1、期末复习第15讲 15.1圆锥曲线知识点睛椭圆的定义：到两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两定点称为椭圆的焦点椭圆的标准方程：椭圆的几何性质：范围：；对称性：关于轴，轴成轴对称，关于原点（椭圆的中心）成中心对称；顶点：，；长轴：线段；短轴：线段；离心率：，越大，椭圆越扁；圆锥曲线双曲线双曲线的定义：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，两定点称为双曲线的焦点双曲线的标准方程：()双曲线的几何性质：范围：或；对称性：关于轴，轴成轴对称，关于原点（双曲线的中心）成中心对称；顶点：；实轴：线段；虚轴：线段（）；离心率：，越大，双曲线开口越开阔；渐
2、近线方程：；抛物线的定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，称为抛物线的焦点，称为抛物线的准线抛物线的标准方程：（，）；抛物线的几何性质：范围：，向右上方和右下方无限延伸；对称性：关于轴（抛物线的轴）对称；顶点：原点（抛物线与轴的交点）；椭圆抛物线经典精讲【例1】 （北京市十一学校选修2-1理科数学期末测试6）已知椭圆的焦点为和，是椭圆上的一点，且是与的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A B C D 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D 双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）A B C D ，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积是（
3、）A B C D 若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）A B C D【解析】 C是与的等差中项，即，椭圆的方程为 D椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则 双曲线的离心率为，椭圆的离心率为 D如图，根据抛物线的定义，要使取得最小值，即取得最小值，当三点共线时，取得最小值，点的纵坐标为，代入抛物线方程得横坐标为，点的坐标为【备选】 椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析】由已知有，【例2】 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的中点到焦点的距离 定长为3的线段的端点、在抛物线上移
4、动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标【解析】 由已知，的方程为，将其代入得，设，则的中点的坐标为，于是 分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和的最小值即可如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设，则，则，等式成立的条件是过点，易知当垂直于轴时，等号不成立，于是可设的方程为，代入抛物线的方程得：，要使等号成立，必有，解得于是，的中点到轴的距离有最小值为，此时中点的坐标为【例3】 设、分别是椭圆的左、右焦点 若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； 设过定点的直线与椭圆交于不同
5、的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围【解析】 解法一：易知，所以， 设，则 ，因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值； 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1 解法二：易知，所以， 设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值； 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1 显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得 ， 由，得或 又 又 ， 即， 故由得或提高班学案1【拓1】 已知点，（是大于0的常数），动点满足 求点的轨迹的方程； 点是轨迹上一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率【解析】 设，则， ， 则点的轨迹的方程为 设，直线，则点 当
6、时，由于，得 又点在椭圆上，所以，解得 故直线的斜率是尖子班学案1【拓2】 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为 求椭圆的方程； 设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值【解析】 设椭圆的半焦距为，依题意：，所求椭圆方程为 设，当轴时，时，；当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得，把代入椭圆方程，整理得， 当且仅当即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值，目标班学案1【拓3】 设椭圆的焦点分别为、，直线交轴于点，且，如图 试求椭圆的方程； 过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图），试求四边形面积的最大值和最小值【解析】 由题意，为的中点
7、，即：椭圆方程为 当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积为 同理当与轴垂直时，也有四边形的面积为 当直线，均与轴不垂直，设直线，代入椭圆方程，消去得 设，则 所以，所以，同理：所以，四边形的面积，令，得因为，当时，且是以为自变量的增函数，所以综上可知，四边形面积的最大值为4，最小值为【例4】 设，两点在抛物线上，是的垂直平分线 当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论； 当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围【解析】 、两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是轴的平行线，依题意，不同时为0，上述条件等价于；，上述条件等价于即当且仅当时，经过抛物线的焦点 设在轴上的截距为，依题
8、意得的方程为；过点、的直线方程可写为，联立得：满足方程，得；，为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设的中点的坐标为，则，由，得，于是即得在轴上截距的取值范围为提高班学案2【拓1】 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，为坐标原点 证明：是钝角三角形； 求面积的最小值； 过点作抛物线的切线交轴于点，求线段中点的轨迹方程【解析】 设，直线的方程为， 由，得，为钝角，为钝角三角形 由，当时取等号面积的最小值是 设过点的切线方程为由得令解得切线方程为令，得线段中点为，点的轨迹方程为尖子班学案2【拓2】 如图，中，在轴上且，在轴上移动 求点的轨迹的方程； 过点的直线交轨迹于、两点（在、之间），
9、若，求的取值范围 【解析】 设，由题意知 ，于是由是中点，可得联立，得所以，点的轨迹的方程为 过点，设直线方程为，由消，得，即，若，则，与已知矛盾，故所以，由得，即，解得，或在、之间，目标班学案2【拓3】 已知抛物线，焦点为，准线与轴交于点，过且斜率为的直线与抛物线交于、两点 求满足的点的轨迹方程； 若为钝角，求直线的斜率的取值范围【解析】 设，由、三点共线，可得，化简得，显然，故因为，所以得 由、可得又点轨迹方程为 由为钝角，知，于是，即，得，或，又，所以或15.2导数的应用知识点睛导数的定义与几何意义：导数的计算：利用导数判断函数的单调性：设函数在区间内可导，如果在内，则在此区间上单调递增
10、；如果在内，则在此区间上单调递减导数导数：当趋近于时，平均变化率趋近于的一个常数，称为函数在点的瞬时变化率，定义为在处的导数，记作或，即几何意义：曲线在点处的切线的斜率等于导函数：如果在区间内的每一点的导数都存在，则称在区间可导于是得到一个新的函数，称为的导函数，简称导数基本函数导数公式表：；导数的四则运算法则：设是可导的，为常数，；经典精讲【例5】 函数的导函数是（ ）AB C D 已知函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，则的值为 （北京市西城区2009-2010学年第二学期学业测试B卷4）已知函数有三个相异的零点，则实数的取值范围是 【解析】 C 函数在上为增函数，在上为减函数，
11、在上为增函数，分别为函数的极大值点和极小值点，即， ，令，解得，函数在上是递增的，在上是递减的，在上是递增的，要使有三个相异的零点，只需，即提高班学案3【铺1】 已知函数的图象在点处的切线方程为 求函数的解析式； 求函数的单调区间【解析】 由函数的图象在点处的切线方程为知，即 即解得，所以所求的函数解析式是 令解得当或时，；当时，所以在内是减函数；在内是增函数；在内是减函数【例6】 已知函数， 当时，求曲线在点处的切线方程； 当时，求函数的单调区间【解析】 当时，所以曲线在点处的切线方程为即的定义域为， ，当时，恒成立，从而恒成立， 故的单调增区间为当时，令，解得因为且，故有两个正的零点即，列
12、表分析如下：+00+所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上，当时，函数的单调递增区间为，没有单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为尖子班学案3【铺2】已知函数， 若在上是增函数，求实数的取值范围； 若是的极值点，求在上的最小值和最大值【解析】 ，当时，当时，是增函数，其最小值为， 即令则或1340+在上的最小值是，最大值是【例7】 已知函数 若曲线在处的切线与平行，求实数的值 若求函数的最小值 设函数若与图象在区间上有两个不同的交点，求实数的取值范围【解析】 依题意，故 当时，即在上单调递减当时，即在上单调递增当，即时， 可知在是减函数，故时，有当即时，可知在上单调
13、递减，在上单调递增，故时，有 综上所述，当时，；时， 设则令得由得所以的减区间为；由得所以的增区间为所以当取极小值与的图象在上有两个不同的交点等价于在上有两个不同零点故只需，解得故实数的取值范围是目标班学案3【拓3】 已知函数在和处取得极值 若且求的最大值； 设若且证明：【解析】 将代入上式，得依题意和是方程的两根，所以因为所以即整理得因为所以设则由得；由得所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以当时，有极大值为12，所以在上的最大值是12，从而的最大值是 由得由和是方程的两根，得当时，由于，得又得即又因为所以所以综上，【备选】已知函数，且在上恒成立，满足 求的值； 若解不等式； 是否存在实数m，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由【解析】 及，有在上恒成立，即恒成立，即恒成立显然时，上式不能恒成立函数是二次函数由于对一切都有，于是由二次函数的性质可得即即解得： 由即即 即当时，解集为；当时，解集为；当时解集为 该函数图象开口向上，且对称轴为假设存在实数使函数在区间上有最小值.当时，即，函数在区间上是递增的即解得或，（舍去）即当时，即函数在区间上是递减的，而在区间上是递增的，.即解得或均应舍去当时，即函数在区间上是递减的即解得或其中（舍去）综上可得，当或时，函数在区间上有最小值15第15讲尖子-目标教师版