1、第10讲 高中物理中的数学方法(一)用图象来描述两个物理量之间的关系是物理学中常用的方法。利用图象法分析解答问题，具有直观、形象、简明的特点，可达到化难为易，化繁为简的目的。这一讲我们来研究图象法的相关问题。10.1图象中的物理量分析知识点睛“图象法”解答问题的关键是搞清图象中物理量间的函数关系，全面系统地读懂图象中的“轴”、“线”、“点”、“斜率”、“面积”、“截距”等所表示的物理意义。1轴横、纵坐标轴所代表的物理量，以及物理量的单位或量级明确两个坐标轴所代表的物理量，搞清楚图象所反映的是哪两个物理量之间的对应关系。有些形状相同的图象，由于坐标轴所代表的物理量不同，它们反映的物理规律就截然不
2、同，如振动图象和波动图象。另外，还要注意化非一次函数为一次函数后，横纵坐标的含义。2线图象中图线的特征注意观察图象中图线的形状是直线、曲线，还是折线等，分析图线所反映两个物理量之间的关系，进而明确图象反映的物理内涵。如金属导体的伏安特性曲线反应了电阻随温度的升高而增大。3点坐标原点、图线上任意点、两图线交点明确图线上任意一点的物理意义，图线交点的含义。注意： 坐标原点不一定是，比如路端电压电流图象； 两图线交点只表示横轴和纵轴代表的物理量相等，其他物理量是否相等需要进一步推导，与其他条件有关。比如图中两线交点仅表示该时刻速度相同，而加速度通常不同，位移也不一定相同，也不一定相遇。图线分析时还要
3、注意图线极值点的特定意义，它是两种不同变化情况的交界，即物理量变化的特殊点。4截横纵截距的物理意义截距是图线与两坐标轴的交点所代表的坐标数值，该数值具有一定的物理意义。例如，搞清弹簧的弹力图象、路端电压电流图象、光电效应中光电子最大初动能光照频率图象等的截距表示的物理意义。经验与技巧：结合具体情景，有时从量纲可以快速判断横纵截距的含义。5斜图线上某点切线斜率的物理意义物理图象的斜率代表两个物理量增量的比值，其大小往往代表另一物理量值。如图象的斜率为速度，图象的斜率为加速度、电场力和检验电荷的图象斜率是电场强度、等等。当要比较两物体的速度和加速度时，作图象往往会有“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫
4、”的感觉。6割割线的物理意义有的物理图象中，图线上某点与坐标零点的割线的斜率才有意义，而该点的切线斜率没有意义，比如描绘小灯泡的伏安曲线。7面图象中图线与坐标轴所围面积的物理意义有些物理图象的图线与横轴所围的面积的值，它常代表另一个物理量的大小。如图中，图线与轴所夹的面积代表位移，图象中图线与轴所夹的面积代表功，图象中图线与轴所夹的面积代表冲量，图象中图线与轴所夹的面积代表电量，图象中图线与轴所夹的面积代表了时间，图象的面积是功率等。例题精讲【例1】 已知单摆在任意摆角时的周期公式可近似为，式中为摆角趋近于时的周期，为常数。为了用图象法验证该关系式，需要测量不同摆角时摆角和对应的周期值，若某同
5、学在实验中得到了如图所示的图线，则图象中的横轴表示 。【答案】【例2】 是一条平直公路边上的两块路牌，一辆匀速行驶的小车由右向左经过路牌时，一只小鸟恰自路牌向匀速飞去，小鸟飞到小车正上方立即折返，以原速率飞回，过一段时间后，小车也行驶到。它们的位置与时间的关系如图所示，图中，由图可知A小鸟的速率是汽车速率的两倍B相遇时小鸟与汽车位移的大小之比是C小鸟飞行的总路程是汽车的倍D小鸟和小车在时间内位移相等【答案】 BC【例3】 如图，若x轴表示时间，y轴表示位置，则该图像反映了某质点做匀速直线运动时，位置与时间的关系。若令x轴和y轴分别表示其它的物理量，则该图像又可以反映在某种情况下，相应的物理量之
6、间的关系。下列说法中正确的是A若轴表示时间，轴表示动能，则该图像可以反映某物体受恒定合外力作用做直线运动过程中，物体动能与时间的关系B若轴表示频率，轴表示动能，则该图像可以反映光电效应中，光电子最大初动能与入射光频率之间的关系C若轴表示时间，轴表示动量，则该图像可以反映某物体在沿运动方向的恒定合外力作用下，物体动量与时间的关系D若轴表示时间，轴表示感应电动势，则该图像可以反映静止于磁场中的某闭合回路，当磁感应强度随时间均匀增大时，闭合回路的感应电动势与时间的关系【答案】【例4】 某实验小组的同学在电梯的天花板上固定一根弹簧秤，使其测量挂钩向下，并在钩上悬挂一个重为的钩码。弹簧秤弹力随时间变化的
7、规律可通过传感器直接得出，如图所示。则下列分析正确的是A从时刻到，钩码处于失重状态B从时刻到，钩码处于超重状态C电梯可能开始在15 楼，先加速向下，接着匀速向下，再减速向下，最后停在1 楼D电梯可能开始在1 楼，先加速向上，接着匀速向上，再减速向上，最后停在15 楼【答案】 ABC【例5】 如图所示，纵坐标表示两个分子间引力、斥力的大小，横坐标表示两个分子间的距离，图中两条曲线分别表示两分子间引力、斥力的大小随分子间距离的变化关系，为两曲线的交点，则下列说法正确的是A为斥力曲线，为引力曲线，点横坐标的数量级为B为引力曲线，为斥力曲线，点横坐标的数量级为C若两个分子间距离大于点的横坐标，则分子间
8、作用力表现为斥力D若两个分子间距离越来越大，则分子势能越来越大【答案】 B【例6】 如图甲所示的电路，不计电表内阻的影响，改变滑动变阻器的滑片位置，测得电压表和随电流表的示数变化的实验图象，如图乙所示。关于这两条实验图像，有A图线的延长线不一定过坐标原点B图线的延长线一定过坐标原点C图线交点的横坐标和纵坐标的乘积等于电源的输出功率D图线交点的横坐标和纵坐标的乘积等于电阻消耗的功率 【答案】 BCD【例7】 如图所示，一确定电源在外电阻不断变化时，内、外电路消耗的电功率随电流变化的关系分别用抛物线表示。由该图可知A电源的电动势为B电源的内电阻为C电源输出功率的最大值为D电源被短路时，电源消耗的功
9、率可达【答案】 D【例8】 不同频率的紫外光分别照射钨和锌的表面而产生光电效应，可得到光电子的最大初动能随入射光频率变化的图象。已知钨的逸出功是，锌的逸出功是，若将二者的图线画在同一个坐标中，以实线表示钨、虚线表示锌，则下图中能正确反映这一过程的是【答案】 A【例9】 如图所示，、两条直线是在、两地分别用竖直向上的力F拉质量分别是和的物体实验得出的两个加速度与力的关系图线，由图分析可知AB两地重力加速度CD两地重力加速度【答案】 AD【例10】 大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对型超新星的观测显示，宇
10、宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像【答案】【例11】 为了测量某一弹簧的劲度系数，将该弹簧竖直悬挂起来，在自由端挂上不同质量的砝码。实验测出了砝码质量与弹簧长度的相应数据，其对应点已在图上标出（取）。 作出的关系图线； 弹簧的劲度系数为_。【答案】 略； 0.2480.262【例12】 如图所示，一个“”型导轨垂直于磁场固定在磁感应强度为的匀强磁场中，是与导轨相同的导体棒，导体棒与导轨接触良好。在外力作用
11、下，导体棒以恒定速度向右运动，以导体棒在图所示位置的时刻作为计时起点，下列物理量随时间变化的图象可能正确的是【答案】【例13】 两辆游戏赛车、在两条平行的直车道上行驶。时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆【答案】 AC【例14】 摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如图1所示。考虑安全、舒适、省时等因素，电梯的加速度是随时间变化的。已知电梯在时由静止开始上升，图象如图2所示,忽略一切阻力，重力加速度取。类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由图象求位移的方法。请你借鉴此方法，对比
12、加速度和速度的定义，根据图2所示图象，求电梯在第1s内的速度改变量和第2s末的速率【答案】 ，【例15】 2012年11月，“歼-15”舰载机在“辽宁号”航空母舰上着舰成功。图甲为利用阻拦系统让舰载机在飞行甲板上快速停止的原理示意图。飞机着舰并成功钩住阻拦索后。飞机的动力系统立即关闭，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力。使飞机在甲板上短距离滑行后停止，某次降落，以飞机着舰为计时零点，飞机在时恰好钩住阻拦索中间位置。其着舰到停止的速度时间图线如图乙所示。假如无阻拦索，飞机从着舰到停止需要的滑行距离约为。已知航母始终静止。重力加速度的大小为，则A从着舰到停止，飞机在甲板上滑行的距离约为无阻拦索时
13、的B在时间内，阻拦索的张力几乎不随时间变化C在滑行过程中，飞行员所承受的加速度大小会超过D在时间内。阻拦系统对飞机做功的功率几乎不变【答案】 AC10.2 物理图象的应用知识点睛利用图象法解决物理问题的方法有着广泛的应用，常见的应用有：从图象中获取有用的信息，这一点我们在10.1中已经进了总结；由图象展现物理情境，分析各段图象对应的物理过程；图象之间的相互转化；运用图象简化问题，当其它方法较难解决时，图象法常能另辟蹊径，化难为易。例题精讲【例16】 将一个动力传感器连接到计算机上，我们就可以测量快速变化的力。如图所示是用这种方法测得的某小滑块在半球形碗内在竖直平面内来回滑动时，对碗的压力随时间
14、变化的曲线。由此曲线提供的信息做出下列几种判断，其中正确的是A滑块在碗中滑动的周期是B在时刻，滑块的速度为零C从到的过程中，滑块的重力势能减小D滑块滑动过程中机械能守恒【答案】 C【例17】 如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图乙所示，则A时刻小球动能最大B时刻小球动能最大C这段时间内，小球的动能先增加后减少D这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能【答案】 C【例1
15、8】 图甲是某同学设计的电容式速度传感器原理图，其中上板为固定极板，下板为待测物体。在两极板间电压恒定的条件下，极板上所带电量将随待测物体的上下运动而变化，若随时间的变化关系为（、为大于零的常数），其图象如图乙所示，那么图丙、图丁中反映极板间场强大小和物体速率随变化的图线可能是A和 B和C和D和【答案】 C【例19】 某物体做直线运动的图象如图甲所示，据此判断图乙（表示物体所受合力，表示物体的位移）四个选项中正确的是【答案】 B【例20】 一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面，右侧面是曲面。已知和的长度相同。两个小球、同时从点分别沿和由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间A小球先
16、到B小球先到C两小球同时到D无法确定【答案】 B【例21】 水平拉力、分别作用在水平面上的物体一段时间后撤去拉力，使物体从静止开始运动后又停下来，如果物体在这两种情况下的总位移相等，且，设物体所受摩擦力恒定，那么对应物体运动的两个过程中，力、冲量大小判断中正确的是A冲量大 B冲量大 C、冲量一样大 D条件不足，无法判断【答案】 B【例22】 下表是学习小组在“描绘小灯泡的伏安特性曲线”的实验中测出的6组数据，某同学根据表格中的数据在方格纸上已画出了5个数据的对应点，请你画出第4组数据的对应点，并做出该小灯泡的伏安特性曲线。若将该灯泡与一个的定值电阻串联，直接接在电动势为（内阻不计）的电源两端，
17、请估算该小灯泡的实际功率 （保留两位有效数字）。（若需作图，可直接画在图中）U（V）I（A）10020.50.1731.00.3041.50.3952.00.4562.50.49【答案】 0.350.38【例23】 如图甲为一个电灯两端电压与通过它的电流的变化关系曲线。由图可知，两者不成线性关系，这是由于焦耳热使灯丝的温度发生了变化的缘故，参考这条曲线回答下列问题（不计电流表和电池的内阻）。 若把三个这样的电灯串联后，接到电动势为的电源上（电源内阻不计），求流过灯泡的电流和每个灯泡的电阻。 如图乙所示，将两个这样的灯泡并联后再与的定值电阻串联，接在电动势为的电源上（电源内阻不计），求通过电流表的电流值以及每个灯的实际功率。【答案】 每只电灯的实际电阻 通过电流表的电流值，每只灯泡的实际功率27第四级（下）第10讲提高-尖子-目标教师版