1、1第 8 讲尖子-目标教师版 满分晋级 新课标剖析 当前当前 形势形势 椭圆在近五年北京卷椭圆在近五年北京卷(文文)考查考查514分分 要求层次 内容 ABC 具体要求 高考 要求 直线与椭圆的位置关系 判别式和韦达定理的应用；直线与椭圆相交截得 的弦长 2009 年 2010 年（新课标） 2011 年（新课标） 2012 年（新课标）2013 年（新课 标） 北京 高考 解读 第 13 题 5 分第 19 题 14 分第 19 题 14 分第 19 题 14 分第 19 题 14 分 考点 1直线与椭圆的交点问题 第 8 讲 直线与椭圆的 位置关系 解析几何 9 级 椭圆基本量问题 解析几
2、何解析几何 1010 级级 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 解析几何 11 级 双曲线与抛物线的基 本量问题 2 第 8 讲尖子-目标教师版 暑假知识回顾 直线 ：（、不同时为 0）与椭圆：的位置关系：l0AxByCABC()0f xy ， 直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离这三种位置关系的判定条件可归纳为： 设直线 ：，椭圆：，由l0AxByCC()0f xy ， 0 ()0 AxByC f xy ， 消去（或消去）得：yx 2 0axbxc 此时一定有，相交；相离；相切0a 2 4bac 0 0 0 练习 1 若直线和椭圆有两个公共点，则的取值范围为 2ykx 22 9
3、9xy k 【解析】 或 3 3 k 3 3 k 由消去整理得， 22 2 99 ykx xy ， y 22 (91)36270kxkx 则， 222 ( 36 )427(91)108(31)kkk 当，即或时，直线与椭圆有两个公共点0 3 3 k 3 3 k 经典精讲 【例 1】 若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围1()ykxkR 22 1 5 xy m m 已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点， 1 20F ， 2 20F，340xy 则椭圆的长轴长为（ ） A B C D3 22 62 74 2 已知一条直线 与椭圆相切于点，求切线 的方程l 22 1 43 xy 3 1 2
4、 P ，l 【解析】 解法一： 由可得， 22 1 1 5 ykx xy m 22 (5)10550km xkxm 2 20510m mk 即 ， 且 2 51mk - 2 511k1m5m 解法二：直线恒过一定点(01)， 当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则 5m xbm1m 即15m 当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即5m yam5m 综述：且1m5m 解法三：直线恒过一定点(01)， 要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即(01)， 22 01 1 5m 1m 且1m5m 3第 8 讲尖子-目标教师版 C 设椭圆方程为 22 22 1
5、0 xy ab ab 由得， 222222 0 340 b xa ya b xy ， ， 2222222 38 3160abyb yba b 直线与椭圆有且仅有一个交点 422222 19243160babba b 可得， 2 7a 22 7a 设过点的直线 的方程为， 3 1 2 P ，l 3 (1) 2 yk x 将其与椭圆的标准方程联立， 22 1 43 xy 消去参数可得方程，因为该直线与椭圆相切，y 2222 (34)(128)41230kxkkxkk 所以其判别式， 2222 (128)4(34)(4123)0kkkkk 1 2 k 该直线方程为，即 31 (1) 22 yx 1
6、+2 2 yx 【点评】我们知道当点在圆时，过该点的切线方程为 00 P xy， 222 xyr 00 P xy， 2 00 x xy yr 同样可得，当点在椭圆时，过该点的切线方程为 00 P xy， 22 22 1 xy ab 00 P xy， 00 22 1 x xy y ab 尖子班学案 1 【拓拓 2】 直线与曲线（，且）的公共点的个数为（ ）2yk 2222 918|k xykxkR0k 11 B2 C3 D4 【解析】 D 将代入得，即，显然 2yk 2222 918|k xykx 2222 9418|k xkkx 2 9|18| 40xx 该关于的方程有两正解，即有四解，所以交
7、点有 4 个 |x x 目标班学案 1 【拓拓 3】 若椭圆和连结，两点的线段恒有公共点，则实数的取 2 22( 0) 2 y xaa(1 1)A ，(23)B，a 值范围为（ ） ABCD 6 6 ， 6 2 ， 634 22 ， 634 62 ， 【解析】C 线段与椭圆有公共点，其等价条件是点在椭圆内或边界上，点在椭圆外或边界上，ABAB 由此得解之得，故选 C 2 22 2 22 1 1 2 3 2. 2 a a ， 634 22 a 4 第 8 讲尖子-目标教师版 【错因分析】误区：过点，的直线方程为椭圆与线段(1 1)A ，(23)B，21yx 2 22( 0) 2 y xaa AB
8、 恒有公共点，方程组恒有解，消去得，方程有 2 22 21 2 yx y xa ， y 22 64120( ) * xxa ( ) * 实数根，由此得，因此选 A0 6 6 a 【例 2】已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点OC(23)A，(20)F， 求椭圆的方程；C 是否存在平行于的直线 ，使得直线 与椭圆有公共点，且直线与 的距离等于OAllCOAl 4？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由l 【解析】 依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，C 22 22 1(0) xy ab ab ( 2 0)F ， 从而有，解得， 2 2| 358 c aAFAF 2 4 c
9、 a 又，所以，故椭圆的方程为 222 abc 2 12b C 22 1 1612 xy 假设存在符合题意的直线 ，其方程为，l 3 2 yxt 由得 22 3 2 1 1612 yxt xy 22 33120xtxt 因为直线 与椭圆有公共点，所以有，l 22 (3 )43(12)0tt 解得，4 34 3t 另一方面，由直线与 的距离 4 可得：，从而，OAl | | 4 9 1 4 t 2 13t 由于，所以符合题意的直线 不存在2 134 34 3 ，l 【备选】已知椭圆，是过点，且相互垂直的两条直线，问实数在什么范围 22 1 169 xy 1 l 2 l(0)m，m 时，直线，都与
10、椭圆有公共点 1 l 2 l 【解析】设：，则：，与椭圆有公共点有实根 1 lykxm 2 l 1 yxm k 1 l 2 2 1 169 kxmx ，即同理与椭圆有公共点 2 22 16916161440kmkm 2 2 9 16 m k 2 l ，于是，即由于时，而与 2 2 19 16 m k 2 9 1 16 m 5m 5m 2 9259 1 1616 m 2 k 必有一个不超过 1，这时，不可能都与椭圆有公共点综上所述，时，过点 2 1 k 1 l 2 l5m 存在两条相互垂直的直线，都与椭圆有公共点，又与与与椭(0)m， 1 l 2 lyxmyxm 5第 8 讲尖子-目标教师版 圆
11、都有公共点55m ， 考点 2：椭圆中的弦长问题 暑假知识回顾 1两根差公式： 如果满足一元二次方程：， 12 xx， 2 0axbxc 则（） 2 2 2 121212 4 ()44 bcbac xxxxx x aaaa 0 连结椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦 求弦长的一种求法是将直线方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离 公式来求； 另外一种求法是如果直线的斜率为，被椭圆截得弦两端点坐标分别为，则kAB 1122 () ()xyxy， 弦长公式为 2 22 1212 1 |111ABkxxkyy ak 2涉及到直线被椭圆截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程根与系数的
12、关系（韦达定理） ，这样 可直接得到两交点的坐标之和，也可用作差方法（“点差法”）找到两交点坐标之和，直接与中点 建立联系 练习 2 已知椭圆， 2 2 :1 4 x Cy 若斜率为 1 的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，求弦的长？ABAB 若直线为，问当为何值时，直线 被椭圆所截得的弦长为？2yxmmlC 20 17 【解析】 设，由椭圆方程得， 11 ()A xy， 22 ()B xy， 2 4a 2 1b 2 3c 右焦点，直线方程为， 30F， 3yx 代入中整理得：， 22 44xy 2 58 380xx ， 64320 832 2 328 |12 55 ABk a 由方程组消去
13、得：， 2 2 2 1 4 yxm x y ， ， y 22 1716440xmxm 222 (16 )4 17(44)16(17)mmm 当，即时，方程组有两个解，直线与椭圆相交；0 1717m ，解之，得 2 2 4 1720 15 1717 m ABk a 2 3m 即当时，直线 被椭圆所截得的弦长为2 3m lC 20 17 所以直线 的倾斜角为或l 4 3 4 6 第 8 讲尖子-目标教师版 经典精讲 【例 3】已知椭圆，为坐标原点为椭圆的右顶点，点（异于点）为椭圆:C 2 2 1 4 x yOAPA 上一个动点，过作线段的垂线 交椭圆于点，求的取值范围COAPlC,E D DE A
14、P 【解析】显然直线的斜率存在，可设直线：，APAP2yk x 当时，直线：0k DE 1 yx k 联立直线与椭圆方程化简得：，AP 2222 41161640kxk xk 22222 2 22 ( 16)4(164)(41)4 1 1 4141 kkkk APk kk 联立直线与椭圆方程，有，DE 2 2 4 140x k 2 2 2 2 124 1 12 4 4 1 k DE k k k 于是由、得，设， 2 2 41 4 DE k AP k 2 4tk2t 则； 2 41515 4 DE t t APtt 1 , 2 当时，0k 4AP 2DE 1 2 DE AP 综上，的取值范围是
15、DE AP 1 , 2 【备选】 （2013 北京朝阳二模） 已知椭圆（）的右焦点为，短轴的端点分别为，且 22 22 :1 xy C ab 0ab10F， 1 B 2 B 12 FBFBa 求椭圆的方程；C 过点且斜率为（）的直线 交椭圆于，两点，弦的垂直平分线与轴Fk0k lMNMNx 相交于点设弦的中点为，试求的取值范围DMNP DP MN 【解析】 ，解得， 22 11 1 bba ab ，2 3 a b 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy 设，直线，其中， 11 M xy， 22 N xy， 1212 22 xxyy P ，:1l xmy 1 m k 7第 8 讲尖子-目标教师版
16、 则直线 的垂直平分线的方程为：，l 1212 1 22 yyxx xy m 则， 1212 0 22 yyxx D m ， 由消去得， 22 1 1 43 xmy xy x 22 34690mymy ， 12 2 6 34 m yy m 1212 2 8 2 34 xxm yy m ， 2 2 2 2 22 636 34121 1 3434 mmm MNm mm ，则， 22 43 3434 m P mm ， 2 1 0 34 D m ， 2 2 31 34 m PD m ， 2 2 2 11 41 41 DP m MNm m ， 1 0m k 1 0 4 DP MN 即的取值范围为 DP
17、MN 1 0 4 ， 尖子班学案 2 【拓拓 2】 已知椭圆与直线交于、两点，的中点 22 22 1(0) xy ab ab 1xyAB 4 2 | 3 AB ABM 与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆的方程 1 2 【解析】设， 11 ()A xy， 22 ()B xy， 00 ()M xy， 由，消去整理得， 22 22 1 1 xy ab xy y 2222222 ()20abxa xaa b 所以 2 12 22 2a xx ab 所以， 2 12 0 22 2 xxa x ab 2 00 22 1 b yx ab 因为，所以，即 1 2 OM k 2 0 2 0 OM yb k xa 2
18、 2 1 2 b a 22 2ab 代入化简整理，得 22 34220xxb 222 ( 4)43 (22)2480bb 2 2 2 2314 2 |12 33 b ABk a 解得，代入检验满足条件，所以 2 1b 2 2a 故所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 8 第 8 讲尖子-目标教师版 提高班学案 1 【铺铺 1】已知椭圆的左右焦点分别为，若过点及的直线交椭圆于， 22 1 21 xy 1 F 2 F(02)P， 1 FA 两点，求 的面积B 2 ABF 【解析】解法一：设，则由题可知：直线方程为， 11 A xy， 22 B xy， AB l220xy 由可得， 22 22
19、1 21 yx xy 2 9440yy ， 2 121212 4 10 ()4 9 yyyyy y 1212 14 10 29 SFFyy 解法二：到直线的距离， 2 FAB 4 5 5 h 由可得，又， 22 22 1 21 yx xy 2 91660xx 2 12 10 2 1 9 ABkxx 14 10 29 SAB h 【例 4】已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补 22 1 28 xy 2 (0)yx xMM 的两条直线，分别与椭圆交于、两点（异于） ABM 求证: 直线的斜率；AB2 AB k 求面积的最大值AMB 【解析】 斜率存在，不妨设，求出k0k ( 12)M
20、 ， 直线方程为，直线方程MA2(1)yk xMB2(1)yk x 分别与椭圆方程联立，可解出， 2 2 44 4 A kk x k 2 2 44 4 B kk x k ， (2) 2 ABAB ABAB yyk xx xxxx 2 AB k 设直线方程为，与联立，AB2yxm 22 1 28 xy 消去得y 22 84(8)0xmxm 由得，且， 222 1632816 160mmm 44m 0m 点到的距离为MAB 5 m d 2 22 4 165 |1516 82 m ABkm a 设的面积为MABS 2 22222 11116 |(16)4 416162 SABdmm y x A B
21、O 9第 8 讲尖子-目标教师版 当时，得2 2m max 2S 尖子班学案 3 【拓拓 2】 如图，直线与椭圆交于、两点，记的面积为ykxb 2 2 1 4 x yABAOBS 求在，的条件下，的最大值；0k 01bS 当，时，求直线的方程| 2AB 1S AB 【解析】 设点的坐标为，点的坐标为，A 1 ()xb，B 2 ()xb， 由，解得 2 2 1 4 x y 2 1,2 2 1xb 所以 222 12 1 | 2111 2 Sb xxbbbb 当且仅当时，取到最大值 1 2 2 b S 由得 2 2 1 4 ykxb x y 222 (41)8440kxkbxb 22 16(41)
22、kb 22 22 2 16(41) |112 41 kb ABkk ak 又因为到的距离，所以 OAB 2 |2 1 | 1 bS d AB k 22 1bk 代入并整理，得 42 4410kk 解得，代入式检验，故直线的方程是 22 13 , 22 kb0 AB 或或或 26 22 yx 26 22 yx 26 22 yx 26 22 yx 目标班学案 2 【拓拓 3】 如图，椭圆上的点与椭圆右焦点的连线与轴垂直，且（是坐 22 22 1 xy ab M 2 F 2 MFxOMO 标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线平行AB 求椭圆的离心率； 过且与垂直的直线交椭圆于、，若 2 FABPQ 1
23、 PFQ 的面积是，求此时椭圆的方程及的长20 3PQ 【解析】 易得， 2 b M c a ， 2 OM b k ac AB b k a ， 2 2 bb bcac aca 2 2 c e a 设直线的方程为，即PQ() a yxc b 2()yxc 代入椭圆方程消去得：，x 2 2 22 1 2 1 cy y ab y x A B O Q M P A B F2F1 O y x 10 第 8 讲尖子-目标教师版 整理得：， 22 52 220ycyc ， 2 1212 2 22 55 cc yyyy ， 2 22 2 12 2 2848 () 5525 ccc yy 1 2 2 12 14
24、3 220 325 25 PFQ c Scyyc ， 因此，所以椭圆方程为 22 5025ab， 22 1 5025 xy 2 22 ( 2 2 )45( 2)16 2 16 2 552 cc PQc 考点 3：椭圆上存在点关于直线对称的问题 知识点睛 1 点关于点的对称：由中点坐标公式知，点关于点对称的点的坐标为()xy，()ab，(22)axby， 2 已知点，直线，求点关于 的对称点，则称点的连线 11 ()A xy，:(0)l ykxb kAl 22 ()A xy，A 被直线 垂直平分，即解方程组得 AA l 1212 1 22 AA k k yyxx kb 22 xy， 经典精讲 【
25、例 5】试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称m 22 1 43 xy 4yxm 【解析】法一： 设出对称的两点及其所在的直线方程，再利用判别式及中点在对称轴上来求解0 设椭圆上关于直线 对称的两点为，其Cl 11 ()P xy， 22 ()Q xy， 所在直线的方程为，代入椭圆的方程中整理得： 1 4 yxb ， 22 13816480xbxb 12 xx 2 192(413)0b 解得： 1313 22 b 又， 121212 4112 21324213 xxyyxxbb b ， 而点又在上， 1212 22 xxyy ，4yxm 1212 4 4 2213 yyxxb m 把
26、代入得： 2 132 13 1313 m 法二： 上存在不同的两点关于直线 对称，等价于存在的弦被 垂直平分，且垂足必在椭圆ClCl 的内部，因此，这类问题可考虑利用交点在曲线的内部建立不等式CC 设椭圆上关于直线 对称的两点为，弦的中点为，Cl 11 ()P xy， 22 ()Q xy，PQ 00 ()M xy， M Q P l O y x 11第 8 讲尖子-目标教师版 代入椭圆方程得： 012 120 31 44 xyy xxy 由点在直线上得：M4yxm 00 4yxm 由解得 00 3xmym ， 在椭圆的内部，(3 )Mmm， 22 3()4( 3 )12mm 解得 2 132 1
27、3 1313 m 提高班学案 2 【拓拓 1】椭圆的两个焦点、，点在椭圆上，且， 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 2 FPC 112 PFFF 1 4 3 PF 2 14 3 PF 求椭圆的方程；C 若直线 过圆的圆心交椭圆于、两点，且、关于点对l 22 420xyxyMABABM 称，求直线 的方程l 【解析】 因为点在椭圆上，所以，PC 12 26aPFPF3a 在中，故椭圆的半焦距， 12 RtPFF 22 1221 2 5FFPFPF5c 从而， 222 4bac 所以椭圆的方程为C 22 1 94 xy 法一： 设的坐标分别为，由圆的方程为，所以圆心A B， 11 (
28、)xy， 22 ()xy， 22 (2)(1)5xy 的坐标为 M( 2 1) ， 从而可设直线 的方程为，l(2)1yk x 代入椭圆的方程得C 2222 (49)(3618 )3636270kxkk xkk 因为关于点对称A B，M 所以，解得， 2 12 2 189 2 249 xxkk k 8 9 k 所以直线 的方程为，即(经检验，符合题意)l 8 (2)1 9 yx89250xy 法二： 已知圆的方程为，所以圆心的坐标为 22 (2)(1)5xyM( 2 1) ， 设的坐标分别为，A B， 11 ()xy， 22 ()xy， 由题意且 12 xx 22 11 1 94 xy 22
29、22 1 94 xy 由得 12121212 ()()()() 0 94 xxxxyyyy 因为关于点对称，所以，A B，M 12 4xx 12 2yy 代入得，即直线 的斜率为， 12 12 8 9 yy xx l 8 9 所以直线 的方程为，即l 8 1(2) 9 yx 89250xy 12 第 8 讲尖子-目标教师版 (经检验，所求直线方程符合题意) 考点 4：直线与椭圆的综合 【例 6】已知椭圆方程为，定点，直线与此椭圆交于、两 2 2 1 3 x y10E ，2ykxCD 点是否存在实数，使得以线段为直径的圆过点如果存在，求出的值；如果不kCDEk 存在，请说明理由 【解析】设，若存
30、在实数，使得以线段为直径的圆过点， 11 C xy， 22 D xy，kCDE 则，即，ECED 1122 110xyxy， 121212 10x xxxy y ， 2 1212 12150kx xkxx 由消去得， 2 2 2 1 3 ykx x y y 22 131290kxkx ，即， 2 22 1236 133610kkk 2 1k ， 12 2 12 13 k xx k 12 2 9 13 x x k 把代入得：，解得满足题意， 2 22 91 1221 50 1313 k kk kk 7 6 k 存在实数，使得以线段为直径的圆过点 7 6 k CDE 【备选备选】椭圆中心是坐标原点
31、，焦点在轴上，过椭圆左焦点的直线交椭圆于、Ox 3 2 e FP 两Q 点，且，求此椭圆的方程 20 9 PQ OPOQ 【解析】设椭圆方程为 22 22 1 xy ab (0)ab 轴时，又且，即PQx(0)Fc ， 2 b FP a FQFPOPOQOFFP 2 b c a ， 22 acac 2 10ee 解得与题设不符，所以不垂直轴 51 2 e 3 2 e PQx ，PQ()yk xc 11 ()P xy， 22 ()Q xy， ， 3 2 e 2 4 3 ac 22 1 3 bc 所以椭圆方程可化为：，将方程代入， 222 31240xycPQ 得， 222222 (312)241
32、240kxk cxk cc 2 12 2 24 312 k c xx k 222 12 2 124 312 k cc x x k 2 2222222 244 312124481k ckk ccck 由得 20 9 PQ 2 2 2 4 3120 1 93 14 ck k k 13第 8 讲尖子-目标教师版 ，即，OPOQ 12 12 1 yy xx 1212 0x xy y 2222 1212 (1)()0kx xk c xxc k 把，代入，解得，把代入解得 12 xx 12 x x 2 4 11 k 2 4 11 k 2 3c ，则所求椭圆方程为 2 4a 2 1b 2 2 1 4 x y
33、 【例 7】（2012 北京理 19）已知曲线 22 : 528Cm xmymR 若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；Cxm 设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方） ，直线与曲线4m CyAB，AB4ykx 交于不同的两点，直线与直线交于点求证：三点共CMN1y BMGAGN， 线 【解析】原曲线方程可化简得： 22 1 88 52 xy mm 由题意可得：，解得： 88 52 8 0 5 8 0 2 mm m m 7 5 2 m 由已知直线代入椭圆方程化简得：， 22 (21)16240kxkx 由，解得： 2 =32(23)0k 2 3 2 k 由韦达定理得：， 2 16 21 MN
34、k xx k 2 24 21 MN x x k 设，(,4) NN N xk x (,4) MM M xkx(1) G G x ， 方程为：，则，MB 6 2 M M kx yx x 3 1 6 M M x G kx ， ， 3 1 6 M M x AG kx ，2 NN ANxkx ， 欲证三点共线，只需证，共线AGN，AG AN 即成立，化简得： 3 (2) 6 M NN M x x kx x k (3)6() MNMN kk x xxx 将代入易知等式成立，则三点共线得证AGN， 【例 8】（2010 天津理 20） 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 22 22 1
35、(0 xy ab ab ） 3 2 e 4 求椭圆的方程； 设直线 与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线lABA(0)a ， 0 (0)Qy， 段的垂直平分线上，且，求的值AB4QA QB 0 y 14 第 8 讲尖子-目标教师版 【解析】 由，得，再由，得 3 2 c e a 22 34ac 222 cab2ab 由题意可知，即 1 224 2 ab2ab 解方程组 得， 2 2 ab ab 2a 1b 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 由可知设点的坐标为，由题意可知直线 的斜率存在，设直线( 20)A ，B 11 ()xy，l 的l 斜率为，则直线 的方程为，kl(2)y
36、k x 于是，两点的坐标满足方程组AB 2 2 (2) 1 4 yk x x y 由方程组消去并整理，得y 2222 (14)16(164)0kxk xk 由得，从而， 2 1 2 164 2, 14 k x k 2 1 2 28 14 k x k 1 2 4 14 k y k 设线段是中点为，则的坐标为ABMM 2 22 82 1414 kk kk ， 以下分两种情况： 当时，点的坐标为线段的垂直平分线为轴，于是0k B(20)，ABy ，由，得 0 ( 2)QAy ， 0 (2)QBy ，4QA QB 0 2 2y 当时，线段的垂直平分线方程为0kAB 2 22 218 () 1414 k
37、k yx kkk 令，解得0x 0 2 6 14 k y k 由， 0 ( 2)QAy ， 110 (QBxyy ，） 42 2 1010 22222 2 4 16151 2(28)646 2(4 14141414 14 kk kkkk QA QBxyyy kkkk k ）= 整理得，故所以 2 72k 14 7 k 0 2 14 5 y 综上或 0 2 2y 0 2 14 5 y （2010 安徽理 19） 已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点E23A， 在轴上，离心率 12 FF，x 1 2 e 求椭圆的方程；E 求的角平分线所在直线 的方程； 12 F AFl 在椭圆上是否存在关于直线
38、对称的相异两点？若存在，El O A F2F1 y x l 15第 8 讲尖子-目标教师版 请找出；若不存在，说明理由 【解析】 设椭圆的方程为E 22 22 1 xy ab 由，即，得， 1 2 e 1 2 c a 2ac 2222 3bacc 椭圆方程具有形式 22 22 1 43 xy cc 将代入上式，得，解得，23A， 22 13 1 cc 2c 椭圆的方程为E 22 1 1612 xy 解法 1： 由知，所以直线的方程为：， 1 20F ， 2 20F， 1 AF 3 2 4 yx 即，3460xy 直线的方程为： 2 AF2x 由点在椭圆上的位置知，直线 的斜率为正数AEl 设为
39、 上任一点，则P xy，l 346 2 5 xy x 若，得（因其斜率为负，舍去） 346510xyx280xy 于是，由，得346510xyx 210xy 所以直线 的方程为：l210xy 解法 2： ，23A， 1 20F ， 2 20F， 1 43AF ， 2 03AF ， 12 12 114 430312 535 AFAF AFAF ， ，即 1 2k :322l yx210xy 解法 1： 假设存在这样的两个不同的点和， 11 B xy， 22 C xy， ，BCl 21 21 1 2 BC yy k xx 设的中点为，则，BC 00 M xy， 12 0 2 xx x 12 0 2 yy y 由于在 上，故 Ml 00 210xy 又，在椭圆上，所以有与BC 22 11 1 1612 xy 22 22 1 1612 xy 两式相减，得，即 2222 2121 0 1612 xxyy 12211221 0 1612 xxxxyyyy 将该式写为，并将直线的斜率和线段的中点 122112 21 11 0 8262 xxyyyy xx BC BC kBC 表示代入该表达式中，得，即 00 11 0 812 xy 00 320xy 得，即的中点为点，而这是不可