图形的直观图能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012
2、年（新课标）2013年（新课标）第4题 5分第16题14分第5题 5分第16题14分第5题 5分第17题14分第7题 5分第16题14分第8题 5分第10题 5分第17题14分暑期知识回顾空间几何体的基本元素：点、线、面平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示用命名，或用大写字母表示：如平面或平面多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱
3、；，其中为直棱柱的底面周长，为底面积，为高；棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；，为底面边长，为底面周长，为斜高；棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（为高，为斜高），（为底面面积）旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；圆柱的定义，记法和性质，；为底面半径，为高；圆锥的定义，记法和性质，；为底面半径，为高；圆台的定义，记法和性质，为底面半径，为高；空间几何体棱柱 棱锥 棱台圆柱 圆锥 圆台球面：一个半圆周绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；球：球面围成的几何体，也称球体，有球心、半径、直径的概
4、念；球的表面积及体积公式：，；大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；球面距离：球面上两点间的最短距离，是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度球 暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾1下列说法正确的是（ ）A有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形【解析】 D2将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，
5、棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ）A BC D【解析】 D3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）ABCD【解析】 A4两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A BC D【解析】 B5一个底面棱长为的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心、，则线段的长为_【解析】6等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是_【解析】7一个长方体的全面积是，所有棱长的和是，则长方体的对角线长为_【解析】 8在半径为的球的内部有一点，该点到球心的距离为，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）ABCD【解
6、析】 B1.1空间几何体的表面积及体积考点1：多面体和旋转体的表面积及体积知识点睛1多面体的表面积和体积公式名称侧面积全面积体 积棱柱棱柱直截面周长 直棱柱棱锥棱锥各侧面面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和 正棱台表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想本版块重点是表面积和体积公式的应用三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面2旋转体的表面积和体积公式名称侧面
7、积全面积体 积圆柱（即）圆锥圆台球表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥的底面半径，、分别表示圆台的上、下底面半径，表示球的半径圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用经典精讲提高班学案1【铺1】已知六棱锥的底面是边长为的正六边形，点在底面的投影是正六边形的中心，且，则该四棱锥的表面积为_，体积为_正棱锥的高增为原来的倍，底面边长缩为原来的，那么体积（ ）A缩为原来的B增为原来的倍 C没有变化 D以上结论都不对【解析】 ，； A；【例1】 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）ABCD如图，点、分别在单位正方体的、上，则三棱
8、锥的体积为_已知三个球的半径、满足，则它们的表面积、满足的等量关系是_已知平行四边形两邻边的长和，当它分别绕边，旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）AB C D【追问】三角形三条边长分别为，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）AB C D【解析】 B； ； ； A【追问】D考点2：几何体的表面积体积综合求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见经典精讲提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则 【解析】 ；【例2】 圆柱形容器内部盛有高度为
9、的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 如图所示，一个正三棱柱形容器，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图所示，这时水面恰好过棱的中点，则图中水面的高度是_图图图【解析】 ； ；尖子班学案1【拓2】 有一个圆锥形容器正放，它的高为，圆锥内水面的高度为，将圆锥倒置，求倒置的水面高度【解析】 目标班学案1【拓3】 如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是；若将直三棱柱的面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为 厘米
10、【解析】 ；【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）【解析】 B、D；1.2组合体1简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体2简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成组合体是空间几何体的难点，特
11、别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，然后通过相关截面分析和解决问题对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决考点3：简单几何体的内切球与外接球经典精讲【例3】 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积等于 正方体全面积为，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积圆台的内切球半径为，且圆台的全面积和球的表面积之比为，求圆台的上，
12、下底面半径（）【解析】 ； 它的内切球的表面积为，外接球的表面积为，与各棱相切的球的表面积为【点评】 正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心这对长方体的外接球也同样适用同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等 ，尖子班学案2【拓2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是【解析】 ；目标班学案2【拓3】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
13、，底面周长为3，那么这个球的体积为_【解析】 ；考点4：正四面体的内切球与外接球经典精讲【例4】 如果正四面体的外接球的体积为，则四面体的体积为_如果正四面体的内切球的体积为，则四面体的体积为_【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为，求四面体的体积 ； ；【追问】【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为时，求它的内切球半径与外接圆半径由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为法一：如图3，将正四面体置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，正方体的棱长为，体对角线长为，故正四面体的体积，从而正
14、四面体的高满足：利用体积法直接求内切球的体积：将正四面体分割成以球心为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥，它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径，故故外接球可以利用知，法二：如图1，为底面的中心，高，一定在上，在中，即，解得，法三：如图2，为底面的中心，则一定在上，为球的大圆直径故，设，则，故，由平面射影定理知，即，解得，综上，我们知当正四面体的棱长为，它的高为，体积为，外接球半径为，内切球半径为1.3空间几何体的直观图与三视图考点5：空间几何体的直观图知识点睛1直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图2画法：斜二测画法和正等测画法：斜二测画法规则：在已
15、知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，再作轴，使，（三维空间中）画直观图时，把，画成对应的轴，使或，所确定的平面表示水平平面（二维平面上）已知图形中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或 轴的线段并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图斜
16、二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成或角，长度为原长的一半”斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程经典精讲【例5】 正三角形的边长为，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是_如下右图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积【解析】 ； 周长为，面积为考点6：空间几何体的三视图知识点睛研究在平面
17、上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何在平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应用画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论法国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了年后才出版公开三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，
18、投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽
19、度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”经典精讲提高班学案3【铺1】 设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为）则该几何体的体积为 【解析】 4【例6】 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（ ）A372 B360 C292 D280一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）A B C D某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD 第题 第题 第题【解析】 B A B；尖子班学案3【拓2】 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A BC D【解析】 C目标班
20、学案3【拓3】 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（ ）AB CD【解析】 A【例7】 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（ ）ABCD某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（ ）A B CD【解析】 C； C；将半径都为的个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）ABCD【解析】 C四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为，故其高设装入四个钢球的正四面体容器为（如图），球心在其高上，且下面求设为球与平面的切点，则在中线上，选C实
21、战演练【演练1】设表示平行六面体，表示直平行六面体，表示长方体，表示正四棱柱，表示正方体，则，的关系是（ ）A BC D【解析】 C；【演练2】如图、为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ） A三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【解析】 【演练3】半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 【解析】 ；【演练4】圆台上下底面面积之比为，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比_（其中）【解析】 ；【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为 【解析】 ；【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为、高为的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为、高为4的等腰三角形 求该几何体的体积； 求该几何体的侧面积【解析】 ； 大千世界四面体的对边长分别相等，求这个四面体外接球的直径【解析】 同正四面体类似，本题思路也是构造一个和四面体具有相同外接球的长方体如图所示，作长方体，使得，则这个长方体和四面体具有相同的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径设长方体的长宽高分别为，则，三式相加可得：，15第1讲尖子-目标教师版