1、函数及其表示第2讲满分晋级 函数3级函数的单调性函数2级函数及其表示函数1级集合新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查515分高考要求内容要求层次具体要求ABC函数的概念与表示通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如：图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.映射了解映射的概念北京高考解读2008年2009
2、年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年(新课标)第2题 5分第13题 5分第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第8题 5分第13题 5分第14题5分函数引入函数这个词大家并不陌生，因为初中已经非常熟悉这个词如一次函数、二次函数、反比例函数其实这些你们学过的函数只是我们后面要学的基本初等函数中的幂函数的一部分其实有非常广阔的函数是你们都没有学过的高中一共要学习五种函数，但是作要求的一般只有三种：指数函数、对数函数、三角函数（另外两种是：幂函数与反三角函数）我们会从另外一个角度来了解什么是函数先来看一个概念：什么是映射？映射是函数的发端2.1 映射考点1：映射
3、的概念知识点睛1映射的概念：设是两个给定的非空集合，如果按照某种对应法则，对内任意一个元素，在中有唯一确定的元素与对应，则称为集合到集合的映射记作称是在映射的作用下的象，称做的原象例：给找到一个对应法则，形成的一个映射 法则：例：给找到一个对应法则，形成的一个映射法则：平方；绝对值映射必然具有的两个最本质的属性：任意；唯一；下面看看这两个属性分别是什么意思：假设现在一个村要种种子，需要两个东西，第一是种子，第二是坑，把种子往坑里扔任意：任意一个种子都不能被浪费，一定要找到对应的坑；唯一：每个种子都只能扔到唯一一个坑里，即中每个元素，只能对应中的一个元素这两条属性是映射的根本属性，只要符合这两个
4、，它就是映射只要不符合这两个中的任何一个，它就不是映射如：A：平面上所有的圆；B：平面上所有的点平面上所有的圆，对应到它们的圆心答案：是映射，每个圆都有圆心任意，每个圆都只有一个圆心唯一A，B：我们班所有的同学每个同学对应他左边的同学答案：不是；靠左边墙上的同学没有对应违反了任意性把世界上所有的男性对应到他们的儿子答案：不是；把世界上所有的人对应到他的父亲答案：是每个同学对应到他追的人答案：不是，每个数对应到它的平方答案：是，每个数对应到它的平方根答案：不是；，每个数对应到它的立方根答案：是映射的两个允许：允许多对一（不允许一对多），即允许多个种子放到一个坑里，一个坑里有多个种子，如实数集中的
5、平方对应就构成了一个映射允许中元素没有原象，即允许有些坑是空着的，上面例子中的负整数就没有原象，以及非平方数就没有原象练习1：下列对应中有几个是映射？ 答案：2个，第一个与第二个是映射 拓展内容单射与满射单射：甲村长上任，如果增加一个规定：要求不同的种子只能塞到不同的坑里去，即不允许多对一的发生，这时的映射就叫做单射为了满足这个规定就要拼命挖坑，所以构成单射的条件直观来说就是集合要足够大满射：换届后，乙村长上任，发现甲村长的规定浪费了太多人力，为了改变这种情况，他废除上一个规定，增加规定：不允许有空着的坑，这样的映射就叫做满射即中每个元素都有原象，当然原象可以不止一个，即一个坑中可以有不止一个
6、种子构成满射需要：坑不能比种子多一一映射：丙村长上任后，想综合前两位村长之长，并考虑要让效率达到最高，于是要求甲、乙村长的规定需要同时满足，即一个萝卜一个坑，这样的映射叫双射，也叫一一映射2一一映射：如果是集合到集合的映射，并且对于集合中的任一元素，在集合中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合到集合的一一映射例：平面上所有圆平面上所有的点，对应法则：圆对应到它们的圆心；是映射，满射；北京市每个参加数学中考且获得成绩的考生北京所有考生中考的数学成绩，对应法则：每个考生对应到它的中考数学成绩；是映射，一般来说不是单射，是满射；地球上每个人男、女
7、，对应法则：每个人对应到他的性别，是映射，是满射，对应法则：乘是映射，且是一一映射；，对应法则：加1是映射，是单射，不是满射，对应法则：加1是映射，且是一一映射经典精讲【例1】 下面从集合到集合的对应为映射的是（ ）A，对应法则求平方根B，对应法则取倒数C，对应法则画三角形的外接圆D以上对应都不是映射已知集合到的映射，那么集合中元素2在中的象是（ ）ABCD【解析】 CB【例2】 设集合写出从集合到集合的所有映射【追问】从到的映射有多少个？【解析】 共个映射；【追问】个【拓展】设，若从到的映射满足：，求这样的映射的个数【解析】 所求的映射有7个映射中的集合与没有限制，比如可以建立人与性别的映射
8、关系，可以建立圆与点的对应关系，还可以建立非数集到数集的对应关系，如每个人对应到他的身高平面上每个点对应它到原点的距离但数学研究的主要是数集，给集合加上数集的限制，就是函数，所以函数是从数集到数集的映射2.2函数的概念与三要素考点2：函数的概念知识点睛函数的概念：设集合是非空的数集，对于中的任意实数，按照确定的对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数记作其中，叫做自变量，自变量的取值范围（数集）叫做这个函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域函数也常写作函数或函数对于函数概念理解，需要注意以下几点：对于一个函数来说，为自变量，它的取
9、值集合称为定义域；叫因变量（初中的习惯叫法），也叫函数值（高中的习惯叫法），它的取值集合叫值域，是对应法则，这三个因素合起来称作函数的三要素每个函数都具有这样的三要素例：，定义域为，值域为；，定义域为，值域为高中引入了函数的新的记法，表示经过作用得到，将初中时的写成了，表示对作用得到，前面说过字母都是浮云再比如，自变量是，对应法则叫再如，自变量为用这种表达有什么好处呢？能准确表达在每个地方的取值如：，；，则，这就完全取代了初中时“当？时，？”的写法练习2：已知函数_，_；当时，_，_答案：3，；，经典精讲【例3】 已知函数，求； 若，求【解析】 ； 如果一个函数没有标明定义域，默认定义域为使得
10、解析式有意义的自变量全体构成的集合如，默认定义域为；，默认定义域为或写成定义域与值域都是集合，可以写成区间形式目前定义域的自然约束有：分母不为零，偶次根式下非负，零的零次方无意义【例4】 求下列函数的定义域；【解析】 ；*初高衔接解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于时两根之外，小于时两根之间一元二次不等式的解集，一元二
11、次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以为例）：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实根，有两相等实根没有实根一元二次不等式的解集或【例题】解下列一元二次不等式 ； ； ； 【解析】 ； ； ； ；【练习】解下列一元二次不等式；【解析】 ；【拓展】若，则不等式的解集是_【解析】 *考点3：同一函数知识点睛定义域、值域与对应法则之间的关系：虽然它们合称函数的三要素，但这三要素之间也存在一些相生而不相克的关系判断：已知函数的定义域与值域，你能确定它们的对应法则吗？不能，如定义域和值域都是，能够构造很多函数满足要求，如，已知对应法则与值域，能否确定函数的定义域？不能；如对应法则为，值域为
12、，定义域可以为，已知定义域与对应法则，能否确定值域？可以所以判断两个函数是否相同，只需要判断定义域与对应法则，它们就可以确定一个函数，值域是被确定的这也是为什么写函数时，只需要写明解析式与定义域同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数经典精讲【例5】 下列各组函数中，表示同一函数的有_与；与；与；与；与；与；与【解析】 考点4：复合函数及其定义域知识点睛前面我们都是直接给出一个函数的解析式，你去求解，函数的形成过程就是从定义域中拿出一个元素，经过法则搅动一下这相当于对于原材料，经过一个加工厂加工一下，得到一个产品，即函数值但有些时候，一个产品需要经
13、过不止一个加工厂，得到一个最终产品如下：把叫做和的一个复合， ，先被作用，再被作用，记为这样就可以拿一些简单的函数生成一些复杂的函数注意与不是同一个函数，如上面例题中，再比如你爸爸的妈妈和妈妈的爸爸不可能是同一个人但有时，与是相同的，如复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数 只有当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合函数 理解函数符号，及与的区别 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的 注意复合函数的定义域：，则，
14、但定义域为；，定义域为经典精讲【例6】 已知，求，与已知与分别由下表给出：那么，；满足的的值是【解析】 ； ；或；是不是一个复合函数呢？是的，是先加再被作用；同理，也是先再，也是复合函数下面我们来看看复合函数的定义域：例：若的定义域为，问的定义域为_分析：注意与不是同一个函数，先来分析一下是什么过程是从的过程，只是其中的一个过程：的定义域是，的定义域是，故若的定义域为，问的定义域为_分析：复合函数，于是，故的定义域为，故的定义域为，问的定义域是_分析：这是一个已知，求的过程，之间的联系纽带是的定义域，故，又，故理解了这个过程之后，总结出两句话，做题时就不用画图了：定义域永远是自变量的取值范围，
15、自变量一般都用表示；如的定义域为是指；的作用区域保持不变，即后面那个大括号的范围保持不变的定义域为时，函数定义域与的作用区域一致而的定义域为，则，从而，此时的作用区域即为，这是的定义域【例7】 若的定义域为，求的定义域；若的定义域是，求的定义域；若的定义域是，求的定义域【解析】 ； 考点5：函数的值域知识点睛1部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决一次函数：，图象为一条直线不加限制时，定义域为，值域为若定义域发生限制，值域为，就是把端点值代入若是取不到端点，如，结合图象易知答案为二次函数：，图象为抛物线进入高中后，要习惯性把写上若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（）
16、或从负无穷到最大值若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果反比例函数：（），图象为双曲线，图象在第一、三象限：，图象在第二、四象限：如果定义域无其它限制，值域为；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域2简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域练习3：求函数的值域答案：由两层函数复合，内层函数，外层函数，定义域为，于是， 函数的值域问题是一个不断延伸的问题，随着学习的知识越来越多，解决值域的方法也越来越多这里我们只介绍利用
17、图象法解决一些最基本、最简单的函数的值域问题，以及由此得到的这些常见函数简单复合后的值域问题后面学习了新的函数后，我们会继续求那些新的函数的值域，秋季时，我们会系统介绍一些求函数值域的方法，包括分离常数法与换元法，并继续解决一些更复杂的函数的值域问题等我们高二有了更强大的工具导数后，我们还会求更多复杂函数的值域经典精讲【铺垫】求下列函数的值域：，；，；【解析】 ； ；【例8】 求下列函数的值域，；【解析】 ；【拓展】【解析】 回忆集合的三种表示方法，引出函数的三种对应的表示方法：（集合的三种表示法的优缺点前面已经介绍过，讲完函数的三种表示法后再来总结函数的三种表示法的优缺点，现在先不提）集合的
18、表示方法列举法描述法图示法优点简单、直观严谨直观缺点不能表示复杂的集合抽象很难表示规则函数的表示方法列表法解析法图象法优点不需要计算、直观简明概括，易求值直观，能反映大趋势缺点不能表示复杂的函数不直观不够精细考点6：函数的表示法知识点睛函数的三种表示法 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量的值和它对应的函数值构成的有序实数对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数的图象，即这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法优点：能够直观形
19、象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值对于函数的表示法，有一些需要注意的东西：列表法：生活中经常见到这种方法，如银行利率表，列车时刻表等但不是所有的函数都能用列表法表示出来如当一个函数的定义域含有的元素个数无限时，很难用列表法表示解析法：中学遇到的函数大多用解析法表示，但也不是所有的函数都有对应的解析式（或者说有些函数用解析式表示非常不容易），如，给出一条曲线，使之满足每个都对应一个，但
20、想用解析式表示出这个函数就非常困难图象法：不是所有函数都能画出图象比如：狄利克莱函数（Dirichlet）再比如：定义在正有理数集合上的一个函数：，其中，它们的图象都是一些错落的散点函数概念的发展莱布尼茨（德，1646-1716）用函数一词表示变量的幂，雅各布伯努利（瑞士，1654-1705）由和常量构成的任一式子都可称之为关于的函数欧拉（1707-1783）把用解析式表示的，包括四则运算、幂、开方、三角、指对运算所构成的式子都叫做解析函数；把在平面上任意画出的曲线的函数称为随意函数柯西（法，1789-1857）在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值也随之而确定
21、时，最初的变数称之为自变数，其他各变数则称为函数黎曼（德，1826-1866）对于的每一个值，总有完全确定了的值与之对应，而不论建立之间的对应方法如何，均将称为的函数康托尔的集合论之后（1870s）用映射观点定义函数，可以不是数避免“对应”这个不明确概念(1960s)用有序对集来定义函数初中所学的函数比较看重有明确的解析式，与柯西的定义比较接近而高中所学的函数从本质上来说是一个对应关系，更接近黎曼的定义黎曼之后的函数已知不是高中意义下的函数了练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有件商品，每个商品的定价都为元，表示卖出商品的数量，表示销售收入，用三种方法表示关于的函数答案：列表法：解析法：；图象
22、法：求函数解析式我们在预习时只介绍代入法、配凑法、换元法，求解析式需要注意定义域初中学过一种待定系数法求已知类型的函数，我们放在例9后面选讲老师可以用下面的题给学生讲解求解析式的方法，再让学生去做例9已知，求，；代入法：已知，求； 配凑法：，于是；换元法：令，则 ，已知，求令，则，故注意定义域：是有限制的，故求出的是有定义域的，定义域为经典精讲【例9】 求下列函数解析式已知，求；已知，求；已知，求【解析】 待定系数法已知函数为一次、二次、反比例函数等形式的函数，求函数的解析式，可以先设出函数的形式，再求解如：已知二次函数满足，求解析：法一：设为两根式方程：设，由，故法二：设为顶点式方程：由题意
23、知，是的对称轴，设，故；法二：设为一般式方程：设，有，解得，故求函数解析式还有一种方法是方程组法，这会放到同步再讲已知函数的定义域为，求函数的值域【解析】 备注：看函数先看定义域，否则我们会在函数问题以及以后的导数问题中不停地掉到陷阱里我们要从一开始就强调函数的定义域问题如果你没有心痛过，说明你没有在乎过我说的是忘记定义域！实战演练 【演练1】已知集合，映射，使中任一元素与中元素对应，则与中元素对应的中元素是（ ）A BCD【解析】【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A和 B和C和 D和【解析】 D【演练3】已知函数的值域为，则它的定义域为 【解析】 【演练4】已知的定义域为，则的定义域为（ ）A BCD【解析】 C【演练5】 已知，则 设，则_【解析】 【演练6】已知，若，求【解析】 概念要点回顾1函数的概念：设集合是非空的数集，对于中的_实数，按照确定的对应法则，都有_的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数记作2函数的三要素是：_、_与_，其中_与_一致的函数就称为同一函数；3函数的表示方法有_、_与_4对于复合函数，内层函数是_，外层函数是_，求复合函数的值域需要先求_，再_一层一层求值域答案：1任意（任一）、唯一确定；2定义域、值域、对应法则，定义域与对应法则；3列表法、解析法、图象法；4，定义域，自内而外35第2讲目标班教师版