1、数学试卷 第 1 页 共 6 页 2020 届江苏省南通高三尖子生班 3 月调研考试数学试题2020 届江苏省南通高三尖子生班 3 月调研考试数学试题 数学（一）数学（一）2020.3 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分请把答案写在答题卡相应位置上 2020.3 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分请把答案写在答题卡相应位置上 1已知集合 0 (1)2 ,0, 1 2 xx Ax yBxxZ x xx + = - - ，则AB= 2在“一带一路” （英文：The Belt and Road，缩写 B&R）知识问答竞赛中， “江苏”代表队的
2、七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示， 去掉一个最高分和一个最低分， 所剩数据的方差 为 3 复数z满足13iz = +， i为虚数单位， z为复数z的共轭复数， 则复数 4 2zz+的模为 4随机掷出 5 个标准的骰子，得到 5 个点数之和是 11 的概率为 5执行如图所示的算法流程图，则输出的a的值是 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求. 1. 本试卷包含填空题（第 1 题-第 14 题） 、解答题（第 15 题-第 20 题）.本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟. 2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在规定位
3、置. 3. 请在答题卡上按顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色签字笔.注意字体工整，笔记清楚. 4. 如需作图，需用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 5. 保持答题卡卡面清洁，勿折叠、破损.一律不准用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 数学试卷 第 2 页 共 6 页 6 曲线 22 33xy-=与 2 28yxx=-的四个交点所在圆的方程是 7 已知 () 0, 2 a， () 1 cos 33 a+=，则 () cos 2 6 a+的值是 8 在矩形ABCD中，3,4ABBC=， 点E在边BC上， 点F在边CD上.若2EF =，
4、则AE AF uuu r uuu r 的最小值是 9 设椭圆 22 22 1(0 xy ab ab +=） 的左焦点为F， 过椭圆上一点A作椭圆的切线交 y 轴于点Q 若, 46 QFOQFA pp =,则此椭圆的离心率为 10在正方体盒子里放入四个半径为 1 的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球 都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切.则这个正方体的棱长为 11已知函数 2 ( )3f xxxa=+-在区间 1,1-上最大值为2，正数a= 12定义数列 n a，先给出 1 1a =，接着复制该项，再添加 1 的后继数 2，于是 23 1,2aa=， 接下来再复制前面所有项
5、， 之后再添加2的后继数3， 如此继 （1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1.） 设 n S是 n a的前 n 项和，则 2020 S= 13已知 222 :2,(0)E xyaa+=， 12 ,F F分别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为 12 FPF 平平分线与 x 轴交点，过D作 1,2 PF PF垂线，垂足分别为 M,N,求 12 DMN F PF S S 的最大值 14已知, , , ,(0, )x y zRa b gp + ，且 222 346,2xyzabgp+=+=， 则 sinsinsinxyxzyzabg+的最大值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6
6、 6 小题，共小题，共 9090 分分. .解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 15 （本小题满分 14 分） 如图，已知, ,A B C D四点共面，且=1CD,2BC =,4AB =, 120ABC =, 2 7 cos 7 BDC=. （1）求sinDBC； （2）求AD. 数学试卷 第 3 页 共 6 页 16.（本题满分 14 分） 如图,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,AC BD相交于点O,EF AB,2ABEF=,平面BCF 平面ABCD,BFCF=,G是BC中点. (1) 求证：直线OG平面EFCD (2) 求
7、证：直线AC 平面ODE 17（本题满分 14 分） 如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中 ,ABBC EFDF DFAB,C E F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得 9 3,4, 4 ABkm BCkm DFkm= 3 3,. 2 FEkm ECkm=若以,OA OD所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系 xOy，则河岸DE可看成是曲线 x b y xa + = + （其中, a b是常数） 的一部分，河岸AC可看成是直线ykxm=+（其中 k，m 为常数）的一部分. (1) 求, , ,a b k m的值 (2) 现准备建一座桥MN,其中 M,N 分别在 DE,
8、AC 上，且MNAC,M的横坐标为 t. 1写出桥MN的长l关于 t 的函数关系式( )lf t=，并标明定义域； 2当 t 为何值时l取到最小值?最小值是多少? 数学试卷 第 4 页 共 6 页 18（本题满分 16 分） 平面直角坐标系xoy中，点 00 (,)P xy是椭圆:C 22 1 82 xy +=上任一点，直线 (0)ykxm km=+截 2 2 2: 1 4 x Cy+=所得的弦 MN 被 OP 平分且 0 1,1 PMN myS -= （1）判断四边形 OMPN 的形状； （2）求 PM 与 2 C的公共点数. 19（本题满分 16 分） 已知函数( )(24 )ln38f
9、xxaxxa=-+（0a）. （1）若0a =，求函数)(xf在1x =处的切线方程； （2）若( )f x有两个不同的零点 12 ,x x. 求a的取值范围； 证明:当 12 0xex） 的左焦点为F， 过椭圆上一点A作椭圆的切线交 y 轴于点Q 若, 46 QFOQFA pp =,则此椭圆的离心率为 6 3 数学试卷 第 2 页 共 12 页 10在正方体盒子里放入四个半径为 1 的球，恰好使得两个球在下方，另外两个在上方，每个球 都和其他球相切，且它们都和正方体的三个面相切.则这个正方体的棱长为105- 11已知函数 2 ( )3f xxxa=+-在区间 1,1-上最大值为2，正数a=
10、5 4 或 3 12定义数列 n a，先给出 1 1a =，接着复制该项，再添加 1 的后继数 2，于是 23 1,2aa=， 接下来再复制前面所有项， 之后再添加2的后继数3， 如此继 （1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1.） 设 n S是 n a的前 n 项和，则 2020 S=3990 13已知 222 :2,(0)E xyaa+=， 12 ,F F分别为其左右焦点，P为E上任意一点，D为 12 FPF 平平分线与 x 轴交点，过D作 1,2 PF PF垂线，垂足分别为 M,N,求 12 DMN F PF S S 的最大值 1 4 14已知, , , ,(0, )x y zR
11、a b gp + ，且 222 346,2xyzabgp+=+=， 则 sinsinsinxyxzyzabg+的最大值为6 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分. .解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 15 （本小题满分 14 分） 如图，已知, ,A B C D四点共面，且=1CD,2BC =,4AB =, 120ABC =, 2 7 cos 7 BDC=. （1）求sinDBC； （2）求AD. 解： （1）在BDC中，因为 2 7 cos 7 BDC=，所以 21 sin 7 BDC= 由正
12、弦定理知= sinsin DCBC DBCBDC ， 所以 sin21 sin= 14 DCBDC DBC BC =5 分 （2）在BDC中，由余弦定理知 222 2cosBCDCDBDC DBBDC=+-， 故 2 2 7 412 7 DBDB= +-，解得7DB =或 3 7 7 DB = -（舍） 8 分 数学试卷 第 3 页 共 12 页 由已知得DBC是锐角，又 21 sin= 14 DBC，所以 5 7 cos= 14 DBC. 所以cos=cos(120)=cos120cossin120sinABDDBCDBCDBC ooo 1 5 7321 = 214214 -+ 7 =- 1
13、4 11 分 在ABD中，由余弦定理知 222 =2cosADABBDAB BDABD+- 7 =16 72 47()27 14 +-=，解得3 3AD =14 分 16.（本题满分 14 分） 如图,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,AC BD相交于点O,EF AB,2ABEF=,平面BCF 平面ABCD,BFCF=,G是BC中点. (1) 求证：直线OG平面EFCD (2) 求证：直线AC 平面ODE 数学试卷 第 4 页 共 12 页 17（本题满分 14 分） 如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中 ,ABBC EFDF DFAB,C E F三点共线，FD与BA
14、的延长线交于点O，测得 9 3,4, 4 ABkm BCkm DFkm= 3 3,. 2 FEkm ECkm=若以,OA OD所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系 xOy，则河岸DE可看成是曲线 x b y xa + = + （其中, a b是常数） 的一部分，河岸AC可看成是直线ykxm=+（其中 k，m 为常数）的一部分. (1) 求, , ,a b k m的值 (2) 现准备建一座桥MN,其中 M,N 分别在 DE,AC 上，且MNAC,M的横坐标为 t. 1写出桥MN的长l关于 t 的函数关系式( )lf t=，并标明定义域； 2当 t 为何值时l取到最小值?最小值是多少? （
15、1）解：由题意得：OD=BC=4，OB=FC， D（0，） ，E（3，4） ，A（，0） ，C（，4） ， 把 D（0，） ，E（3，4）代入 y= 得：，解得：a=4，b=7， 把 A（，0） ，C（，4）代入 y=kx+m 得：，解得：k=，m=2 （2）解：由（1）得：M 点在 y=上， 数学试卷 第 5 页 共 12 页 M（t，） ，t0，3， 桥 MN 的长 l 为 MN 到直线 y=x2 的距离， 故 l=f（x）=|4t+9|，t0，3； 由得：f（t）=|4t+9|=|4（t4）+7|， 而 t40，0， 4（t4）+2=12， 当且仅当 4（t4）=时即 t=“=”成立，
16、f（t）min=|12+7|=1 答：当 t= 5 2 时取到最小值，为 1km 数学试卷 第 6 页 共 12 页 18（本题满分 16 分） 平面直角坐标系xoy中，点 00 (,)P xy是椭圆:C 22 1 82 xy +=上任一点，直线 (0)ykxm km=+截 2 2 2: 1 4 x Cy+=所得的弦 MN 被 OP 平分且 0 1,1 PMN myS -= （1）判断四边形 OMPN 的形状； （2）求 PM 与 2 C的公共点数. （1）解： 联立直线与 C2： 22 440 ykxm xy =+ +-= 得 222 (1 4 )8440kxkmxm+-=， 设 1122
17、( ,),(,)M x yN xy，则 2 1212 22 844 , 1 41 4 kmm xxx x kk - += + . 22 0,410km+ -,MN= 222 2 12 2 4 (1)(41) 1 41 kkm kxx k + - +-= + ,又 k0, 120xx-， 22 11 22 22 44 44 xy xy += += 相减化简得 1 4 OPMN kk= -,即 0 0 4 x k y = - . 又 22 00 22 0 22 00 241 22 1 41 kxmykm Sy mm kyy -+ - =- + ， 化简得： 222 00 (2)(2)1m ymy-=.再设 0 1myt= -，由 2232 2 0 2 ,2,(1)(37)0m ttttt y ，( )F x图像连续而不间断，故有两个零点. 当0ae + - =. 设(3)nk k=时，有 k ak， 则 22 1 (1)(1)3(1)211 kk aakkkkkkk + =-+-+-+=- +， 这就是说，1nk=+时也成立. 于是，对任意自然数, n n an. (2) 证明：由（1）知， 121 ,(1)(1), nnnn aann aannn - +-+, 0 123 an+, 即123 2n+成立.