1、高考数学函数专题训练 取整函数一、选择题x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数【答案】D【解析】因为 ，所以函数是以1为周期的周期函数.故选D2.设x表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有A. x xB.2x 2xC. xyxyD. xyxy【答案】D【解析】取x=2.5,则-x=-2.5=-3,-x=-2.5=-2,所以A错误；2x=5,2x=22.5=4,所以B错误；再取y=2.8，则x+y=5.3=5,x+
2、y=2.5+2.8=2+2=4，所以C错误；故选D.3.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，.那么是的 （ ） A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】若，则，即，另外取，则，但是，是的充分而不必要条件.4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数， 就是，当不是整数时， 是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，
3、也叫高斯（Gauss）函数.如.求 的值为（ ）A0 B-2 C-1 D1【答案】C【解析】，由“取整函数”的定义可得，故选C.5.我们定义函数（表示不大于的最大整数）为“下整函数”；定义（表示不小于的最小整数）为“上整函数”；例如.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为小时，则李刚应缴费为（单位：元）ABCD【答案】C【解析】如时，应缴费2元，此时，排除A、B；当时，缴费为2元，此时排除D，故选C6
4、.遂宁二中将于近期召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】可以采用特殊值法，由于已知中当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表，比如当x=56时，则可知被10除的余数大于5，因此y=6,这样选项A,B中代入得到的结论为5，不符合题意.再看x=55,那么可知，而55被10除的余数等于5，因此得到y=5，显然不成立，排
5、除法选C.7.已知当表示不超过的最大整数，称为取整函数，例如，若，且偶函数，则方程的所有解之和为（ ）A1 B-2 C D【答案】D【解析】设，则，又为偶函数，所以由，得在同一坐标系中画出与的图象，如图所示由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为，当时，方程的解是0和1；当时，由解得，由解得综上，得的所有解之和为，故选D8.在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），表示不超过的
6、最大整数例如：设函数，则函数的值域为 （ ）A B C D【答案】B【解析】,且，即函数为奇函数；又；当时，；当时，不妨设，则，则；故选B9.把不超过实数的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在 上任取，则的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】当2x3时，x2；当3x4时，x3，2；当4x4.5时，x4，2；当4.5x5时，x4，3符合条件的x2，3），由长度比可得，x的概率为故选B10定义区间、的长度均
7、为，用表示不超过的最大整数，例如，.记，设，若用表示不等式解集区间长度，则当时有（ ）A BC. D【答案】A【解析】即,当,不等式的解为,不符合题意；当时,不等式无解,不合题意；当时,不等式可化为,此时不等式恒成立,所以不等式解集为.综上可得不等式解集区间的长度为,故选A.11对任意正整数n与，表示不超过（表示不超过实数x的最大整数
8、）且与n互素的正整数的个数.则（）.Al1 B13 C14 D19【答案】C【解析】由，知所求为1至33中与100互素的数的个数.先去掉所有的偶数，还剩下17个奇数，再去掉5的倍数（共三个），从而，所求为14.12设表示不超过x的最大整数，Z表示整数集，方程的解集为M，则有（）.A BC DM与Z互不包含【答案】C【解析】显然，.设，令.代入方程得.而.当时，.于是，a=0.当t=0时，a=0，即，所以，.因此，. 故选C.二、填空题13.函数称为高斯函数，又称取整
9、函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为 . 【答案】【解析】当-0.5x0时，y=x+1的函数值为0；当0x1时，y=x+1的函数值为1；当1x2时，y=x+1的函数值为2；当2x2.5时，y=x+1的函数值为3；综上所述，得函数y=x+1（-0.5x2.5）的值域为0，1，2，3.14.对于任意，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数若数列满足，且数列的前项和为，则等于 【答案】【解析】由定义知，15.对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围是 【答案】【解析】由x-12+y-12=4，得 x-1=2， y-1=0 或 x-1=0， y-1=2 然后得到可行域x2+y2看作可行域内点到坐标原点距离的平方AO2=1，BO2=5此时x2+y21，5）CO2=10，DO2=20，此时x2+y210，20）所以x2+y21，5）10，20）16.表示不超过的最大整数，则方程的解集为_.【答案】或【解析】， 若=0，则即，该不等式组的解集为空集；若=1，则即， 解得；若=2，则即，解得.综上得方程的解集为或.