1、函数的单调性第3讲满分晋级 函数4级函数的奇偶性函数3级函数的单调性函数2级函数及其表示新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查515分高考要求内容要求层次具体要求ABC单调性与最大（小）值通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年(新课标)第2题 5分第13题 5分第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第8题 5分第13题 5分第14题5分3.1函数单调性的定义与判别考点1：单调性的概念知识点睛函数是由于自变量经过某
2、个对应法则对应到值域中的一个数，所有的函数的性质都围绕着一个问题：当自变量发生某种变化时，函数值发生了什么变化？所谓单调性是指随着自变量的增大（或减小），函数值是否也增大或减小奇偶性是指：当自变量取相反数时，函数值是保持不变，还是也取相反数周期性是指：当自变量变化时，函数值呈周期变化所以说，函数的性质都在研究自变量发生某种变化时，函数值的变化的某种对应规律单调性是初中有所接触的性质，初中会有随的增大而增大，或随的增大而减小的说法，这就是单调性的描述单调性研究的是一个函数从图象上来看，到底是上升的，还是下降的，这是对某个区间而言的，这句话可以从两个方面理解： 对于单一的一个点，由于它的函数值是唯
3、一的常数，因而没有增减变化，不存在单调性问题另一方面，中学阶段研究的函数主要是连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（当然，必须注意，对于在某些点上不连续或者无定义的函数，单调区间要把这些点排除） 有些函数是在整个定义域内具有单调性，如一次函数；但有些函数在整个定义域上不单调，只在定义域的某些区间上是单调函数另外还有些函数没有单调区间，如前面说过的狄利克莱函数；或者有些函数的定义域根本就不是区间，如所以，单调性是一个局部的性质，一般表达都是函数在定义域上或者在某个子区间上是单调增的任何一个东西，你不仅要学会
4、如何直观的理解，还要学会如何用数学语言去描述用数学语言，怎样去描述一个函数在某区间上是单调增（减）的呢？1 一般地，设函数的定义域为，区间： 增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数； 减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；（注：B版定义是：对于区间中的任意两个值，改变量，则当（）时，就称函数在区间上是增（减）函数我们从直观上引出单调性的概念，与A版的定义更契合，所以用了A版的单调性的定义；从证明单调性上来讲，B版更直接）2单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫
5、做的单调区间例：函数在上单调递减（是减函数），在上单调递增（是增函数）或者说的单调递减区间为，单调递增区间为经典精讲【例1】 已知定义在区间上的函数的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数【解析】 函数的单调区间有：，其中在区间，上是减函数，在区间，上是增函数【备注】能不能说在区间上单调递减？不能，因为不满足前面的定义，如取，但再比如函数，它在和上单调递减，但不能说它的单调递减区间为考点2：单调性的严格证明知识点睛从本讲开始，我们去研究函数的性质时，我们一直按照下面的顺序进行：性质的定义常见函数的性质复合函数的性质如：单调性在直观上：单调递增图象上升、
6、单调递减图象下降；逐渐进行抽象：单调递增增加，也增加；单调递减增加，减小数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：在区间内任取，比较的大小（注意是任取）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性，即“任意取，”，证明单调性时不可随意以两个特殊值替换；二是它们有大小；三是它们同属于一个单调区间，三者缺一不可用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较的大小，这可以通过作差变形来实现于是我们得到定义法证明函数单调性的一般步骤：用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设，是该区间内的任意两个值，且作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号：确定差（或）的符
7、号，若符号不确定，可以进行分类讨论下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间练习1：，证明在上单调递增答案：取值：任取，比较的大小，怎么比：作差；结论：，故在上单调递增经典精讲讲完上面的概念与小例子后，就可以让学生做例2了，例2的比较大小比较简单，但学生容易犯的错误是利用函数的性质直接给出大小关系，这是用定义证明单调性时常犯的错误例3的单调性的证明比较复杂，比较大小时需要用到立方和/差公式，需要进行补充【例2】 证明：函数在上单调递减；证明：函数在上单调递减【解析】 第1步：任取第2步：结论：，故在上单调递减； 第1步：任取第2步：结论：，在上单调递减用定义证明函数的单调性有个容
8、易出错的地方，见下面的例子：证明函数在上单调递增错解：第一步：任取，第二步：错因分析：你是不知道的符号，所以你要论证它，你写，就意味着你利用了单调性，这是你要论证的，但你还应用它，这就出现了循环论证还有同学利用，由得到这也是同样的问题，谁说，就有？你也是应用了单调性就好像：不能你自己说自己是个好人，你就是好人，必须要用大家公认的来论证正确论证：（恒等式变形），这个过程就是一个恒等式变形、因式分解，化简的过程【例3】 证明：函数在定义域上是增函数证明：函数在区间上是减函数【解析】 错解：函数的定义域是设，且，则，即函数在定义域上是增函数错因分析：错在对的符号判定上，由得，实际上是利用了在上是增函
9、数这一性质正解：设，且，则.，在上是增函数任取，故，故在区间上是减函数*初高衔接立方和与立方差公式立方和公式 ；立方差公式 【例题】已知，则_已知，则的值为_【解析】 ； ；【练习】已知，则_【解析】 【拓展】实数满足，则 【解析】 1或因为，所以，所以所以，或；而只能有，或或*【拓展】讨论函数（）的单调性【解析】 设，则，故时，为减函数；时，为增函数对于单调性的证明，一般分成以下几个步骤：取点；作差；因式分解（最后要得到的形式是几个因式相乘或相除）；讨论符号；得结论其中最复杂的步骤是因式分解有时不会让你证单调性，而是让你讨论得出单调区间这样的问题难度会大很多，以下的例子供目标班选讲例：，讨论
10、的单调性解析：任取，注意，要使得在同一区间，且（或）恒成立，需要将划分为：与当时，在上单调递增；当时，在上单调递减考点3：利用单调性解简单的函数不等式 遇到函数不等式相关的问题都要往函数的单调性上思考，这样的问题还需要注意函数的定义域经典精讲【例4】 已知函数为上的增函数，且，则的取值范围是_函数在上为减函数，那么与的大小关系是_【解析】 ；【拓展】已知函数为上的减函数，则下列各式正确的是（ ）ABCD【解析】 D3.2常见函数单调性考点4：常见函数的单调性知识点睛常见函数的单调性：1一次函数（），单调性由决定，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减2二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增
11、；当时，在上单调递增，在上单调递减二次函数的单调性以前是由图象直观得到的，现在我们来严格证明任取，（没了，说明不影响二次函数单调性）（的正负不确定，故把也提出来），当时（何时比大，就好比，都在哪个区间上能保证）当，单调递增；当，单调递减在此过程中没有用到与图象有关的性质，不论函数怎样复杂，你会不会画图象，你都一样可以证明单调性，这是代数证明二次函数单调性由、决定当，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减练习2：一个二次函数在上单调递增，在上单调递减，则它的对称轴为_答案：二次函数只会有1个单调性改变点3反比例函数，当时，在和上分别单调递减；当时，在和上分别单调递增以上三类
12、函数的单调性的结论可以直接应用而且上一板块已经证明的结论：“单调递增”、“单调递增”也可直接使用，不必证（除非原题就是要证明这个结论） 关于单调性表达时，单调区间的端点问题：关于函数的单调区间问题，有四种正确的写法：第一种：在上单调递减，在上单调递增；第二种：在上单调递减，在上单调递增；第三种：在上单调递减，在上单调递增第四种：在上单调递减，在上单调递增目前尽量用后三种，课本在给出二次函数的单调区间时，A版用的第二、三种，B版用的第四种，高二以后多用第一种经典精讲【例5】 已知函数和在区间上都是减函数，则函数在上的单调性是_(填增函数或减函数或非单调函数)已知函数在上为减函数，则的取值范围为_
13、若函数在上单调递减，在上单调递增，则_若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 【解析】 增函数； 或； ； 【拓展】已知函数在区间上递增，则的取值范围是 【解析】 考点5：复合函数单调性知识点睛先回顾复合函数产生的过程：这个过程一共涉及3个函数：，三个完全不同的函数现在要讨论复合函数的单调性，要讨论的是第3个函数，也就是只需研究和根据单调性的本质属性，若增加，也随着增加，则单调递增若增加，却随之减少，则单调递减，由于是经过双层作用才到达的，所以的单调性将被，影响，下面来分析一下：若单调递增，单调递增，和之间的变化方向一致，和之间的变化方向一致，即单调递增单调递增单调递增，故有：单调递增，单调递
14、增单调递增若单调递减，单调递减，则单调递增单调递减单调递增，即单调递减，单调递减单调递增单调递增，单调递减，则单调递增单调递减单调递减，从而单调递减单调递减，单调递增，则单调递增单调递增单调递减，从而单调递减结论：复合函数的单调性满足同增异减，当内层函数和外层函数的单调性相同时，整个函数体现为增函数当内层函数和外层函数的单调性相反时，整个函数体现为减函数复合函数的单调性问题，预习时我们只讨论外层函数在定义域上一直单调增或一直单调减的函数，这类函数讨论起来容易很多，只需由内而外一层一层讨论即可对于外层函数有增有减的问题，我们会放到同步讨论，如外层函数是二次函数的问题对于复合函数的单调性，必须考虑
15、函数与函数的单调性，函数的单调性如下表：增函数增函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数小结：同增异减练习3：判断函数的单调性答案：，考虑一个函数的单调性首先考虑什么？定义域定义域为，增加，增加，增加，函数单调递增经典精讲【例6】 判断下列函数的单调性 【解析】 函数在上单调递减 函数在区间和上都是单调递增 函数在上单调递增，在上单调递减 函数在上单调递减，在上单调递增既然有双层的复合，如果一个人要为难你，就一定有多层的复合： 【例7】 判断函数的单调性【解析】 在定义域单调递减 单调递增的作用是保持：原来增大，现在还是增大；单调递减的作用是改变：原来增大，现在减小若有
16、两个减函数，则变成增大了，即两个减函数复合起来就是增函数，3个减函数复合就成了单调递减，4个减函数复合又成了单调递增，5个减函数复合就成了单调递减，那能得到什么样的规律？如果有奇数个减函数复合到一起就是减函数，如果有偶数个减函数复合到一起就是增函数【拓展】判断函数的单调性【解析】 在定义域上单调递减【备注】如果学生不会解，可以讲一下简单的分式不等式的解法1若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上（ ）A必是增函数 B不一定是增函数C必是减函数 D一定是增函数或减函数【解析】 B某同学证明在上单调递增采取了如下思路：先证明在上单调递增，再证明它在上单调递增，然后就得到了在上单调
17、递增请问这种证明思路对吗？不对！对于程度比较好的学生，可以看看下面的问题：若函数在上是单调递增函数，则的取值范围为_【解析】 2如果函数在上单调递增，求的取值范围【解析】 的取值范围为实战演练 【演练1】关于函数的下列说法正确的是（ ） A在上单调递减 B在上单调递减C的单调增区间为D的单调增区间为和【解析】 D【演练2】函数在区间上是增函数，则的取值范围为_【解析】 【演练3】证明：函数在定义域上是减函数【解析】 的定义域为，设，即在它的定义域上是减函数【演练4】已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A BC D【解析】 D；【演练5】判断下列函数的单调性：；【解析】 函数在区间和
18、上都是单调递减函数在上单调递减 函数在上单调递增，在上单调递减概念要点回顾1函数的单调性的定义：如果对于区间上的_，当时，都有_，那么就称函数在区间上是增函数；如果对于区间上的_，当时，都有_，那么就称函数在区间上是减函数；2常见函数的单调性： 一次函数：时，在_上是_函数；时，在_上是_函数；二次函数：时，在_上单调递增，在_上单调递减；时，在_上单调递增，在_上单调递减；反比例函数：时，在上单调_；时，在上单调_；3复合函数的单调性 当与的单调性_时，单调递增；当与的单调性_时，单调递减答案：1任意两个自变量的值、；任意两个自变量的值、；2，增；，减；，；，和，递减；和，递增3相同；相反47第3讲目标班教师版