1、幂函数与复合函数初步第8讲满分晋级 函数8级幂函数与复合函数初步函数9级函数与方程函数7级对数函数新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查515分高考要求内容要求层次具体要求ABC幂函数的概念通过实例，了解幂函数的概念幂函数，的图象其性质结合函数，的图象了解它们的变化规律北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第2题 5分第13题 5分第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第8题 5分第13题 5分第14题 5分8.1幂函数我们来看一下我们初中学过的一些函数，如：我们可以发现这些
2、函数与我们前边学过的指数函数有点类似，但根据指数函数的定义，我们知道这些函数不是指数函数，这些函数的表达式有着共同的特征：幂的底数是自变量，指数是常数.那我们管这样的函数就叫做幂函数.那幂函数的定义到底是什么呢？下面我们来看一下幂函数的概念：考点1：幂函数的概念知识点睛幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数【概念说明】由于对于类似的形式我们研究不了，高中只研究是有理数.如：，等，而课本中重点研究时的情况. 形如都不是幂函数，因此要注意幂函数的书写形式要注意幂函数与指数函数的区别.指数函数：形如，为自变量，自变量在指数位置，底数为常数且为正值；幂函数：形如，为自变量，为常数，自变量在底
3、数位置，常数在指数位置，常数可正可负，即指数函数： 幂函数：经典精讲【例1】 已知是幂函数，求的值. 幂函数的图象过点，则的解析式是_ 幂函数的图象经过点，则满足的的值是_【解析】 ； ；【备选】 在下列函数中，是幂函数的有_， 已知幂函数的图象经过点，则_【解析】 幂函数的图象与其它函数相比，在理解和记忆上都感到比较困难.主要因为幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生很大的变化.所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.下面我们就通过举例来研究这类函数的图象和性质：考点2：幂函数的图象与性质知识点睛1.幂函数的图象当分别为，时，幂函数图象如下图：从这些
4、函数的图象大家可以看到，幂函数随着的取值不同，它的定义域、性质和图象也不尽相同.但它们也有一些共同的性质：2.幂函数的性质所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；【教师备案】当时，在处也可以取到；当时，在处无意义.如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴通过上边的函数图象我们知道有的函数过第一、二象限，有的函数过第一、三象限，又有的函数只过第一象限，而且咱们上边只画了时函数的图象，但如果某一天我们遇到了等时，这些函数的图象应该怎么画呢？你能否马上就画出这个
5、函数的草图呢？那这个又是由谁决定的呢？我们来看一下它的第条性质：幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限【教师备案】幂函数的图象主要分以下类 当时，图象是过点平行于轴但扣去点的一条“断”直线； 当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点； 当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点； 当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限，但不过原点； 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点； 当为正分数时，设为（，是互质的正整数）如果， 都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；如是奇函
6、数，图象为：如果是偶数，为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；如是非奇非偶函数，图象只在第一象限，即如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点如是偶函数，图象为： 当为负分数时，设为（，是互质的正整数）如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；如果为偶数，为奇数，幂函数的图象只在第一象限；如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限如是偶函数，图象为练习1：给定一组函数解析式； 和一组函数图象.请把图象对应的解析式号码填在下图的括号内. （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）【解析】 经典精讲【例2】 已知幂函数在第一象限内
7、的图象如图所示，且分别取，则相应于曲线，的的值依次为_ 函数是幂函数，且当时是减函数，求实数； 幂函数是偶函数，且当时是减函数，求整数的值【解析】 2，1， 的值为，1，3，5【备选】 已知幂函数为偶函数且在区间上是减函数 求函数的解析式； 讨论的奇偶性【解析】 当时，既是奇函数又是偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数在指数函数和对数函数中我们都已经讲了函数值的大小比较，那在幂函数中怎样比较大小呢？在前边我们也已经讲了幂函数与指数函数的区别，那在函数值比较大小时，我们是把它看成指数函数还是看成幂函数呢？下面我们就来看一下函数值的大小比较：考点3：函数值的
8、大小比较及其应用经典精讲【教师备案】函数值的大小比较关键在于构造适当的函数.若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；比如比较和，就可以看成幂函数，根据幂函数的性质我们知道在上是增函数，；比较和，就可以看成幂函数，根据幂函数的性质我们知道在上是减函数，；比较和，就可以看成幂函数，根据幂函数的性质我们知道在上是增函数，.若指数不同底数相同，则考虑指数函数；比如比较和，就可以看成指数函数，根据指数函数的性质我们知道在上是增函数，；比较和，就可以看成指数函数，根据指数函数的性质我们知道在上是减函数，.若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象.【例
9、3】 比较下列各组数的大小和；和；和；，和；，和；和；，和 已知函数，且，求的取值范围. 已知函数满足求的值并求出相应的的解析式；对于中得到的函数，试判断是否存在，使函数 在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由【解析】 ； ； ； 或； 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围【解析】 的取值范围为或【点评】 本题易错点在于最后由求的取值范围的时候，只注意到函数单调递减，忽略了单调区间是分段的，当和在不同单调区间时，也可以成立其实从第2讲开始我们就在讲复合函数，只不过当时我们只是简单介绍了一下复合函数的概念和性质.而且理科的学生以后重点研究的是复合函数，比如将来高
10、考的第18题导数主要考察复合函数，所以，这时要求学生一定要对复合函数能够熟练地掌握，那我们下面就来看一下复合函数的应用.8.2复合函数的应用考点4：复合函数的解析式经典精讲【例4】 ，则时，_；（2009年北京四中练习卷）已知，则等于（ ）ABCD函数满足，则等于（ ）ABCD已知，求和的表达式【解析】 B； ； ；【点评】 在中，对应法则指自变量的平方减，这里为自变量，故题中，而的表达式是分段由的取值范围而定，所以必须分段讨论考点5：复合函数的单调区间【教师备案】虽然在指数和对数我们都已经讲了复合函数的单调区间，但是为了让学生熟练地掌握，这里还会涉及到与指数、对数相关的复合函数.是与幂函数相
11、关的复合函数；是与指数相关的复合函数；是与对数相关的复合函数；是指对复合在一起的复合函数.【例5】 求下列函数的单调区间， 【解析】 函数的单调增区间为；函数的单调减区间为函数的单调减区间为，增区间为函数的减区间为，增区间为函数的减区间为，增区间为函数的增区间为，减区间为函数的增区间为，减区间为函数的增区间为【点评】 在讨论复合函数的单调性时，内外层函数的定义域不一定相同内层函数的值域要包含于外层函数的定义域内【例6】 已知函数在其定义域上单调递增，求函数的单调区间 已知函数，讨论函数的单调性【解析】 的减区间是 函数在，上单调递增；在，上单调递减【拓展】已知函数，且，试问，是否存在实数，使得
12、在上为减函数，并且在上为增函数，若有，求出相应的，若无，说明理由【解析】 存在实数，使得在为减函数，并且在为增函数实战演练 【演练1】已知函数，；其中是幂函数的是_；幂函数的图象经过点，则_【解析】 【演练2】 实数满足，则下列不等式正确的是（ ）AB C D 若四个幂函数， 在同一坐标系中的图象如图，将、从小到大排列应该是_【解析】 C； 【演练3】若是一次函数，且，则_【解析】 或；【演练4】已知函数是幂函数，且当时是减函数， 求实数的值； 求函数的定义域，判断其奇偶性并证明【解析】 定义域为；偶函数【演练5】已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上 求函数，的解析式； 判断函数的单调性并用定义证明； 问为何值时有【解析】 ，； 在区间上单调递增，在区间上单调递减任取，则，即在区间上单调递增同理可证明在区间上单调递减 在区间，上有概念要点回顾画出下列函数的草图：函数图象答案：函数图象109第8讲目标班教师版