1、第 1 页 共 4 页 高三质量检测卷数学 卷一卷一 一、填空题：每小题 5 分,共 70 分,不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上 . 1. 设全集UR,集合13 Axx, 2 20Bx xx ,则AB . 2. 设i为虚数单位,aR,若 1i 1i a 是纯虚数,则a . 3已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是. 4. 已知点 A6(0,),点B,C分别为双曲线 22 2 1 4 xy a (0)a 的左、 右顶点.若ABC为正三角形,则该 双曲线的离心率为. 5. 宋元时期,数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺, 竹长一尺,松日自半,
2、竹日自倍,松竹何日而长等如图是源于其思想的一 个程序框图,如输入4,1ab,则输出的n的值为. 6. “2020 武汉加油、中国加油”,为了抗击新冠肺炎疫情,全国医护人员从四面 八方驰援湖北.我市医护人员积极响应号召,现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名 年轻医生中选派 2 人支援湖北省黄石市,已知男医生 2 名,女医生 3 人,则选 出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是. 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 6cm,圆心角为 2 3 的扇形,则此圆锥的体积为 3 cm. 8公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S,若 3 a是 2 a与 6 a的等比中项, 3 3S ,则
3、 9 S的值为 . 9. 已知tan2,则cos(2) 4 的值为. 10.已知正方形ABCD的边长为2,以C为圆心的圆与直线BD相切.若点M是圆C上的动点,则 AM MD 的最小值为. 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后请将答题卡交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置。 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无
4、效 作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚。 4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 第 5 题 第 2 页 共 4 页 11. 已知向量( , 1),(22,3)(0,0)manbab ,若 m n ,则 21 1ab 最小值为. 12. 已知 2 23,1 ( ) ln ,1 xxx f x x x ,若函数 1 ( ) 2 yf xkx有 4 个零点,则实数k的取值范围是 . 13. 已知直线: 20(R)l xmymm 恒过定点A,点,B C为圆 22 :25O xy上的两动点,满足 90BAC ,则弦BC长度的最大值为. 14.已
5、知函数 ( )f x的定义域为R,且()2 ( )f xf x ,当0, x时,( )sinf xx 若存在 0 (,xm ,使得 0 ()4 3f x,则m的取值范围为. 二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分） 已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sincos0aBbA （）求角A的大小： （）若2 5a ,2b 求ABC的面积 16.（本小题满分 14 分） 如图,在直三棱柱 111 ABCABC中,ABBC, 1 BBBC, 11 BCBCM,N为 1 AB的中点
6、 （）求证：直线MN 平面ABC； （）求证： 1 BC 1 AC. M N 第 16 题 第 3 页 共 4 页 17（本小题满分 14 分） 某房地产开发商有一块如图 （1） 所示的四边形空地ABCD,经测量,边界CB与CD的长都为2km, 所形成的角60BCD . （）如果边界AD与AB所形成的角120BAD ,现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封 闭的施工场地,求至多购买多少千米长度的板材； （）当边界AD与CD垂直,AB 与 BC 垂直时,为后期开发方便,拟在这块空地上先建两条内部道 路,AE EF,如图 （2） 所示,点 E 在边界 CD 上,且道路EF与边界BC互相垂直,垂足为
7、 F. 为节约成本, 欲将道路,AE EF分别建成水泥路、砂石路,每1km的建设费用分别为3 a、a元（a为常数）；若 设DAE,试用表示道路,AE EF建设的总费用 ( )F（单位:元）,并求出总费用( )F的最小值. 18.（本小题满分 16 分） 已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点F的坐标为( 3,0),点 313 (,) 24 P在椭圆C上,过 F且斜率为 (0)k k 的直线l与椭圆C相交于,A B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. （）求椭圆C的方程； （）设线段AB的垂直平分线与x轴、y轴分别相交于点,C D.若ODC与CMF的面积相 等,求
8、直线l的斜率k. 图（2）图（1） 第 4 页 共 4 页 19（本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )ln ( ,)f xaxxbx a bR R,若 ( )f x在 1x 处的切线方程为2 20xy （）求实数, a b的值； （II）证明：函数 ( ) 22-yf xx 在x轴的上方无图像； （III）确定实数k的取值范围,使得存在 0 1x ,当 0 (1,)xx时,恒有( )(1)f xk x 20. （本小题满分 16 分） 已知项数为 * (,2)m mmN的数列 n a满足如下条件： * N (1,2,) n anm； 12m aaa.若数列 n b满足 * 12 ()
9、N 1 mn n aaaa b m ,其中1,2,nm,则称 n b 为 n a的“心灵契合数列”. （）数列15 91115， ， ，是否存在“心灵契合数列”,若存在,写出其“心灵契合数列”；若不存在,请说 明理由； （）若 n b为 n a的“心灵契合数列”,判断数列 n b的单调性,并予以证明； （）已知数列 n a存在“心灵契合数列” n b,且 1 1a ,1025 m a ,求 m 的最大值. 第 1 页 共 2 页 高三质量检测卷理科数学 卷二卷二 21（本小题满分 10 分） 设矩阵 M 0 0 a b (其中0,0ab) （）若2,3ab,求矩阵 M 的逆矩阵 M 1； （）
10、若曲线 22 :1C xy在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 2 2 :1 4 x Cy, 求、ab的值 22（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数）以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为2cos3 sin110 （）求 C 和 l 的直角坐标方程； （）求 C 上的点到 l 距离的最小值 第 1 页 共 9 页 高三质量检测卷数学阅卷评分细则 一、填空题 1.11xx;2 1 ;3 5 3 ;4.3;5. 5 ;6. 7 10 ;7.
11、16 2 3 ;863. 9. 7 2 10 ;10.2 106;11.2+ 3;12. 11 ( ,) 2e ;13.4 5;14. 10 ,) 3 . 二、解答题 15.【解析】（）因为sincos0aBbA， 在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB 得：sinsinsincos0ABBA 即sinsincos0BAA，2 分 又角B为三角形内角，所以sin0B ， 故sincos0AA，3 分 即 2sin0 4 A ，5 分 又因为0,A，所以 4 A 7 分 （）在ABC中，由余弦定理得： 222 2cosabcbcA， 则 2 2 2044 2 cc 9 分 即 2 2
12、2160c 10 分 解得 2 2c （舍）或 4 2c 11 分 所以 112 sin=24 24 222 SbcA 14 分 16.证明（）因为直三棱柱 111 ABCABC, 则四边形 11 BBC C和 11 AAC C为平行四边形,即 11 ACAC. 在 11 BBC C中, 11 BCBCM,则M为 1 BC的中点， 又N为 1 AB的中点，所以MN为 11 ABC的中位线， 故 11 MNAC， 又 11 ACAC，所以MNAC， 由MN ABC，AC ABC， 所以MN面ABC.7 分 （）在直三棱柱 111 ABCA B C中，所以 1 BB 平面 1 1 1 ABC 又
13、1 BB 平面 11 B BCC，所以平面 11 B BCC平面 1 1 1 ABC， 又因为ABBC，所以 1111 A BB C 由 11 A B 平面 1 1 1 ABC， 11 BC为交线. M N 第 15 题 不写正弦定理扣 1 分 不写扣 1 分 不写扣 1 分 第 2 页 共 9 页 所以 11 A B 平面 11 B BCC 又 1 BC 平面 11 B BCC， 所以 111. A BBC 又因为 1 BBBC，则侧面 11 B BCC为菱形， 故 11 B CBC 又 1 1 AB 11 BCB, 1 11 ，ABBC 面 11 A BC. 所以 1 BC 平面 11 A
14、 B C, 又 1 AC 平面 11 A B C， 所以 1 BC 1 AC.14 分 说明说明: :少一个条件扣 2 分,不同的两个逻辑段各少一个条件,则扣 4 分,少 3 个及以上得 0 分. 17. 解析 （）连结 BD，易知BDC 为等边三角形，则 BD=2 在ABD 中， 2 3 BAD，BD=2 ，由余弦定理得： 222 2cos120BDABADAB AD 即ADABADABADABADAB.)(.4 222 由基本不等式得： 4 )( )(4 2 2 ADAB ADAB 则3 3 4 ADAB（当且仅当ADAB 时“”成立）. 故钢板长度 3 34 4 DACDBCABL. 答
15、：所用板材长度的最大值为 3 34 4 km. 5 分 （）因为AD与CD垂直，AB 与 BC 垂直,则ABCD四点共圆,且AC为直径,记直径为2R. 在BCD中，2CDCB,60BCD ，则2BD ， 2 3 BAD. 由正弦定理得：2 sin BD R BCD 4 2 3 RAC ， 6 分 在RT ADC和RT ABC中，则 22 2 3 3 ADABACCB 在RtADE 中，DAE， 3 32 AD，则tan 3 32 DE， cos3 32 AE； 图（2）图（1） 第 3 页 共 9 页 又2CD，则tan 3 32 2 DECDCE 在RtCEF 中， 3 BCD，则 tan3
16、 2 3 CEEF 则aaaEFaAEay)3 cos sin2 (3)tan cos 2 (3 ， 0,) 3 . 所以总费用 2sin ( )=3) ,0,) cos3 （Fa .10 分 记 2sin ( ) cos f ， 0,) 3 ， 则 ( ) f 2 2 cos(2sin ) ( sin ) cos 2 12sin cos ， 令 ( )0f ，得 6 ， 当 0,) 6 时( )0 f ， ( )f单调递减；当 ,) 6 3 时，( )0 f ， ( )f单调递增， 所以当 6 时，( )f取最小值，此时 min ( )2 3fa13 分 答：铺设的总费用的最小值为a32元.
17、14 分 18.解析（）法一 因为右焦点F的坐标为( 3,0)，则左焦点(3,0)F 由椭圆的定义知： 22 313 2()() 24 a 22 3 313 ()() 24 511 4 44 ，即 2 4a . 又 2 3c ，则 222 1bac. 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 4 分 法二 右焦点F的坐标为( 3,0)，点PC， 则 22 22 313 1 416 3 ab ab 22 4,1ab. 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 4 分 （）设直线(3)lyk x：（0k ）点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，5 分 由 2 2 (3),
18、1, 4 yk x x y 消去y，得 2222 (41)8 3(124)0kxk xk7 分 显然0 ， 2 12 2 8 3 41 k xx k , 则 2 12 2 4 3 241 M xxk x k ，8 分 第 4 页 共 9 页 即 2 3 (3) 41 MM k yk x k . 即 2 22 4 33 (,) 4141 kk M kk .10 分 则线段AB的垂直平分线方程为： 2 22 314 3 () 4141 kk yx kkk .11 分 令0x ，得 2 3 3 (0,) 41 k D k ；令 0y ，得 2 2 3 3 (,0) 41 k C k .12 分 则O
19、DC的面积 22 2222 13 33 327| | |= 241412(41) ODC kkkk S kkk ， 13 分 CMF的面积 22 2222 13 333(1) | |3| | 241412(41) CMF kkkk S kkk . 14 分 因为ODC与CMF的面积相等， 则 22 2222 27|3(1) | 2(41)2(41) kkkk kk ，解得 2 4 k . 故当ODC与CMF的面积相等时，直线l的斜率 2 4 k .16 分 法 2 设),( 11 yxA，),( 22 yxB 由 1 4 )3( 2 2 y x xky 消去y得0)412(38) 14( 22
20、22 kxkxk7 分 显然0， ) 14(2 )412)(14(42)38(38 2 2222 2, 1 k kkkk x 14 38 2 2 21 k k xx， 14 34 2 2 k k xM, 所以中点) 14 3 , 14 34 ( 22 2 k k k k M.9 分 AB的垂直平分线方程为：) 14 34 ( 1 14 3 2 2 2 k k x kk k y, 令0x得) 14 33 , 0( 2 k k D.10 分 ODC与CMF的面积相等，则OMFOMD与的面积相等， OMDF.12分 第 5 页 共 9 页 DFOM kk,得 14 34 14 3 3 41 33 2
21、 2 22 k k k k k k ,即 kk k 4 1 41 3 2 . 解之得： 8 1 2 k,即直线l的斜率 4 2 k.16 分 19解析（）由 2 ( )ln ( ,)f xaxxbx a bR R，则( )2 b fxax x ， 又切线方程为2 20xy ，令1x ，则 0y ， 所以 (1)0f 且 (1)2f ， 则 (1)10 (1)22 fa fab ，解得：1,3ab3 分 （II）由（）知 2 ( )3lnf xxxx，令 2 ( )( )223ln2g xf xxxxx 则 2 323(23)(1) ( )21 xxxx g xx xxx . 令( )0g x
22、得1x ， 3 2 x （舍）4 分 当( )0g x 时，01x；当( )0g x 时，1x . 则( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减. 所以当1x 时，( )g x取得最大值6 分 即( )(1)0g xg. 所以函数 ( ) 22-yf xx 在x轴的上方无图像.7 分 （III）由（II）可知， 当2k 时，( )2(1)f xx， 所以不存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )2(1)f xx； 所以2k 不符合题意.9 分 当2k 时，对于1x ，( )2(1)(1)f xxk x， 所以不存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有( )(1)
23、f xk x成立； 所以2k 不符合题意.11 分 当2k 时，设 2 ( )( )(1)(1)3lnh xf xk xxk xxk . 因为 2 2(1)3 ( ) xk x h x x ，令 ( )0,h x 即 2 2(1)30xk x. 因为 2 (1)240k ，解得 22 12 1(1)241(1)24 , 44 kkkk xx . 又因为2k ，所以 12 0,1xx. 取 02 xx.当 0 (1,)xx时，( )0h x ，则( )h x在 0 (1,)x上单调递增. 第 6 页 共 9 页 所以( )(1)0h xh.即( )(1)f xk x. 所以2k 符合题意.15
24、分 故实数k的取值范围是(,2).16分 20. 解析（）数列15 91115， ， ，不存在“心灵契合数列”1 分 因为1+5+9+11+15=41， 则 * 1 41 1 10N 5 1 b ， * 2 415 9N 51 b ， * 3 419 8N 51 b ， * 4 41 1115 N 512 b . 所以数列15 91115， ， ，不存在“心灵契合数列”.3 分 （） 数列 n b为单调递减数列.4 分 因为 1 1 1 nn nn aa bb m ， * 11,nmnN5 分 又因为 12m aaa，所以有 1 0 nn aa , 所以 1 1 0 1 nn nn aa bb
25、 m 6 分 即 12m bbb成立 所以数列 n b为单调递减数列.7 分 （）1i0，b0， a2， b1. 10 分 22【解析】（）因为 2 2 1 11 1 t t ，且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t ， 所以 C 的直角坐标方程为 2 2 1(1) 4 y xx 3 分 直线l的直角坐标方程为23110xy5分 （）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数， ） C上的点到l的距离为 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 当 2 3 时， 4cos11 3 取得最小值7， 故C上的点到l距离的最小值为71
26、0分 23解析（）取AD中点O,连接,OP OB BD. 因为PAPD,所以POAD. 又侧面PAD 底面ABCD， 面PAD 面ABCDAD，PO 平面POD, 所以PO 平面ABCD,易知POOB. 范围没写扣 1 分 第 23 题 第 8 页 共 9 页 又在菱形ABCD中 ,60BCD ，O为AD中点，则BOAD. 故建立以O为坐标原点，,OA OB OP 分别 为 , ,x y z轴的坐标系. 1 分 因为ABCD菱形，且 60BCD , 2PAPD ，则(0, 3,0) (0,0,1) ( 2, 3,0)( 1,0,0)BPCD， 又 ,E Q是中点，则 ( 1, 3,0)E 、
27、3 1 ( 1, ) 22 Q ， 所以( 1,0,0)AP ，( 1, 3,0)AB ， 3 1 ( 1, ) 22 BQ ， 设面PAB的一个法向量为( , , )nx y z ，直线BQ与平面PAB所成角， 则 0 30 AP nxy AB nxy ，取 1y ，则3,3xz，故( 3,1, 3)n 所以sin|cos,|n BQ 33 3 42 22 | 1472 , 故直线BQ与平面PAB所成角的正弦值为 42 14 .5 分 （）由（）可知 ,BOAD POAD , 因为侧面PAD 底面ABCD,且平面PAD底面ABCDAD, 所以PO 底面ABCD. 以O为坐标原点,如图建立空间
28、直角坐标系Oxyz. 则1,0,0 ,1, 3,0 ,0,0,1 ,2, 3,0DEPC, 因为Q为PC中点,所以 3 1 1, 22 Q . 所以 3 1 0, 3,0 ,0, 22 DEDQ , 所以平面DEQ的法向量为 1 1,0,0n . 因为 3 1 1, 3,0 ,0, 22 DCDQ ,设平面DQC的法向量为 2 , ,nx y z , 则 2 2 0 0 DC n DQ n ,即 30 31 0 22 xy yz . 令 3x ,则1,3yz ,即 2 3,1,3n . 所以 12 12 12 21 cos, 7 n n n n n n ，所以 12 2 sin, 7 7 n
29、n 故所求二面角的正弦值为 2 7 7 .10 分 第 9 页 共 9 页 24.解析（）设化学成绩获得A等第的学生原始成绩为x，等级成绩为y， 由转换公式得： 95100 8586 xy xy ，即 14(85) 86 10 x y 14330 10 x ， 所以 14330 96 10 x 92.1x，2 分 根据成绩统计表显示满足92.1x的同学只有 3 人，获得A等级的学生有 15 故恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的概率为 21 312 2 15 12 35 C C P C .4 分 （）由题意等级成绩不小于 96 分人数为 3 人，获得A等级的人数由 15 人， 则 0
30、3 312 5 15 24 (0) 91 C C P C ； 14 312 5 15 45 (1) 91 C C P C ； 23 312 5 15 20 (2) 91 C C P C ； 32 312 5 15 2 (3) 91 C C P C ,8 分 所以分布列为 则期望 45202 ( )0231 919191 E .10 分 0123 P24 91 45 91 20 91 2 919 分 第 2 页 共 2 页 23（本小题满分 10 分） 在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,侧面PAD 底面ABCD,60BCD , 2PAPD ,E,Q分别是BC和PC的中点. （）
31、求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值； （）求二面角E DQP 的正弦值. 24.（本小题满分 10 分） 江苏省从 2021 年开始将全面推行新高考制度,新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、 生物、 地理四门中选两科,按照等级赋分计入高考成绩,等级赋分规则如下： 从 2021 年夏季高考开始, 高考政治、化学、生物和地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为 A,B,C,D,E 五个等 级,确定各等级人数所占比例分别为 15,35,35,13,2,等级考试科目成绩计入考生总成绩时, 将 A 至 E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法分别转换到86,100、71,85
32、、56,70、41,55、 30,40五个分数区间,得到考生的等级分,等级分转换分满分为 100 分.具体转换分数区间如下表： 等级ABCDE 比例15%35%35%13%2% 赋分区间86,10071,8556,7041,5530,40 而等比例转换法是通过公式计算： 22 11 Y -YT -T = Y -YT -T .其中 12 Y Y,分别表示原始分区间的最低分和最 高分, 12 T T,分别表示等级分区间的最低分和最高分,Y表示原始分,T表示转换分,当原始分为 12 Y Y, 时,等级分分别为 12 T T,.假设小明的化学考试成绩信息如下表： 考生科目原始分成绩等第原始分区间等级分
33、区间 化学75 分B 等级 69,8471,85 设小明转换后的等级成绩为T,根据公式得：84 75 85 = 75 6971 - - T T ,所以T76.677(四舍五入取整), 则小明最终化学成绩为 77 分. 已知某年级学生有 100 人选了化学,以上学期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩, 其中化学成绩获得 A 等级的学生原始成绩统计如下表： （） 从化学成绩获得 A 等级的学生中任取 2 名,求恰好有 1 名同学的等级成绩不小于 96 分的 概率； （） 从化学成绩获得 A 等级的学生中任取 5 名,设 5 名学生中等级成绩不小于 96 分的人数为 ,求的分布列和期望. 成绩95939190888785 人数1232322 第 23 题